Toán 10 – Ôn tập Chương III: Giá trị lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác

BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ $0^\circ$ ĐẾN $180^\circ$

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Nửa đường tròn đơn vị và định nghĩa giá trị lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $1$ nằm phía trên trục hoành. Với mỗi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), có duy nhất một điểm $M(x_0;y_0)$ trên nửa đường tròn sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Khi đó:

$$\sin\alpha = y_0, \qquad \cos\alpha = x_0,$$

$$\tan\alpha = \frac{y_0}{x_0}\ (x_0 \ne 0), \qquad \cot\alpha = \frac{x_0}{y_0}\ (y_0 \ne 0).$$

[Đồ thị]

2. Dấu của các giá trị lượng giác

Với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (góc nhọn): $\sin\alpha>0$, $\cos\alpha>0$, $\tan\alpha>0$, $\cot\alpha>0$.

Với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (góc tù): $\sin\alpha>0$, $\cos\alpha<0$, $\tan\alpha<0$, $\cot\alpha<0$.

Tại $\alpha = 90^\circ$, $\tan\alpha$ không xác định; tại $\alpha = 0^\circ$ và $\alpha = 180^\circ$, $\cot\alpha$ không xác định.

Với mọi $\alpha \in [0^\circ;180^\circ]$: $0 \le \sin\alpha \le 1$ và $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

3. Hai góc bù nhau và hai góc phụ nhau

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, \qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,$$

$$\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan\alpha, \qquad \cot(180^\circ-\alpha)=-\cot\alpha.$$

$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha, \qquad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha,$$

$$\tan(90^\circ-\alpha)=\cot\alpha, \qquad \cot(90^\circ-\alpha)=\tan\alpha.$$

4. Các hệ thức lượng giác cơ bản

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1; \qquad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}; \qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha};$$

$$\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1; \qquad 1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}; \qquad 1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}.$$

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

6. Liên hệ giữa các góc trong một tam giác

Với tam giác $ABC$ bất kì: $\sin(A+B)=\sin C$, $\cos(A+B)=-\cos C$, $\sin\dfrac{A+B}{2}=\cos\dfrac{C}{2}$.

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (10 câu)

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng với mọi $\alpha \in (0^\circ;180^\circ)$?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho $\alpha$ là góc tù. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $\sin30^\circ+\cos60^\circ$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Cho $\sin\alpha=\dfrac35$ và $90^\circ<\alpha<180^\circ$. Giá trị của $\cos\alpha$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho $\cos\alpha=\dfrac13$. Giá trị của biểu thức $P=2\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Giá trị của $\tan135^\circ$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 8 (0,25 điểm). Cho $\sin\alpha=\dfrac13$ và $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Giá trị của $\cos\alpha$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $A=\sin^2 20^\circ+\sin^2 70^\circ$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho $\tan\alpha=2$ với $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Giá trị của $\cot\alpha$ bằng

C. BÀI TẬP ĐÚNG – SAI (3 câu)

Câu 1 (1,0 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ<\alpha<180^\circ$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $\sin\alpha>0$.

b) Nếu $\alpha$ là góc tù thì $\cos\alpha<0$.

c) $\sin(180^\circ-\alpha)=-\sin\alpha$.

d) $\tan\alpha$ xác định với mọi $\alpha \in (0^\circ;180^\circ)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho $\sin\alpha=\dfrac45$ với $90^\circ<\alpha<180^\circ$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $\cos\alpha<0$.

b) $\cos\alpha=\dfrac35$.

c) $\tan\alpha=-\dfrac43$.

d) $\cot\alpha=-\dfrac34$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho góc $\alpha=120^\circ$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

b) $\cos\alpha=\dfrac12$.

c) $\tan\alpha=-\sqrt3$.

d) $\tan\alpha+\cot\alpha=\dfrac{4\sqrt3}{3}$.

BÀI 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A; \quad b^2=c^2+a^2-2ca\cos B; \quad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Hệ quả:

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}; \quad \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}; \quad \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$

2. Định lí sin

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,$$

trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

3. Công thức tính diện tích tam giác

$$S=\frac12 ab\sin C=\frac12 bc\sin A=\frac12 ca\sin B; \qquad S=\frac{abc}{4R};$$

$$S=pr; \qquad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

trong đó $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp.

4. Công thức đường trung tuyến

$$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}; \quad m_b^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}; \quad m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}.$$

[Hình vẽ]

5. Giải tam giác

Giải tam giác là tính các yếu tố còn lại (cạnh, góc, diện tích, bán kính…) của tam giác khi biết ba yếu tố, trong đó có ít nhất một cạnh.

- Biết hai cạnh và góc xen giữa → dùng định lí côsin để tìm cạnh thứ ba.
- Biết một cạnh và hai góc → dùng định lí sin để tìm các cạnh còn lại.
- Biết ba cạnh → dùng hệ quả định lí côsin để tìm góc.

