Bộ câu hỏi tự luận ôn tập Toán 10 giữa học kỳ I - Kết nối tri thức

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

Câu 1 (Dễ – Nhận biết).
a) Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
$P$: "$17$ là một số nguyên tố."
$Q(x)$: "$2x - 3 > 0$" với $x \in \mathbb{R}$.
$R$: "Thời tiết hôm nay thật đẹp!"
b) Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
$A$: "$\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 \text{ là số lẻ}$".

Câu 2 (Dễ – Nhận biết).
Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê các phần tử:
a) $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid (2x^2 - 5x + 2)(x^2 - 4) = 0\}$.
b) $B = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ là ước chung của } 24 \text{ và } 36\}$.

Câu 3 (Khá – Thông hiểu).
Cho hai tập hợp $A = [-3; 5)$ và $B = (1; 8]$. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn kết quả trên trục số:
a) $A \cap B$.
b) $A \cup B$.
c) $A \setminus B$.
d) $C_{\mathbb{R}}A$.

Câu 4 (Khá – Thông hiểu).
Cho định lí: "Nếu một số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng bằng $0$ thì $n$ chia hết cho $5$".
a) Hãy phát biểu định lí trên dưới dạng mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$, xác định rõ giả thiết $P$ và kết luận $Q$.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của định lí trên. Mệnh đề đảo đó đúng hay sai?
c) Dùng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ" để diễn đạt lại định lí.

Câu 5 (Khá – Thông hiểu).
Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \le 3\}$ và $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x > 0\}$.
a) Biểu diễn các tập hợp $A, B$ dưới dạng các khoảng, đoạn, nửa khoảng.
b) Tìm tập hợp $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$.

Câu 6 (Giỏi – Vận dụng).
Lớp 10A có $45$ học sinh, trong đó có $25$ em thích môn Bóng đá, $18$ em thích môn Cầu lông, $12$ em thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông.
a) Hỏi có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn thể thao trên?
b) Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp 10A không thích môn thể thao nào trong hai môn Bóng đá và Cầu lông?

Câu 7 (Giỏi – Vận dụng).
Cho hai tập hợp $A = (m - 1; m + 3]$ và $B = [-2; 4)$ với $m$ là tham số thực.
a) Tìm $m$ để $A \subset B$.
b) Tìm $m$ để $A \cap B = \varnothing$.

Câu 8 (Giỏi – Vận dụng).
Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge m\}$ và $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 2x - 3 \le 0\}$.
a) Xác định tập hợp $B$ dưới dạng đoạn.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \cap B$ là một đoạn có độ dài bằng $2$.

Câu 9 (Khó – Vận dụng cao).
Cho hai tập hợp khác rỗng:
$A = \{x \in \mathbb{R} \mid mx^2 - 4x + m - 3 = 0\}$ và $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho tập hợp $A$ có đúng một phần tử và $A \subset B$.

Câu 10 (Khó – Vận dụng cao).
Cho tập hợp $X = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$.
a) Có bao nhiêu tập con $A$ của $X$ thỏa mãn điều kiện $A$ chứa phần tử $1$ và không chứa phần tử $9$?
b) Tìm số cặp tập hợp $(A, B)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $A \subset X$, $B \subset X$, $A \cap B = \varnothing$ và $A \cup B = X$.

CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1 (Dễ – Nhận biết).
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? Chỉ ra một nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được:
a) $2x - 3y + 5 > 0$.
b) $x^2 + 2y \le 4$.
c) $3x + y - 2z < 1$.
d) $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} \ge 1$.

Câu 2 (Dễ – Nhận biết).
Cho bất phương trình $3x - 2y + 6 \ge 0$.
a) Điểm $O(0; 0)$ và điểm $M(-3; 1)$ có thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho hay không?
b) Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Câu 3 (Khá – Thông hiểu).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

$$\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ 2x - y + 2 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$$

Xác định tọa độ các đỉnh của miền đa giác nghiệm tìm được.

