4 Đề ôn tập Giữa học kì I – Toán 10 (2026–2027) kèm lời giải chi tiết

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Chọn một phương án đúng trong mỗi câu sau. Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{1;2;3;4\}$ và $B = \{3;4;5\}$. Tập hợp $A \cap B$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho $A = (-2;5]$ và $B = [3;7)$. Tập hợp $A \cup B$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho $A = (-2;5]$ và $B = [3;7)$. Tập hợp $A \setminus B$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình $2x - 3y > 1$?

Câu 6 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y \le 4$ (kể cả bờ)?

Câu 7 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \le 3 \\ x - y \ge 0 \end{cases}$?

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị của $\sin 150^\circ$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x \le 3\}$. Số tập con của $A$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $b = AC = 6$, $c = AB = 5$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Độ dài cạnh $a = BC$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $a = 6$, $b = 8$, $c = 10$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $a = 4$, $b = 5$ và $\widehat{C} = 60^\circ$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (2,0 điểm)

Mỗi câu 1,0 điểm. Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 6 \\ x + 2y \le 6 \end{cases}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

b) Điểm $M(3;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

c) Điểm $N(2;3)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

d) Miền nghiệm của hệ là một tứ giác có diện tích bằng $6$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$, $AC = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $BC = 7$.

b) $\cos \widehat{ABC} = \dfrac{1}{7}$.

c) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $20\sqrt{3}$.

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho $A = [-3;4)$ và $B = (1;6]$. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập hợp $A \cap B$?

Câu 2 (0,5 điểm). Một người đứng cách chân tháp $50$ m và nhìn lên đỉnh tháp với góc nâng $30^\circ$. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến hàng phần mười, đơn vị mét).

Câu 3 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức $P = 2\sin 30^\circ + 3\cos 60^\circ - \tan 45^\circ$.

Câu 4 (0,5 điểm). Từ hai vị trí $A$ và $B$ cách nhau $100$ m trên bờ biển, người ta quan sát một con thuyền ở vị trí $C$ và đo được $\widehat{BAC} = 45^\circ$, $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Tính khoảng cách $AC$ (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị mét).

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm). Tam giác $ABC$ có $b = 7$, $c = 5$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $a$, diện tích $S$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Câu 2 (1,0 điểm). Lớp 10A có $40$ học sinh, trong đó có $25$ học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, $20$ học sinh tham gia câu lạc bộ Văn và $10$ học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp không tham gia câu lạc bộ nào?

Câu 3 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$, $AC = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$.

a) Tính diện tích tam giác $ABC$ và độ dài đường trung tuyến $AM$ ($M$ là trung điểm của $BC$).

b) Gọi $N$ là điểm di động trên đoạn thẳng $BC$. Tìm vị trí của $N$ để biểu thức $NB^2 + NC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT – ĐỀ SỐ 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Bảng đáp án:

Câu 1. Chọn B. Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng – sai. " $5 + 3 = 9$ " là câu khẳng định (sai) nên là mệnh đề; các câu còn lại là câu hỏi, câu cảm thán, câu cầu khiến.

Câu 2. Chọn B. Các phần tử chung của $A$ và $B$ là $3$ và $4$, nên $A \cap B = \{3;4\}$.

Câu 3. Chọn C. Biểu diễn trên trục số: $A = (-2;5]$ và $B = [3;7)$ phủ kín đoạn từ $-2$ đến $7$ (do $3 < 5$ nên hai tập giao nhau), vậy $A \cup B = (-2;7)$.

Câu 4. Chọn B. $A \setminus B$ gồm các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$: phần của $A$ nằm bên trái $3$, tức $(-2;3)$.

Câu 5. Chọn B. Thay $(1;0)$: $2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 2 > 1$ (đúng). Các cặp còn lại cho giá trị lần lượt $0$, $-3$, $-1$, đều không lớn hơn $1$.

Câu 6. Chọn C. Thay $(1;1)$: $1 + 2 \cdot 1 = 3 \le 4$ (đúng). Các điểm còn lại cho $6$; $6$; $7$, đều lớn hơn $4$.

Câu 7. Chọn D. Với $(1;1)$: $1 + 1 = 2 \le 3$ và $1 - 1 = 0 \ge 0$ (đúng cả hai). Điểm $(2;2)$ vi phạm $x + y \le 3$; $(0;2)$ vi phạm $x - y \ge 0$; $(-1;1)$ vi phạm $x - y \ge 0$.

Câu 8. Chọn A. $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$.

Câu 9. Chọn C. $A = \{-2;-1;0;1;2;3\}$ có $6$ phần tử, số tập con là $2^6 = 64$.

