Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm học 2026 – 2027 THPT Triệu Sơn 1

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 20. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\tan \alpha = -3$. Giá trị của $\sin \alpha$ bằng

Câu 2. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức $P(x) = (3x - 2)^5$.

Câu 3. Cho đa giác đều có $8$ đỉnh $A_1, A_2, \dots, A_8$. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt của đa giác đó?

Câu 4. Bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm là nửa mặt phẳng không bị gạch sọc (kể cả bờ $d$) trong hình vẽ dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 5. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(2; 4)$, $B(-1; 2)$ và $C(5; -1)$. Toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là

Câu 6. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 3x + 1 & \text{khi } x \ge 2 \\ \dfrac{4 - x}{2x - 1} & \text{khi } x < 2 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số đã cho?

Câu 7. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ và góc giữa hai vectơ $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ$. Độ dài của vectơ $\vec{u} = 2\vec{a} + \vec{b}$ bằng

Câu 8. Parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) có đỉnh $I(2; -3)$ và đi qua điểm $A(0; 1)$. Hàm số bậc hai đó là

Câu 9. Cho tam giác $ABC$ có cạnh $AB = 6$, $AC = 10$ và $\widehat{BAC} = 120^\circ$. Độ dài cạnh $BC$ bằng

Câu 10. Hai lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ cùng tác dụng vào một chất điểm tại điểm $O$, tạo với nhau một góc $60^\circ$. Biết cường độ của hai lực lần lượt là $|\vec{F}_1| = 50\text{ N}$ và $|\vec{F}_2| = 70\text{ N}$. Cường độ hợp lực tác dụng lên chất điểm gần nhất với giá trị nào sau đây?

Câu 11. Điểm kiểm tra định kỳ môn Toán của một nhóm gồm $10$ học sinh lớp 10 được cho bởi mẫu số liệu sau:

$7 \quad 6 \quad 8 \quad 9 \quad 5 \quad x \quad 8 \quad 7 \quad 10 \quad 6$

Tìm giá trị của $x$ để điểm trung bình của cả nhóm bằng $7,4$.

Câu 12. Cho hai tập hợp $A = (-3; 5]$ và $B = [1; +\infty)$. Tập hợp $A \cap B$ bằng

Câu 13. Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. Bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng

Câu 14. Cho sáu điểm phân biệt $A, B, C, D, E, F$. Vectơ tổng $\vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DE}$ bằng

Câu 15. Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{2x + 6}}{x - 2}$ là

Câu 16. Cổng vào một khu di tích có hình dạng parabol với chiều rộng ở chân cổng là $6\text{ m}$ và chiều cao từ mặt đất lên đỉnh vòm là $4,5\text{ m}$. Một khung pano quảng cáo hình chữ nhật có chiều cao $2,5\text{ m}$ được đặt thẳng đứng lọt vào vòm cổng. Chiều rộng tối đa của khung pano đó là bao nhiêu mét?

Câu 17. Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $a$ và góc $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ bằng

Câu 18. Cặp số $(x; y)$ nào sau đây là một nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x - y \ge -1 \\ x + 2y \le 6 \\ x \ge 0 \end{cases}$?

Câu 19. Cho hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) có đồ thị như hình vẽ sau:

[Đồ thị]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 20. Lớp 10A có $42$ học sinh đăng ký tham gia các câu lạc bộ ngoại khóa: có $25$ học sinh tham gia câu lạc bộ Bóng đá, $20$ học sinh tham gia câu lạc bộ Cầu lông và $18$ học sinh tham gia câu lạc bộ Bơi lội. Biết rằng có $10$ em tham gia cả Bóng đá và Cầu lông; $8$ em tham gia cả Bóng đá và Bơi lội; $7$ em tham gia cả Cầu lông và Bơi lội; có $4$ em tham gia cả ba câu lạc bộ. Số học sinh của lớp 10A không tham gia câu lạc bộ nào trong ba câu lạc bộ trên là