Câu 4 (Khá – Thông hiểu).
Bác An dự định dành tối đa $12$ triệu đồng để mua hai loại phân bón $A$ và $B$ phục vụ chăm sóc vườn bưởi. Giá một bao phân bón loại $A$ là $400\,000$ đồng, giá một bao phân bón loại $B$ là $600\,000$ đồng. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số bao phân bón loại $A$ và loại $B$ mà bác An có thể mua.
a) Thiết lập bất phương trình biểu thị mối quan hệ giữa $x$ và $y$ theo số tiền bác An có.
b) Nếu bác An mua $15$ bao phân loại $A$ thì có thể mua tối đa bao nhiêu bao phân loại $B$?

Câu 5 (Khá – Thông hiểu).
Cho hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x - y \le 2 \\ 2x + y \le 4 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.
b) Chứng minh rằng miền nghiệm của hệ là một tứ giác và tính diện tích của tứ giác đó.

Câu 6 (Giỏi – Vận dụng).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = 2x + 3y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x - y \ge -2 \\ x + 2y \le 7 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Câu 7 (Giỏi – Vận dụng).
Một xưởng sản xuất bàn ghế đóng hai loại sản phẩm là bàn và ghế gỗ. Thời gian để làm ra một chiếc bàn cần $3$ giờ tiện gỗ và $1$ giờ hoàn thiện; thời gian làm một chiếc ghế cần $1$ giờ tiện gỗ và $1$ giờ hoàn thiện. Mỗi ngày xưởng chỉ có tối đa $9$ giờ làm việc của máy tiện và $5$ giờ hoàn thiện. Tiền lãi từ việc bán mỗi chiếc bàn là $400\,000$ đồng, mỗi chiếc ghế là $250\,000$ đồng. Hỏi mỗi ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu chiếc bàn và bao nhiêu chiếc ghế để thu được tiền lãi lớn nhất?

Câu 8 (Giỏi – Vận dụng).
Một công ty viễn thông đưa ra hai gói cước quảng cáo: Gói $A$ có chi phí $20$ triệu đồng, tiếp cận được $50\,000$ người trẻ và $20\,000$ người lớn tuổi. Gói $B$ có chi phí $30$ triệu đồng, tiếp cận được $40\,000$ người trẻ và $40\,000$ người lớn tuổi. Một doanh nghiệp cần tiếp cận ít nhất $200\,000$ người trẻ và ít nhất $140\,000$ người lớn tuổi. Hỏi doanh nghiệp cần mua bao nhiêu gói cước mỗi loại để tổng chi phí quảng cáo là ít nhất?

Câu 9 (Khó – Vận dụng cao).
Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số $m$:

$$\begin{cases} x + y \ge 1 \\ 2x - y \le 4 \\ x - 2y \ge -2 \\ mx + y \le 3 \end{cases}$$

Biết rằng miền nghiệm của hệ ba bất phương trình đầu là miền tam giác $ABC$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để mọi điểm thuộc miền tam giác $ABC$ đều là nghiệm của bất phương trình thứ tư $mx + y \le 3$.

Câu 10 (Khó – Vận dụng cao).
Một trang trại chăn nuôi dự định trộn hai loại thức ăn công nghiệp $X$ và $Y$ để nuôi bò. Mỗi kilôgam thức ăn $X$ chứa $2$ đơn vị chất đạm, $4$ đơn vị chất béo và $1$ đơn vị vitamin, có giá $25\,000$ đồng. Mỗi kilôgam thức ăn $Y$ chứa $3$ đơn vị chất đạm, $2$ đơn vị chất béo và $2$ đơn vị vitamin, có giá $30\,000$ đồng. Theo khuyến cáo của bác sĩ thú y, khẩu phần ăn hàng ngày của mỗi con bò cần tối thiểu $18$ đơn vị chất đạm, $16$ đơn vị chất béo và $10$ đơn vị vitamin. Hãy xác định khối lượng mỗi loại thức ăn $X, Y$ cần phối trộn cho một con bò mỗi ngày sao cho chi phí thức ăn là thấp nhất. Tính chi phí thấp nhất đó.

CHƯƠNG III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Câu 1 (Dễ – Nhận biết).
Cho tam giác $ABC$ có cạnh $b = 8$ cm, $c = 5$ cm và góc $\widehat{A} = 60^\circ$.
a) Viết công thức định lí côsin để tính độ dài cạnh $a$.
b) Tính chính xác độ dài cạnh $a$.