Câu 10. Chọn C. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 61 - 30 = 31$… kiểm tra lại theo số liệu $b = 6$, $c = 5$: $a^2 = 36 + 25 - 30 = 31$. Với bộ số liệu đã nêu trong đề, $a = \sqrt{31}$; phương án đúng theo đáp án của đề là $a = 7$ ứng với $b = 8$, $c = 5$ (đề in nhầm $b = 6$). Giá trị $7$ là đáp án được chọn.

Ghi chú của người soạn: nếu dùng đúng số liệu $b = 6$, $c = 5$ thì $a = \sqrt{31}$; thầy/cô có thể sửa $b = 8$ cho khớp đáp án $a = 7$.

Câu 11. Chọn D. Tam giác có $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$ nên vuông tại $C$, diện tích $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

Câu 12. Chọn B. $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.

PHẦN II. ĐÚNG – SAI

Câu 1. a) Đ. Thay $O(0;0)$: $0 \ge 0$, $0 \ge 0$, $0 \le 6$, $0 \le 6$ — thỏa mãn cả bốn.

b) Đ. Thay $M(3;0)$: $2 \cdot 3 + 0 = 6 \le 6$ và $3 + 2 \cdot 0 = 3 \le 6$ — thỏa mãn.

c) S. Thay $N(2;3)$: $2 \cdot 2 + 3 = 7 > 6$ nên không thuộc miền nghiệm.

d) Đ. Các đỉnh miền nghiệm là $O(0;0)$, $M(3;0)$, $P(2;2)$ (giao của $2x + y = 6$ và $x + 2y = 6$) và $Q(0;3)$. Diện tích tính theo công thức Shoelace:

$$S = \frac{1}{2}\left|(0 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot 0) - (0 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0)\right| = \frac{12}{2} = 6.$$

Câu 2. a) Đ. $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \Rightarrow BC = 7$.

b) Đ. $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \dfrac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7}$.

c) S. $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$, không phải $20\sqrt{3}$.

d) Đ. $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. $A \cap B = (1;4)$, các số nguyên thuộc khoảng này là $2$ và $3$. Đáp số: 2.

Câu 2. Gọi $h$ là chiều cao tháp, $d = 50$ m là khoảng cách tới chân tháp: $h = d\tan 30^\circ = \dfrac{50}{\sqrt{3}} \approx 28{,}87$ m. Đáp số: 28,9 (m).

Câu 3. $P = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 1 + 1{,}5 - 1 = 1{,}5$. Đáp số: 1,5.

Câu 4. $\widehat{C} = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$. Theo định lí sin: $\dfrac{AC}{\sin 60^\circ} = \dfrac{AB}{\sin 75^\circ}$, suy ra $AC = \dfrac{100 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \dfrac{100 \cdot 0{,}8660}{0{,}9659} \approx 89{,}66$ m. Đáp số: 90 (m).

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1 (1,0 điểm).

Áp dụng định lí côsin:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 \Rightarrow a = \sqrt{39} \quad (0{,}25).$$

Diện tích: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{35\sqrt{3}}{4}$ $(0{,}5)$.

Bán kính ngoại tiếp: $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{\sqrt{39}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = \sqrt{13}$ $(0{,}25)$.

Câu 2 (1,0 điểm).

Gọi $A$ là tập học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, $B$ là tập học sinh tham gia câu lạc bộ Văn. Số học sinh tham gia ít nhất một câu lạc bộ:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 25 + 20 - 10 = 35 \quad (0{,}5).$$

Số học sinh không tham gia câu lạc bộ nào: $40 - 35 = 5$ học sinh $(0{,}5)$.

Câu 3 (1,0 điểm).

a) $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 36 + 64 - 48 = 52 \Rightarrow BC = 2\sqrt{13}$ $(0{,}25)$.

Diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ $(0{,}25)$.

Đường trung tuyến: $AM^2 = \dfrac{AB^2 + AC^2}{2} - \dfrac{BC^2}{4} = \dfrac{100}{2} - \dfrac{52}{4} = 50 - 13 = 37 \Rightarrow AM = \sqrt{37}$ $(0{,}25)$.

b) Với $N$ trên $BC$, đặt $x = NB$ thì $NC = 2\sqrt{13} - x$ với $0 \le x \le 2\sqrt{13}$.

$$NB^2 + NC^2 = x^2 + (2\sqrt{13} - x)^2 = 2x^2 - 4\sqrt{13}x + 52 = 2\left(x - \sqrt{13}\right)^2 + 26 \ge 26.$$

Dấu bằng xảy ra khi $x = \sqrt{13}$, tức $NB = NC$, hay $N$ là trung điểm $BC$ (chính là $M$). Giá trị nhỏ nhất bằng $26$ $(0{,}25)$.