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ mô phỏng một vùng biển (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), có một hải đăng đặt tại vị trí $A(1; 2)$ và một trạm kiểm soát đặt tại vị trí $B(7; 10)$. Một tàu cá đi thẳng theo hướng từ vị trí $A$ đến vị trí $B$. Ngoài ra, một đảo du lịch $C$ có toạ độ $C(8; 1)$.
a) Khoảng cách giữa ngọn hải đăng $A$ và trạm kiểm soát $B$ bằng $10\text{ km}$.
b) Phương trình đường thẳng biểu diễn đường đi của con tàu từ $A$ đến $B$ là $4x - 3y + 2 = 0$.
c) Khoảng cách ngắn nhất từ con tàu đến đảo du lịch $C$ trong suốt quá trình di chuyển từ $A$ đến $B$ bằng $6,2\text{ km}$.
d) Khi tàu ở vị trí $M$ trên đoạn thẳng $AB$ sao cho khoảng cách từ tàu đến đảo $C$ là ngắn nhất thì toạ độ của điểm $M$ là $\left(\dfrac{127}{25}; \dfrac{186}{25}\right)$.

Câu 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(2; 1)$, phương trình cạnh $AB$ là $3x - 4y + 8 = 0$ và phương trình cạnh $AC$ là $4x + 3y - 6 = 0$.
a) Toạ độ đỉnh $A$ của tam giác là $A(0; 2)$.
b) Phương trình đường cao $AH$ là $x - 2y + 4 = 0$.
c) Phương trình cạnh $BC$ đi qua điểm $H$.
d) Đường thẳng chứa đường cao $BH$ có phương trình là $3x - 4y - 2 = 0$.

Câu 3. Một tháp quan sát $CD$ thẳng đứng có chân tháp $D$ đặt trên sườn đồi thoai thoải nằm nghiêng so với mặt đất nằm ngang một góc $10^\circ$. Hai trắc địa viên đứng tại hai vị trí $A$ và $B$ thẳng hàng với chân tháp $D$ dọc theo sườn đồi, cách nhau một khoảng $AB = 40\text{ m}$ ($A$ ở vị trí cao hơn $B$). Từ $A$ và $B$, họ ngắm lên đỉnh tháp $C$ theo các góc nghiêng so với mặt phẳng ngang lần lượt là $45^\circ$ và $30^\circ$.
a) Góc $\widehat{CAB} = 135^\circ$ và góc $\widehat{ACB} = 15^\circ$.
b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đỉnh tháp $C$ xấp xỉ bằng $77,3\text{ m}$ (làm tròn đến hàng phần mười).
c) Chiều cao $CD$ của tháp quan sát nhỏ hơn $35\text{ m}$.
d) Nếu một thang cứu hộ đặt tại $A$ muốn vươn thẳng tới đỉnh $C$ thì góc nâng của thang so với mặt sườn đồi là $35^\circ$.

Câu 4. Bác nông dân ghi lại khối lượng (tính bằng gam) của $20$ quả xoài thu hoạch đợt đầu tại vườn như sau:

$410 \quad 425 \quad 390 \quad 430 \quad 415 \quad 420 \quad 360 \quad 480 \quad 435 \quad 420$
$415 \quad 425 \quad 400 \quad 440 \quad 450 \quad 420 \quad 410 \quad 405 \quad 430 \quad 425$

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là $R = 120\text{ gam}$.
b) Số trung vị của mẫu số liệu là $Q_2 = 420\text{ gam}$.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là $\Delta_Q = 17,5\text{ gam}$.
d) Giá trị $360$ và $480$ đều là các giá trị ngoại lệ (giá trị bất thường) của mẫu số liệu.

Câu 5. Cho hàm số bậc hai $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) có đồ thị là một parabol $(P)$ có đỉnh $S(2; -1)$ và đi qua điểm $M(0; 3)$.
a) Trục đối xứng của parabol $(P)$ là đường thẳng $x = 2$.
b) Hàm số đã cho có công thức là $y = x^2 - 4x + 3$.
c) Parabol $(P)$ tiếp xúc với đường thẳng $y = -1$ tại đúng điểm $S(2; -1)$.
d) Đường thẳng $d: y = m$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $SAB$ có diện tích bằng $4$ khi và chỉ khi $m = 3$.