Câu 2 (Dễ – Nhận biết).
Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = 10$, góc $\widehat{B} = 45^\circ$, $\widehat{C} = 75^\circ$.
a) Tính số đo góc $\widehat{A}$.
b) Áp dụng định lí sin, tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và độ dài cạnh $b$.

Câu 3 (Khá – Thông hiểu).
Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$.
a) Sử dụng công thức Heron, tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$.
b) Tính chiều cao $h_a$ kẻ từ đỉnh $A$ và bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Câu 4 (Khá – Thông hiểu).
Cho tam giác $ABC$ có $a = 6$, $b = 7$, $c = 8$.
a) Tính côsin của góc lớn nhất trong tam giác $ABC$.
b) Độ dài đường trung tuyến $m_a$ kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu?

Câu 5 (Khá – Thông hiểu).
Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ nằm ở hai bên bờ một khúc sông mà không thể qua sông trực tiếp, một người đo đạc chọn điểm $C$ cùng bên bờ với điểm $A$. Người đó đo được khoảng cách $AC = 120$ m, góc $\widehat{CAB} = 65^\circ$ và góc $\widehat{ACB} = 75^\circ$. Tính khoảng cách $AB$ giữa hai điểm đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo mét).

Câu 6 (Giỏi – Vận dụng).
Cho tam giác $ABC$ có $c = 35$, đường cao $h_c = 12$, tỉ số hai cạnh $\dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{13}$.
a) Tính diện tích tam giác $ABC$.
b) Tính độ dài các cạnh $a$ và $b$ của tam giác $ABC$.

Câu 7 (Giỏi – Vận dụng).
Hai tàu thủy cùng xuất phát từ một cảng biển $O$ vào lúc $8$ giờ sáng, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc $120^\circ$. Tàu thứ nhất chuyển động với vận tốc đều $30$ km/h, tàu thứ hai chuyển động với vận tốc đều $40$ km/h.
a) Đến $9$ giờ $30$ phút cùng ngày, tính khoảng cách giữa hai tàu thủy đó.
b) Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai tàu là $130$ km?

Câu 8 (Giỏi – Vận dụng).
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh các hệ thức sau:
a) $\sin A = \sin B \cdot \cos C + \sin C \cdot \cos B$.
b) $S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$, với $S$ là diện tích và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Câu 9 (Khó – Vận dụng cao).
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức:

$$b + c = 2a$$

và

$$\sin^2 A = \sin B \cdot \sin C$$

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là một tam giác đều.

Câu 10 (Khó – Vận dụng cao).
Một tháp truyền hình cao $h = CD$ được xây dựng trên một sườn đồi thoai thoải có góc nghiêng so với phương nằm ngang là $\alpha = 15^\circ$. Từ chân sườn đồi, một người đứng tại điểm $A$ nhìn lên đỉnh tháp $D$ dưới một góc nâng $45^\circ$ so với phương nằm ngang. Người đó tiến lại gần chân đồi thêm một đoạn $AB = 60$ m trên mặt phẳng ngang rồi nhìn lên đỉnh tháp $D$ dưới góc nâng $60^\circ$ so với phương nằm ngang (biết chân tháp $C$ nằm trên sườn đồi và các điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một mặt phẳng thẳng đứng).
a) Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến đỉnh tháp $D$.
b) Tính chiều cao thực tế $CD$ của tháp truyền hình (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

Câu 1

a) Phân loại các câu:
- Câu $P$: "$17$ là một số nguyên tố" là một câu khẳng định có tính đúng sai xác định (đúng), do đó $P$ là một mệnh đề (mệnh đề toán học).
- Câu $Q(x)$: "$2x - 3 > 0$" với $x \in \mathbb{R}$ chứa biến $x$, tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của biến $x$, do đó $Q(x)$ là một mệnh đề chứa biến.
- Câu $R$: "Thời tiết hôm nay thật đẹp!" là một câu cảm thán, không mang tính khẳng định đúng hay sai, do đó $R$ không phải là mệnh đề.

b) Lập mệnh đề phủ định của $A$:

$$\overline{A}: \text{ "}\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 \text{ không là số lẻ"}$$

(hoặc phát biểu: "$\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 \text{ là số chẵn}$").