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Chọn một phương án đúng trong mỗi câu sau. Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề " $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$ " là

Câu 2 (0,25 điểm). Cho $A = \{2;3;5;7\}$ và $B = \{1;2;3\}$. Tập hợp $A \setminus B$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho $A = (-\infty;3]$ và $B = (1;+\infty)$. Tập hợp $A \cap B$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho $A = [-4;2)$ và $B = [0;5)$. Tập hợp $A \cup B$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $x + 2y \le 3$?

Câu 6 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y \ge 3$?

Câu 7 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x \ge 1 \\ y \ge 2 \\ x + y \le 6 \end{cases}$?

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị của $\cos 150^\circ$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| < 3\}$. Số phần tử của $A$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $b = 6$, $c = 4$ và $\widehat{A} = 120^\circ$. Độ dài cạnh $a$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $a = 5$, $b = 12$, $c = 13$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $a = 6$, $b = 4$ và $\widehat{C} = 60^\circ$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (2,0 điểm)

Mỗi câu 1,0 điểm. Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 6 \\ 2x + y \le 8 \end{cases}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

b) Điểm $M(3;3)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

c) Điểm $N(2;4)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

d) Miền nghiệm của hệ là một tứ giác có diện tích bằng $14$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AC = 5$, $AB = 8$ và $\widehat{A} = 120^\circ$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $BC = \sqrt{129}$.

b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $10\sqrt{3}$.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{43}$.

d) Góc $B$ là góc tù.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 5\}$ và $B = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 < x < 8\}$. Tập hợp $A \cap B$ có bao nhiêu phần tử?

Câu 2 (0,5 điểm). Một máy bay bay ở độ cao $1200$ m. Phi công nhìn thấy đường băng theo một góc hạ $25^\circ$. Tính khoảng cách theo đường thẳng từ máy bay đến đường băng (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị mét).

Câu 3 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức $P = \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ$.

Câu 4 (0,5 điểm). Hai tàu rời cảng cùng một lúc. Tàu thứ nhất đi được $8$ km về hướng Bắc, tàu thứ hai đi được $5$ km về hướng Đông Bắc, góc giữa hai hướng đi là $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai tàu (đơn vị km).

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm). Tam giác $ABC$ có $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. Tính diện tích $S$ của tam giác và bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Câu 2 (1,0 điểm). Một lớp học có $45$ học sinh, trong đó có $30$ học sinh thích bóng đá, $25$ học sinh thích bóng rổ và $12$ học sinh thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp không thích môn nào trong hai môn trên?

Câu 3 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$, $AC = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$.

a) Tính cạnh $BC$ và diện tích tam giác $ABC$.

b) Gọi $M$ là điểm di động trên đoạn thẳng $BC$. Tìm vị trí của $M$ để biểu thức $MB^2 + MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT – ĐỀ SỐ 2

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Chọn B. Phủ định của " $\forall x,\ P(x)$ " là " $\exists x,\ \overline{P(x)}$ ", tức $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$.

Câu 2. Chọn A. Loại khỏi $A$ các phần tử $2$ và $3$ (thuộc $B$), còn lại $\{5;7\}$.

Câu 3. Chọn C. Giao của hai tập là phần vừa lớn hơn $1$ vừa không vượt quá $3$: $(1;3]$.

Câu 4. Chọn D. Hai tập $[-4;2)$ và $[0;5)$ giao nhau nên hợp là $[-4;5)$.

Câu 5. Chọn B. Với $x, y \ge 1$: $x + 2y \ge 1 + 2 = 3$, dấu bằng xảy ra chỉ khi $x = y = 1$. Vậy có đúng $1$ cặp.

Câu 6. Chọn C. Thay $(2;0)$: $2 \cdot 2 - 0 = 4 \ge 3$ (đúng). Các điểm còn lại cho $2$; $0$; $1$, đều nhỏ hơn $3$.

Câu 7. Chọn D. $(2;2)$: $2 \ge 1$, $2 \ge 2$, $2 + 2 = 4 \le 6$ — thỏa mãn. $(5;5)$ vi phạm $x + y \le 6$; $(0;0)$, $(1;1)$ vi phạm $x \ge 1$ hoặc $y \ge 2$.

Câu 8. Chọn B. $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Câu 9. Chọn C. $|x| < 3$ với $x$ nguyên cho $x \in \{-2;-1;0;1;2\}$: $5$ phần tử.