Câu 6. Một cơ sở thủ công mỹ nghệ sản xuất hai loại ghế gỗ: ghế thư giãn loại A và ghế tựa loại B. Để làm một chiếc ghế loại A cần $3\text{ m}^2$ gỗ dán và $6$ giờ gia công; để làm một chiếc ghế loại B cần $2\text{ m}^2$ gỗ dán và $3$ giờ gia công. Nguồn vật liệu gỗ dán của xưởng tối đa là $180\text{ m}^2$ và tổng số giờ công lao động không quá $300$ giờ. Theo đơn đặt hàng, số lượng ghế loại B không được ít hơn số lượng ghế loại A và không vượt quá $3$ lần số lượng ghế loại A. Mỗi chiếc ghế loại A bán được lãi $400$ nghìn đồng, mỗi chiếc ghế loại B bán được lãi $250$ nghìn đồng. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lượng ghế loại A và loại B mà xưởng cần sản xuất.
a) Số tiền lãi thu được của xưởng được biểu diễn bởi hàm số mục tiêu $F(x; y) = 400x + 250y$ (nghìn đồng).
b) Hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc của bài toán là $\begin{cases} x \ge 0,\ y \ge 0 \\ 3x + 2y \le 180 \\ 2x + y \le 100 \\ x \le y \le 3x \end{cases}$.
c) Điểm $M(20; 50)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ràng buộc.
d) Tiền lãi lớn nhất mà xưởng có thể đạt được là $34\,000$ nghìn đồng khi xưởng sản xuất $30$ ghế loại A và $60$ ghế loại B.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB = 12\text{ m}$ và chiều rộng $AD = 8\text{ m}$. Người ta muốn thiết kế một bồn hoa ở chính giữa có dạng hình elip nội tiếp hình chữ nhật (tiếp xúc với bốn cạnh tại trung điểm của mỗi cạnh). Phần đất nằm ngoài bồn hoa được lát cỏ xanh. Tính diện tích phần đất lát cỏ xanh (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét vuông).

Câu 2. Một trạm phát điện đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển thẳng một khoảng $AB = 6\text{ km}$. Tại vị trí $C$ trên bờ biển cách $B$ một khoảng $BC = 9\text{ km}$ có một nhà máy công nghiệp. Người ta cần lắp đặt đường dây tải điện từ trạm $A$ đến điểm $M$ trên bờ biển rồi chạy dọc bờ biển từ $M$ đến $C$. Chi phí kéo $1\text{ km}$ dây dưới nước là $50$ triệu đồng, trong khi chi phí kéo $1\text{ km}$ dây trên bờ biển là $30$ triệu đồng. Hỏi khoảng cách $BM$ bằng bao nhiêu kilômét để tổng chi phí kéo đường dây tải điện là nhỏ nhất?

Câu 3. Cho một chất điểm chịu tác dụng đồng thời của hai lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$. Biết độ lớn lực $|\vec{F}_2| = 10\text{ N}$, góc hợp bởi hai lực bằng $135^\circ$. Cường độ của lực $\vec{F}_1$ phải bằng bao nhiêu niu-tơn để hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ có độ lớn đạt giá trị nhỏ nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4. Trong một hội nghị quốc tế, có $3$ cặp vợ chồng được ban tổ chức xếp ngồi vào một hàng ghế ngang gồm $6$ ghế dành riêng cho khách mời. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho mỗi người vợ đều ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ khác?

Câu 5. Bác Ba dự định sử dụng tối đa $8\text{ ha}$ đất nông nghiệp để trồng bắp (ngô) và khoai lang. Nếu trồng $1\text{ ha}$ bắp thì cần $15$ ngày công và đem lại lợi nhuận $40$ triệu đồng. Nếu trồng $1\text{ ha}$ khoai lang thì cần $25$ ngày công và đem lại lợi nhuận $60$ triệu đồng. Biết gia đình bác Ba chỉ có thể huy động tối đa $150$ ngày công lao động. Lợi nhuận lớn nhất mà bác Ba có thể thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 6. Một cơ sở sản xuất độc quyền một loại thiết bị điện tử. Khi sản xuất và bán ra $x$ sản phẩm ($0 < x < 1500$), tổng doanh thu của cơ sở là $R(x) = 1800x - x^2$ (nghìn đồng) và tổng chi phí sản xuất là $C(x) = x^2 + 200x + 10\,000$ (nghìn đồng). Để điều tiết thị trường, nhà nước áp mức thuế phụ thu là $t$ nghìn đồng trên mỗi đơn vị sản phẩm bán ra ($0 < t < 800$). Cơ sở sẽ lựa chọn mức sản lượng $x$ để tối đa hoá lợi nhuận sau thuế của mình theo mức thuế $t$. Hỏi nhà nước cần áp mức thuế phụ thu $t$ bằng bao nhiêu nghìn đồng trên mỗi đơn vị sản phẩm để số tiền thuế phụ thu thu được là lớn nhất?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Cán bộ chấm thi chấm đúng theo hướng dẫn chấm và thang điểm của tổ chấm.
- Điểm toàn bài thi tính theo thang điểm $20,0$, làm tròn đến $0,25$ điểm.
- Nếu thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm nhưng lập luận chặt chẽ, chính xác thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa tương ứng của phần đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (6,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,3 điểm.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (6,0 điểm)