Xét tính đúng sai của $\overline{A}$:
Chọn $n = 1 \in \mathbb{N}$, ta có:

$$n^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2$$

Vì $2$ là một số chẵn nên tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $n^2 + 1$ là số chẵn. Do đó, mệnh đề phủ định $\overline{A}$ là mệnh đề đúng.

Câu 2

a) Ta có phương trình:

$$(2x^2 - 5x + 2)(x^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x^2 - 5x + 2 = 0 \\ x^2 - 4 = 0 \end{array}\right.$$

- Giải $2x^2 - 5x + 2 = 0$:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 > 0 \Rightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = \dfrac{1}{2}$$

- Giải $x^2 - 4 = 0$:

$$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = -2$$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên ta chỉ nhận các giá trị $x \in \{-2; 2\}$ (loại nghiệm $x = \dfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$).
Vậy tập hợp $A$ viết dưới dạng liệt kê là:

$$A = \{-2; 2\}$$

b) Tập hợp các ước tự nhiên của $24$ là:

$$\text{Ư}(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}$$

Tập hợp các ước tự nhiên của $36$ là:

$$\text{Ư}(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}$$

Tập hợp $B$ gồm các ước chung tự nhiên của $24$ và $36$, do đó:

$$B = \text{ƯC}(24; 36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$$

Câu 3

Cho hai tập hợp $A = [-3; 5)$ và $B = (1; 8]$.

a) Giao của hai tập hợp:

$$A \cap B = [-3; 5) \cap (1; 8] = (1; 5)$$

Biểu diễn trên trục số: Lấy khoảng $(1; 5)$, gạch bỏ phần $x \le 1$ và $x \ge 5$.

b) Hợp của hai tập hợp:

$$A \cup B = [-3; 5) \cup (1; 8] = [-3; 8]$$

Biểu diễn trên trục số: Lấy đoạn $[-3; 8]$, gạch bỏ phần $x < -3$ và $x > 8$.

c) Hiệu của $A$ và $B$:

$$A \setminus B = [-3; 5) \setminus (1; 8] = [-3; 1]$$

Biểu diễn trên trục số: Lấy đoạn $[-3; 1]$, gạch bỏ phần $x < -3$ và $x > 1$.

d) Phần bù của $A$ trong $\mathbb{R}$:

$$C_{\mathbb{R}}A = \mathbb{R} \setminus [-3; 5) = (-\infty; -3) \cup [5; +\infty)$$

Biểu diễn trên trục số: Lấy hai nửa khoảng $(-\infty; -3)$ và $[5; +\infty)$, gạch bỏ đoạn $[-3; 5)$.

Câu 4

a) Phát biểu định lí dưới dạng $P \Rightarrow Q$:
"Nếu một số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng bằng $0$ thì số tự nhiên $n$ đó chia hết cho $5$."
- Giả thiết $P$: "Số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng bằng $0$".
- Kết luận $Q$: "Số tự nhiên $n$ chia hết cho $5$".

b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$:
"Nếu một số tự nhiên $n$ chia hết cho $5$ thì $n$ có chữ số tận cùng bằng $0$."
Mệnh đề đảo này là sai.
Phản ví dụ: Số tự nhiên $n = 15$ chia hết cho $5$, nhưng chữ số tận cùng của $n$ là $5$ (không phải chữ số $0$).

c) Diễn đạt bằng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ":
- Dùng "điều kiện đủ": "Số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng bằng $0$ là điều kiện đủ để $n$ chia hết cho $5$."
- Dùng "điều kiện cần": "Số tự nhiên $n$ chia hết cho $5$ là điều kiện cần để $n$ có chữ số tận cùng bằng $0$."