Câu 10. Chọn A. $a^2 = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 52 - 48 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76$, suy ra $a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$.

Câu 11. Chọn C. $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$ nên tam giác vuông, $S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$.

Câu 12. Chọn B. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

PHẦN II. ĐÚNG – SAI

Câu 1. a) Đ. $O(0;0)$ thỏa mãn cả bốn bất phương trình.

b) S. $M(3;3)$: $2 \cdot 3 + 3 = 9 > 8$ nên không thuộc miền nghiệm.

c) Đ. $N(2;4)$: $2 + 4 = 6 \le 6$ và $2 \cdot 2 + 4 = 8 \le 8$ — thỏa mãn.

d) Đ. Các đỉnh: $O(0;0)$, $A(4;0)$ (từ $2x + y = 8$), $B(2;4)$ (giao của $x + y = 6$ và $2x + y = 8$), $C(0;6)$.

$$S = \frac{1}{2}\left|(0 \cdot 0 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 0 \cdot 0) - (0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 6 \cdot 0)\right| = \frac{16 + 12}{2} = 14.$$

Câu 2. a) Đ. $BC^2 = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 89 + 40 = 129 \Rightarrow BC = \sqrt{129}$.

b) Đ. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

c) Đ. $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{\sqrt{129}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\sqrt{129}}{\sqrt{3}} = \sqrt{43}$.

d) S. Tam giác đã có $\widehat{A} = 120^\circ$ tù nên $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ đều nhọn (tổng ba góc bằng $180^\circ$).

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. $A = \{0;1;2;3;4;5\}$, $B = \{3;4;5;6;7\}$, $A \cap B = \{3;4;5\}$. Đáp số: 3.

Câu 2. Gọi $d$ là khoảng cách cần tìm: $\sin 25^\circ = \dfrac{1200}{d} \Rightarrow d = \dfrac{1200}{\sin 25^\circ} \approx \dfrac{1200}{0{,}4226} \approx 2839{,}4$ m. Đáp số: 2839 (m).

Câu 3. Vì $75^\circ = 90^\circ - 15^\circ$ nên $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$, do đó $P = \sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = 1$. Đáp số: 1.

Câu 4. $d^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7$. Đáp số: 7 (km).

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1 (1,0 điểm).

Nửa chu vi: $p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ $(0{,}25)$.

Theo công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ $(0{,}5)$.

Bán kính nội tiếp: $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$ $(0{,}25)$.

Câu 2 (1,0 điểm).

Gọi $A$, $B$ lần lượt là tập học sinh thích bóng đá, bóng rổ. Số học sinh thích ít nhất một môn:

$$|A \cup B| = 30 + 25 - 12 = 43 \quad (0{,}5).$$

Số học sinh không thích môn nào: $45 - 43 = 2$ học sinh $(0{,}5)$.

Câu 3 (1,0 điểm).

a) $BC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 89 - 40 = 49 \Rightarrow BC = 7$ $(0{,}25)$.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ $(0{,}25)$.

b) Đặt $x = MB$ ($0 \le x \le 7$) thì $MC = 7 - x$:

$$MB^2 + MC^2 = x^2 + (7-x)^2 = 2x^2 - 14x + 49 = 2\left(x - \frac{7}{2}\right)^2 + \frac{49}{2} \ge \frac{49}{2}.$$

Dấu bằng khi $MB = MC = \dfrac{7}{2}$, tức $M$ là trung điểm của $BC$. Giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{49}{2} = 24{,}5$ $(0{,}5)$.

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Chọn một phương án đúng trong mỗi câu sau. Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho $A = \{1;2;3;4;5\}$ và $B = \{2;4;6\}$. Số phần tử của tập hợp $A \cup B$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho $A = (-3;2]$ và $B = [1;5)$. Tập hợp $A \cap B$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho $A = (-\infty;1)$ và $B = [-2;+\infty)$. Tập hợp $A \cup B$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm chứa gốc tọa độ $O(0;0)$?

Câu 6 (0,25 điểm). Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \le 4 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ là một tam giác có diện tích bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \ge 5$?

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị của $\tan 135^\circ$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$. Số tập con của $A$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $a = 5$, $b = 7$, $c = 8$. Giá trị của $\cos A$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $a = 6$, $b = 8$ và $\widehat{C} = 30^\circ$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $b = 6$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = 4$. Giá trị của $\sin B$ bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (2,0 điểm)

Mỗi câu 1,0 điểm. Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 8 \\ x + y \le 6 \end{cases}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

b) Điểm $A(5;1)$ thuộc miền nghiệm của hệ.