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (10 câu)

Câu 1 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=4$ và $\widehat{A}=60^\circ$. Độ dài cạnh $BC$ bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $a=5$, $b=7$, $c=8$. Giá trị của $\cos A$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=30^\circ$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=4$. Độ dài cạnh $BC$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $a=3$, $b=4$, $c=5$. Số đo góc $C$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh là $3$, $4$, $5$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB=AC=5$, $BC=6$. Độ dài đường trung tuyến $AM$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC=2\sqrt3$ và $\widehat{A}=60^\circ$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=5$, $AC=8$ và $\widehat{A}=60^\circ$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $a=13$, $b=14$, $c=15$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

C. BÀI TẬP ĐÚNG – SAI (3 câu)

Câu 1 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=4$ và $\widehat{A}=60^\circ$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A$.

b) $BC=13$.

c) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $3\sqrt3$.

d) Góc $B$ là góc tù.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $a=7$, $b=8$, $c=5$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $\cos A=\dfrac12$.

b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $20\sqrt3$.

c) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng $\sqrt3$.

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{7\sqrt3}{3}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=30^\circ$ và $BC=4$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $4$.

b) Nếu $\widehat{B}=60^\circ$ thì $AC=4\sqrt3$.

c) Nếu $\widehat{C}=90^\circ$ thì $AB=4\sqrt3$.

d) Nếu $AC=4\sqrt3$ và $\widehat{B}=60^\circ$ thì tam giác $ABC$ đều.

BÀI 3. TỔNG HỢP KIẾN THỨC

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Sơ đồ các công thức cần nhớ

2. Quy trình giải bài toán thực tế

- Bước 1: Chọn mô hình tam giác, đặt tên các đỉnh cho các vị trí trong đề bài.
- Bước 2: Xác định các yếu tố đã biết (cạnh, góc) và yếu tố cần tìm.
- Bước 3: Chọn công thức phù hợp: biết hai cạnh và góc xen giữa thì dùng định lí côsin; biết một cạnh và hai góc thì dùng định lí sin; cần diện tích thì dùng công thức $S$.
- Bước 4: Tính toán, làm tròn theo yêu cầu của đề và kết luận.

3. Lưu ý khi làm bài

- Góc tù có côsin âm, góc nhọn có côsin dương.
- Đổi đơn vị về cùng một loại trước khi tính.
- Chỉ làm tròn ở bước cuối cùng để tránh sai số.

[Hình vẽ]

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (10 câu)

Câu 1 (0,25 điểm). Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí $A$, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc $60^\circ$. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ $15$ km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ $20$ km/h. Sau $2$ giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=120^\circ$, $AB=2$, $AC=3$. Độ dài cạnh $BC$ bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Cho $\cos\alpha=-\dfrac35$ với $90^\circ<\alpha<180^\circ$. Giá trị của $\tan\alpha$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC=6$ và $\widehat{A}=45^\circ$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=4$, $AC=7$, $BC=9$. Giá trị của $\cos A$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho $\sin\alpha=\dfrac23$ và $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Giá trị của $\cos\alpha$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=5$ và $\widehat{A}=120^\circ$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Trên nửa đường tròn đơn vị, điểm $M$ có tung độ $y_0=\dfrac12$ và hoành độ âm. Giá trị côsin của góc $\widehat{xOM}$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=60^\circ$, $\widehat{B}=45^\circ$ và $BC=6$. Độ dài cạnh $AC$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=2$, $AC=4$ và $\widehat{A}=60^\circ$. Độ dài đường trung tuyến kẻ từ $A$ bằng

C. BÀI TẬP ĐÚNG – SAI (4 câu)

Câu 1 (1,0 điểm). Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí $A$, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc $60^\circ$. Tàu thứ nhất đi được $30$ km, tàu thứ hai đi được $40$ km. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Khoảng cách giữa hai tàu được tính bằng định lí côsin trong tam giác.

b) Khoảng cách giữa hai tàu là $10\sqrt{13}$ km.

c) Nếu góc giữa hai hướng đi là $90^\circ$ thì khoảng cách giữa hai tàu là $50$ km.

d) Nếu góc giữa hai hướng đi là $120^\circ$ thì khoảng cách giữa hai tàu nhỏ hơn $60$ km.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=4$, $AC=6$ và $\widehat{A}=60^\circ$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $BC=2\sqrt7$.

b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $6\sqrt3$.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{4\sqrt{21}}{3}$.

d) $\cos B=\dfrac{5}{2\sqrt7}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha=\dfrac35$ và $90^\circ<\alpha<180^\circ$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $\cos\alpha=-\dfrac45$.

b) $\tan\alpha=\dfrac34$.

c) $\cot\alpha=-\dfrac43$.

d) $2\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{14}{5}$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $48$.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $5$.

d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng $2$.

--------- HẾT ---------