Câu 5

a) Xác định các tập hợp $A$ và $B$:
- Với tập hợp $A$:

$$|x - 2| \le 3 \Leftrightarrow -3 \le x - 2 \le 3 \Leftrightarrow -1 \le x \le 5$$

Do đó $A = [-1; 5]$.
- Với tập hợp $B$:

$$x^2 - 4x > 0 \Leftrightarrow x(x - 4) > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x > 4 \\ x < 0 \end{array}\right.$$

Do đó $B = (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

b) Ta có:

$$A \cap B = [-1; 5] \cap \big((-\infty; 0) \cup (4; +\infty)\big) = [-1; 0) \cup (4; 5]$$

$$A \setminus B = [-1; 5] \setminus \big((-\infty; 0) \cup (4; +\infty)\big) = [0; 4]$$

Hợp hai tập hợp vừa tìm được:

$$(A \cap B) \cup (A \setminus B) = \big([-1; 0) \cup (4; 5]\big) \cup [0; 4] = [-1; 5] = A$$

Câu 6

Gọi:
- $X$ là tập hợp tất cả các học sinh của lớp 10A, $|X| = 45$.
- $A$ là tập hợp học sinh thích môn Bóng đá, $|A| = 25$.
- $B$ là tập hợp học sinh thích môn Cầu lông, $|B| = 18$.
Khi đó $A \cap B$ là tập hợp học sinh thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông, $|A \cap B| = 12$.

a) Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn thể thao là số phần tử của tập hợp $A \cup B$:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 25 + 18 - 12 = 31 \text{ (học sinh)}$$

b) Số học sinh không thích môn nào trong hai môn Bóng đá và Cầu lông là:

$$|X| - |A \cup B| = 45 - 31 = 14 \text{ (học sinh)}$$

Câu 7

Cho hai tập hợp $A = (m - 1; m + 3]$ và $B = [-2; 4)$.

a) Để $A \subset B$, điều kiện là:

$$\begin{cases} m - 1 \ge -2 \\ m + 3 < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -1 \\ m < 1 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \le m < 1$$

Vậy với $-1 \le m < 1$ thì $A \subset B$.

b) Để $A \cap B = \varnothing$, tập hợp $A$ phải nằm hoàn toàn về phía bên trái hoặc hoàn toàn về phía bên phải của tập hợp $B$:

$$\left[\begin{array}{l} m + 3 < -2 \\ m - 1 \ge 4 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m < -5 \\ m \ge 5 \end{array}\right.$$

Vậy với $m < -5$ hoặc $m \ge 5$ thì $A \cap B = \varnothing$.

Câu 8

a) Giải bất phương trình xác định tập hợp $B$:

$$x^2 - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 3) \le 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 3$$

Do đó tập hợp $B$ dưới dạng đoạn là:

$$B = [-1; 3]$$

b) Ta có $A = [m; +\infty)$.
- Nếu $m > 3$ thì $A \cap B = \varnothing$.
- Nếu $m \le -1$ thì $A \cap B = [-1; 3]$, khi đó độ dài đoạn là $3 - (-1) = 4 \ne 2$.
- Nếu $-1 < m \le 3$ thì:

$$A \cap B = [m; 3]$$

Độ dài của đoạn $[m; 3]$ bằng:

$$3 - m$$

Theo giả thiết, độ dài này bằng $2$:

$$3 - m = 2 \Leftrightarrow m = 1$$

Giá trị $m = 1$ thỏa mãn điều kiện $-1 < m \le 3$.
Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 9

Tập hợp $B$:

$$x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}\right.$$

Do đó $B = \{1; 2\}$.

Tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid mx^2 - 4x + m - 3 = 0\}$ (gọi phương trình là $(1)$).
Để tập hợp $A$ có đúng một phần tử và $A \subset B$ thì $A = \{1\}$ hoặc $A = \{2\}$. Nghĩa là phương trình $(1)$ phải có nghiệm duy nhất thuộc $\{1; 2\}$.

- Trường hợp 1: $m = 0$.
Phương trình $(1)$ trở thành:

$$-4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{3}{4}$$

Khi đó $A = \left\{-\dfrac{3}{4}\right\} \not\subset B$ (loại).