Thí sinh trả lời từng ý trong mỗi câu:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm
- Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm

Giải thích chi tiết Phần II:
- Câu 1:
+ a) Đúng: $\overrightarrow{AB} = (6; 8) \Rightarrow AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ km}$.
+ b) Đúng: $\overrightarrow{n}_{AB} = (4; -3)$, qua $A(1; 2)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ là $4(x - 1) - 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0$.
+ c) Sai: $d(C, AB) = \dfrac{|4 \cdot 8 - 3 \cdot 1 + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \dfrac{31}{5} = 6,2\text{ km}$. Tuy nhiên cần kiểm tra hình chiếu $H_C$ của $C$ lên đường thẳng $AB$: đường thẳng qua $C$ vuông góc $AB$ là $3x + 4y - 28 = 0$. Giao điểm là $H_C\left(\dfrac{76}{25}; \dfrac{118}{25}\right)$. Vì $1 \le \dfrac{76}{25} \le 7$ nên $H_C$ nằm trong đoạn $AB$. Do đó khoảng cách ngắn nhất đúng bằng $6,2\text{ km}$. Mệnh đề c) phát biểu bằng $6,2\text{ km}$ là Đúng. (Đáp án c: Đ; sửa bảng: a Đ, b Đ, c Đ, d S vì toạ độ đúng là $\left(\dfrac{76}{25}; \dfrac{118}{25}\right)$).
- Câu 2:
+ a) Đúng: Giải hệ toạ độ giao điểm $A$ của $AB$ và $AC$: $\begin{cases} 3x - 4y = -8 \\ 4x + 3y = 6 \end{cases} \Rightarrow A(0; 2)$.
+ b) Sai: $\overrightarrow{AH} = (2; -1)$, đường cao $AH$ có vectơ pháp tuyến là $(1; 2)$, phương trình $x + 2y - 4 = 0$.
+ c) Sai: $H$ là trực tâm tam giác, không thể thuộc cạnh $BC$.
+ d) Sai: Đường cao $BH$ vuông góc với $AC$ ($4x+3y-6=0$) nên có dạng $3x - 4y + c = 0$. Đi qua $H(2; 1) \Rightarrow 3(2) - 4(1) + c = 0 \Rightarrow c = -2$, phương trình là $3x - 4y - 2 = 0$. (Đáp án d: Đúng).
- Câu 3:
+ Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$: $\widehat{ABC} = 30^\circ - 10^\circ = 20^\circ$; $\widehat{BAC} = 180^\circ - (45^\circ - 10^\circ) = 145^\circ \dots$
- Câu 4:
+ a) Đúng: $R = 480 - 360 = 120$.
+ b) Đúng: Sắp xếp mẫu $20$ số liệu, trung vị là trung bình cộng số hạng thứ 10 và 11: $Q_2 = \dfrac{420 + 420}{2} = 420$.
+ c) Sai: $Q_1 = 410$, $Q_3 = 430 \Rightarrow \Delta_Q = 20$.
+ d) Sai: $Q_1 - 1,5\Delta_Q = 410 - 30 = 380 \Rightarrow 360$ là ngoại lệ; nhưng $Q_3 + 1,5\Delta_Q = 430 + 30 = 460 \Rightarrow 480$ cũng là ngoại lệ.
- Câu 5:
+ $S(2; -1) \Rightarrow y = a(x - 2)^2 - 1$. Đi qua $M(0; 3) \Rightarrow 3 = a(0 - 2)^2 - 1 \Rightarrow a = 1$. Vậy $y = x^2 - 4x + 3$.
- Câu 6:
+ Miền nghiệm đa giác có các đỉnh, tính giá trị cực đại tại các đỉnh suy ra kết quả.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (8,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được tương ứng các mức điểm quy định (hoặc 1,33 điểm/câu).

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.