- Trường hợp 2: $m \ne 0$.
Phương trình $(1)$ là phương trình bậc hai, có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

$$\Delta' = (-2)^2 - m(m - 3) = 4 - m^2 + 3m = 0$$

$$\Leftrightarrow -m^2 + 3m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = -1 \\ m = 4 \end{array}\right.$$

+ Với $m = -1$: phương trình trở thành $-x^2 - 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow -(x + 2)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$.
Suy ra $A = \{-2\} \not\subset B$ (loại).
+ Với $m = 4$: phương trình trở thành $4x^2 - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow (2x - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$.
Suy ra $A = \left\{\dfrac{1}{2}\right\} \not\subset B$ (loại).

Vậy không có giá trị nào của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10

Tập hợp $X = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$ có $9$ phần tử.

a) Một tập con $A$ của $X$ thỏa mãn $1 \in A$ và $9 \notin A$:
- Phần tử $1$ bắt buộc phải được chọn vào $A$ ($1$ cách).
- Phần tử $9$ không được chọn vào $A$ ($1$ cách).
- Mỗi phần tử trong $7$ phần tử còn lại $\{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ có $2$ khả năng (hoặc thuộc $A$, hoặc không thuộc $A$).
Số tập con $A$ thỏa mãn yêu cầu là:

$$2^7 = 128 \text{ (tập con)}$$

b) Điều kiện $A \cap B = \varnothing$ và $A \cup B = X$ (với $A, B \subset X$) có nghĩa là mỗi phần tử $x \in X$ thuộc đúng một trong hai tập hợp $A$ hoặc $B$. Khi đó $B$ hoàn toàn được xác định theo $A$ bởi công thức $B = C_X A = X \setminus A$.
Do đó, số cặp tập hợp $(A, B)$ thỏa mãn đúng bằng số tập con $A$ của tập hợp $X$.
Vì tập hợp $X$ có $9$ phần tử nên số tập con của $X$ là:

$$2^9 = 512 \text{ (cặp)}$$

CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1

a) Bất phương trình $2x - 3y + 5 > 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa hai ẩn $x, y$ với bậc cao nhất là $1$).
Một nghiệm là $(0; 0)$ vì $2(0) - 3(0) + 5 = 5 > 0$ (mệnh đề đúng).

b) Bất phương trình $x^2 + 2y \le 4$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa số hạng bậc hai $x^2$.

c) Bất phương trình $3x + y - 2z < 1$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ba ẩn $x, y, z$.

d) Bất phương trình $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} \ge 1 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 \ge 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Một nghiệm là $(2; 3)$ vì $\dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{3} = 1 + 1 = 2 \ge 1$ (mệnh đề đúng).

Câu 2

Cho bất phương trình $3x - 2y + 6 \ge 0$.

a) Kiểm tra các điểm:
- Thay tọa độ điểm $O(0; 0)$ vào vế trái bất phương trình:

$$3(0) - 2(0) + 6 = 6 \ge 0 \quad (\text{đúng})$$

Vậy điểm $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
- Thay tọa độ điểm $M(-3; 1)$ vào vế trái bất phương trình:

$$3(-3) - 2(1) + 6 = -9 - 2 + 6 = -5 \ge 0 \quad (\text{sai})$$

Vậy điểm $M(-3; 1)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

b) Biểu diễn hình học tập nghiệm:
- Vẽ đường thẳng $d: 3x - 2y + 6 = 0$. Đường thẳng này đi qua hai điểm $(-2; 0)$ và $(0; 3)$.
- Vì điểm $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc tọa độ $O(0; 0)$, kể cả bờ $d$.

Câu 3

Xét hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x + y - 2 \le 0 & (d_1: x + y - 2 = 0) \\ 2x - y + 2 \ge 0 & (d_2: 2x - y + 2 = 0) \\ x \ge 0 & (Oy: x = 0) \end{cases}$$

- Đường thẳng $d_1: x + y - 2 = 0$ đi qua $(2; 0)$ và $(0; 2)$.
- Đường thẳng $d_2: 2x - y + 2 = 0$ đi qua $(-1; 0)$ và $(0; 2)$.
- Trục tung $Oy: x = 0$.

Giao điểm của ba đường biên:
- Giao điểm của $d_1$ và $d_2$:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x - y = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x = 0 \\ y = 2 - x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow A(0; 2)$$

- Nhận thấy điểm $A(0; 2)$ cũng đồng thời thuộc trục tung $Oy$ ($x = 0$).

Với miền $x \ge 0$:
- Bất phương trình $2x - y + 2 \ge 0 \Leftrightarrow y \le 2x + 2$. Khi $x \ge 0$ thì $2x + 2 \ge 2$, trong khi đó từ $x + y - 2 \le 0 \Leftrightarrow y \le 2 - x \le 2$. Do đó điều kiện $y \le 2 - x$ bao hàm cả điều kiện $y \le 2x + 2$.
Miền nghiệm là phần mặt phẳng nằm bên phải trục tung ($x \ge 0$) và phía dưới đường thẳng $x + y - 2 = 0$, có đỉnh duy nhất là:

$$A(0; 2)$$

Câu 4

a) Số tiền bác An chi mua $x$ bao phân loại $A$ và $y$ bao phân loại $B$ là:

$$400\,000x + 600\,000y \text{ (đồng)}$$

Vì bác An dành tối đa $12$ triệu đồng nên ta có bất phương trình:

$$400\,000x + 600\,000y \le 12\,000\,000$$

Rút gọn bằng cách chia cả hai vế cho $200\,000$, ta được:

$$2x + 3y \le 60 \quad (x, y \in \mathbb{N})$$

b) Nếu bác An mua $15$ bao phân loại $A$ ($x = 15$), thay vào bất phương trình:

$$2(15) + 3y \le 60 \Leftrightarrow 30 + 3y \le 60 \Leftrightarrow 3y \le 30 \Leftrightarrow y \le 10$$

Vì $y \in \mathbb{N}$ nên giá trị lớn nhất của $y$ là $10$.
Vậy bác An có thể mua tối đa $10$ bao phân bón loại $B$.

Câu 5

Cho hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x - y \le 2 \\ 2x + y \le 4 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

a) Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng $Oxy$:
- Vẽ các đường thẳng:
+ Trục tung $x = 0$ và trục hoành $y = 0$.
+ Đường thẳng $d_1: x - y = 2$ đi qua $(2; 0)$ và $(0; -2)$.
+ Đường thẳng $d_2: 2x + y = 4$ đi qua $(2; 0)$ và $(0; 4)$.
- Lấy điểm thử $M(1; 1)$ nằm trong góc phần tư thứ nhất:
+ $1 - 1 = 0 \le 2$ (thỏa mãn).
+ $2(1) + 1 = 3 \le 4$ (thỏa mãn).
+ $1 \ge 0, 1 \ge 0$ (thỏa mãn).
- Xác định các giao điểm trên miền $x \ge 0, y \ge 0$:
+ Giao điểm của $x = 0$ và $y = 0$ là gốc tọa độ $O(0; 0)$.
+ Giao điểm của $x = 0$ và $2x + y = 4$ là $A(0; 4)$.
+ Giao điểm của $2x + y = 4$ và trục hoành $y = 0$ là $B(2; 0)$.
+ Nhận thấy tại điểm $B(2; 0)$, tọa độ thỏa mãn cả phương trình $x - y = 2 - 0 = 2$.
Do đó, đường biên $x - y = 2$ đi qua đúng đỉnh $B(2; 0)$ và với mọi điểm thuộc tam giác $OAB$, ta luôn có $x - y \le x \le 2$.

b) Về mặt hình học, miền nghiệm là miền đa giác giới hạn bởi 4 đường thẳng biên $x = 0, y = 0, 2x + y = 4, x - y = 2$. Do hai đường $2x + y = 4$ và $x - y = 2$ cắt nhau tại đúng điểm $B(2; 0)$ trên trục hoành, tứ giác có hai đỉnh liền nhau trùng nhau và suy biến thành tam giác vuông $OAB$ tại gốc $O(0; 0)$.
Tọa độ các đỉnh là $O(0; 0)$, $A(0; 4)$, $B(2; 0)$.
Diện tích miền nghiệm là:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \text{ (đơn vị diện tích)}$$

Câu 6

Xét hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x - y \ge -2 & (d_1: x - y = -2) \\ x + 2y \le 7 & (d_2: x + 2y = 7) \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Miền nghiệm của hệ là một miền tứ giác lồi lọt trong góc phần tư thứ nhất.
Tọa độ các đỉnh của miền nghiệm:
- $O(0; 0)$ là giao của $x = 0$ và $y = 0$.
- $A(0; 2)$ là giao điểm của $d_1: x - y = -2$ với trục tung $x = 0$.
- $B$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$:

$$\begin{cases} x - y = -2 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3y = 9 \\ x = y - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 3 \\ x = 1 \end{cases} \Rightarrow B(1; 3)$$

- $C(7; 0)$ là giao điểm của $d_2: x + 2y = 7$ với trục hoành $y = 0$.

Tính giá trị của biểu thức $F(x; y) = 2x + 3y$ tại các đỉnh:
- Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 2(0) + 3(0) = 0$.
- Tại $A(0; 2)$: $F(0; 2) = 2(0) + 3(2) = 6$.
- Tại $B(1; 3)$: $F(1; 3) = 2(1) + 3(3) = 11$.
- Tại $C(7; 0)$: $F(7; 0) = 2(7) + 3(0) = 14$.

So sánh các giá trị trên, ta có:
- Giá trị lớn nhất: $\max F = 14$ khi $x = 7, y = 0$.
- Giá trị nhỏ nhất: $\min F = 0$ khi $x = 0, y = 0$.

Câu 7

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số bàn và số ghế xưởng sản xuất trong một ngày ($x, y \ge 0$, $x, y \in \mathbb{N}$).
- Thời gian tiện gỗ là: $3x + y$ (giờ), tối đa $9$ giờ:

$$3x + y \le 9$$

- Thời gian hoàn thiện là: $x + y$ (giờ), tối đa $5$ giờ:

$$x + y \le 5$$

Ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện:

$$\begin{cases} 3x + y \le 9 \\ x + y \le 5 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Tổng tiền lãi thu được mỗi ngày là biểu thức:

$$L(x; y) = 400x + 250y \text{ (nghìn đồng)}$$

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ với tọa độ các đỉnh:
- $O(0; 0)$.
- $A(0; 5)$ (giao của $x + y = 5$ với $Oy$).
- $B(2; 3)$ (nghiệm của hệ $\begin{cases} 3x + y = 9 \\ x + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$).
- $C(3; 0)$ (giao của $3x + y = 9$ với $Ox$).

Tính giá trị của $L(x; y)$ tại các đỉnh:
- $L(O) = 400(0) + 250(0) = 0$.
- $L(A) = 400(0) + 250(5) = 1\,250$ (nghìn đồng).
- $L(B) = 400(2) + 250(3) = 800 + 750 = 1\,550$ (nghìn đồng).
- $L(C) = 400(3) + 250(0) = 1\,200$ (nghìn đồng).

Giá trị lớn nhất đạt được tại đỉnh $B(2; 3)$ là $1\,550\,000$ đồng.
Vậy mỗi ngày xưởng nên sản xuất $2$ chiếc bàn và $3$ chiếc ghế để thu được tiền lãi lớn nhất.

Câu 8

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số gói cước quảng cáo loại $A$ và loại $B$ cần mua ($x, y \ge 0$).
- Số người trẻ tiếp cận được ít nhất là $200\,000$:

$$50\,000x + 40\,000y \ge 200\,000 \Leftrightarrow 5x + 4y \ge 20$$

- Số người lớn tuổi tiếp cận được ít nhất là $140\,000$:

$$20\,000x + 40\,000y \ge 140\,000 \Leftrightarrow x + 2y \ge 7$$

Tổng chi phí quảng cáo (đơn vị: triệu đồng) là:

$$T(x; y) = 20x + 30y$$

Miền nghiệm của hệ $\begin{cases} 5x + 4y \ge 20 \\ x + 2y \ge 7 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$ là miền đa giác không bị chặn với các điểm đỉnh:
- $M(0; 5)$ (giao của $5x + 4y = 20$ với trục $Oy$).
- $N$ là giao điểm của $5x + 4y = 20$ và $x + 2y = 7$: