Đề thi HSG Toán 10 THPT (Đề 1 và Đề 2) kèm Lời giải chi tiết chuẩn hóa

ĐỀ BÀI

Câu 1 (5,5 điểm).
a) (2,5 điểm) Để phục vụ cho dự án chuyển đổi số trong nông nghiệp công nghệ cao tại địa phương, một nhóm chuyên gia tiến hành khảo sát $100$ hợp tác xã (HTX) về việc áp dụng ba công nghệ: Hệ thống tưới tự động thông minh ($A$), Cảm biến giám sát độ ẩm đất ($B$), và Ứng dụng quản lý giám sát bằng trí tuệ nhân tạo ($C$). Kết quả thu được như sau:
- Có $52$ HTX sử dụng công nghệ $A$; $45$ HTX sử dụng công nghệ $B$; $40$ HTX sử dụng công nghệ $C$.
- Có $22$ HTX sử dụng cả công nghệ $A$ và $B$; $18$ HTX sử dụng cả $B$ và $C$; $20$ HTX sử dụng cả $A$ và $C$.
- Có $10$ HTX sử dụng đồng thời cả ba công nghệ trên.
Hỏi:
i) Có bao nhiêu HTX không áp dụng bất kỳ công nghệ nào trong ba công nghệ trên?
ii) Có bao nhiêu HTX chỉ áp dụng đúng một trong ba loại công nghệ đã nêu?

b) (3,0 điểm) Cho hai tập hợp:

$$A = [m - 2;\, m + 4], \quad B = (-\infty;\, 2m - 1) \cup [3m + 5;\, +\infty)$$

với $m$ là tham số thực.
i) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \subset B$.
ii) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để tập hợp $A \cap B$ chứa đúng $5$ số nguyên.

Câu 2 (5,5 điểm).
a) (2,5 điểm) Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

$$\begin{cases} x - 2y \le 2 \\ 2x + y \le 8 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

b) (3,0 điểm) Một xưởng cơ khí nông nghiệp dự định gia công hai loại máy cắt cỏ phục vụ mùa thu hoạch: máy loại $\mathrm{I}$ và máy loại $\mathrm{II}$. Để sản xuất một chiếc máy loại $\mathrm{I}$ cần $2$ giờ rèn, $4$ giờ lắp ráp hoàn thiện và mang lại lợi nhuận $1{,}8$ triệu đồng. Để sản xuất một chiếc máy loại $\mathrm{II}$ cần $3$ giờ rèn, $2$ giờ lắp ráp hoàn thiện và mang lại lợi nhuận $1{,}5$ triệu đồng. Biết rằng trong một tuần, xưởng chỉ có tối đa $180$ giờ làm việc của tổ rèn và tối đa $200$ giờ làm việc của tổ lắp ráp. Hãy lập kế hoạch sản xuất số lượng từng loại máy trong một tuần để xưởng thu được tổng lợi nhuận lớn nhất. Tính giá trị lợi nhuận tối đa đó.

Câu 3 (3,0 điểm).
Cho góc nhọn $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ và $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{7}{5}$.
a) Tính giá trị của biểu thức $P = \sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
b) Tính giá trị của biểu thức $Q = \dfrac{2\sin^3 \alpha - 3\cos^3 \alpha}{\sin \alpha + 2\cos \alpha}$.

Câu 4 (6,0 điểm).
a) (3,0 điểm) Để đo khoảng cách từ một vị trí $A$ trên bờ hồ đến một tháp phát sóng $C$ nằm ở cù lao giữa hồ mà không thể băng qua được, hai kỹ sư trắc địa đã chọn thêm một điểm quan sát $B$ trên bờ sao cho khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ đo được là $AB = 120\text{ m}$. Sử dụng giác kế, họ đo được các góc $\widehat{CAB} = 68^\circ$ và $\widehat{CBA} = 74^\circ$.
i) Tính khoảng cách từ vị trí quan sát $A$ đến tháp $C$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
ii) Tính khoảng cách ngắn nhất từ tháp $C$ ra mép đường nối thẳng giữa hai điểm $A$ và $B$.

b) (3,0 điểm) Trong một công viên ven hồ có con đường thẳng $d$. Hai điểm vui chơi $A$ và $B$ nằm cùng một phía so với đường $d$, với khoảng cách vuông góc từ $A$ và $B$ đến đường $d$ lần lượt là $AH = 300\text{ m}$, $BK = 500\text{ m}$, và độ dài đoạn thẳng $HK = 600\text{ m}$ ($H, K \in d$). Ban quản lý công viên muốn đặt một trạm quan sát cứu hộ $M$ trên đoạn thẳng $HK$ sao cho góc quan sát $\widehat{AMB}$ đạt giá trị lớn nhất. Xác định vị trí của trạm cứu hộ $M$ trên đoạn thẳng $HK$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ..................................................................... Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT — ĐỀ SỐ 1

Câu 1 (5,5 điểm)

a)
Ký hiệu $U$ là tập hợp tất cả $100$ HTX được khảo sát, suy ra số phần tử $n(U) = 100$.
Gọi $A, B, C$ lần lượt là tập hợp các HTX áp dụng công nghệ $A, B, C$.
Theo đề bài:

$$n(A) = 52, \quad n(B) = 45, \quad n(C) = 40$$

$$n(A \cap B) = 22, \quad n(B \cap C) = 18, \quad n(A \cap C) = 20$$

$$n(A \cap B \cap C) = 10$$

i) Số HTX áp dụng ít nhất một trong ba công nghệ là $n(A \cup B \cup C)$. Áp dụng công thức bao hàm và loại trừ cho ba tập hợp:

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - [n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] + n(A \cap B \cap C)$$

$$n(A \cup B \cup C) = 52 + 45 + 40 - (22 + 18 + 20) + 10 = 137 - 60 + 10 = 87$$

Số HTX không áp dụng bất kỳ công nghệ nào trong ba công nghệ trên là:

$$n(U) - n(A \cup B \cup C) = 100 - 87 = 13\text{ (HTX)}.$$

ii) Phân tích số lượng phần tử trên từng miền rời nhau của sơ đồ Venn:
- Số HTX chỉ áp dụng cả hai công nghệ $A$ và $B$ (không áp dụng $C$):

$$n(A \cap B \setminus C) = n(A \cap B) - n(A \cap B \cap C) = 22 - 10 = 12$$

- Số HTX chỉ áp dụng cả hai công nghệ $B$ và $C$ (không áp dụng $A$):

$$n(B \cap C \setminus A) = n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C) = 18 - 10 = 8$$

- Số HTX chỉ áp dụng cả hai công nghệ $A$ và $C$ (không áp dụng $B$):

$$n(A \cap C \setminus B) = n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C) = 20 - 10 = 10$$

Từ đó, ta có:
- Số HTX chỉ áp dụng duy nhất công nghệ $A$:

$$n_1(A) = n(A) - [n(A \cap B \setminus C) + n(A \cap C \setminus B) + n(A \cap B \cap C)] = 52 - (12 + 10 + 10) = 20$$

- Số HTX chỉ áp dụng duy nhất công nghệ $B$:

$$n_1(B) = n(B) - [n(A \cap B \setminus C) + n(B \cap C \setminus A) + n(A \cap B \cap C)] = 45 - (12 + 8 + 10) = 15$$

- Số HTX chỉ áp dụng duy nhất công nghệ $C$:

$$n_1(C) = n(C) - [n(A \cap C \setminus B) + n(B \cap C \setminus A) + n(A \cap B \cap C)] = 40 - (10 + 8 + 10) = 12$$

Vậy tổng số HTX chỉ áp dụng đúng một trong ba loại công nghệ là:

$$n_1(A) + n_1(B) + n_1(C) = 20 + 15 + 12 = 47\text{ (HTX)}.$$

[Hình vẽ]

b)
Đoạn $A = [m - 2;\, m + 4]$ luôn có độ dài cố định bằng $(m + 4) - (m - 2) = 6$.
Xét tập hợp $B = (-\infty;\, 2m - 1) \cup [3m + 5;\, +\infty)$:
- Nếu $2m - 1 > 3m + 5 \iff m < -6$, hai nửa khoảng chồng lên nhau nên $B = \mathbb{R}$.
- Nếu $2m - 1 \le 3m + 5 \iff m \ge -6$, ta có $B = \mathbb{R} \setminus [2m - 1;\, 3m + 5)$.

i) Tìm $m$ để $A \subset B$:
- Với $m < -6$: Ta có $B = \mathbb{R}$, hiển nhiên $A \subset \mathbb{R} = B$ với mọi $m < -6$.
- Với $m \ge -6$: Ta có $A \subset B \iff A \cap [2m - 1;\, 3m + 5) = \varnothing$.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi đoạn $A$ nằm hẳn về phía bên trái hoặc hẳn về phía bên phải của nửa khoảng $[2m - 1;\, 3m + 5)$:
+ Trường hợp 1: $A$ nằm hoàn toàn về phía bên trái:

$$m + 4 < 2m - 1 \iff m > 5$$

+ Trường hợp 2: $A$ nằm hoàn toàn về phía bên phải:

$$m - 2 \ge 3m + 5 \iff 2m \le -7 \iff m \le -\dfrac{7}{2}$$

Kết hợp với điều kiện $m \ge -6$, ta được $m \in \left[-6;\, -\dfrac{7}{2}\right] \cup (5;\, +\infty)$.
Hợp cả hai trường hợp lại, ta được:

$$m \in \left(-\infty;\, -\dfrac{7}{2}\right] \cup (5;\, +\infty).$$

ii) Tìm $m$ để tập hợp $A \cap B$ chứa đúng $5$ số nguyên:
- Với $m < -6$: $B = \mathbb{R} \implies A \cap B = A = [m - 2;\, m + 4]$.
Vì đoạn $A$ có độ dài bằng $6$ nên nó luôn chứa ít nhất $6$ số nguyên (nếu $m \in \mathbb{Z}$ thì chứa $7$ số nguyên, nếu $m \notin \mathbb{Z}$ thì chứa $6$ số nguyên). Do đó đoạn $A$ không bao giờ chứa đúng $5$ số nguyên. Vậy trường hợp $m < -6$ không thỏa mãn.
- Với $m \ge -6$: Ta có $A \cap B = A \setminus [2m - 1;\, 3m + 5)$.
Khoảng bị loại bỏ là nửa khoảng $J = [2m - 1;\, 3m + 5)$ có độ dài $(3m + 5) - (2m - 1) = m + 6 \ge 0$.
Để $A \cap B$ còn lại đúng $5$ số nguyên, khoảng $J$ phải cắt vào đoạn $A$ từ một phía (bên phải hoặc bên trái):

Trường hợp 1: Khoảng $J$ cắt vào phía bên phải của đoạn $A$ (tức là $3m + 5 > m + 4 \iff m > -0{,}5$ và $2m - 1 \in (m - 2;\, m + 4]$).
Khi đó phần giao còn lại là nửa khoảng:

$$A \cap B = [m - 2;\, 2m - 1)$$

Nửa khoảng $[m - 2;\, 2m - 1)$ chứa đúng $5$ số nguyên khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $p$ sao cho $5$ số nguyên đó là $p, p+1, p+2, p+3, p+4$.
Điều này tương đương với:

$$\begin{cases} p - 1 < m - 2 \le p \\ p + 4 < 2m - 1 \le p + 5 \end{cases} \iff \begin{cases} p + 1 < m \le p + 2 \\ \dfrac{p + 5}{2} < m \le \dfrac{p + 6}{2} \end{cases}$$

Hệ có nghiệm $m$ khi và chỉ khi:
- Với $p = 2$: ta có $\begin{cases} 3 < m \le 4 \\ 3{,}5 < m \le 4 \end{cases} \iff 3{,}5 < m \le 4$.
- Với $p = 3$: ta có $\begin{cases} 4 < m \le 5 \\ 4 < m \le 4{,}5 \end{cases} \iff 4 < m \le 4{,}5$.
Hợp hai khoảng này lại, ta được:

$$m \in (3{,}5;\, 4{,}5] = \left(\dfrac{7}{2};\, \dfrac{9}{2}\right].$$

Trường hợp 2: Khoảng $J$ cắt vào phía bên trái của đoạn $A$ (tức là $2m - 1 < m - 2 \iff m < -1$ và $3m + 5 \in [m - 2;\, m + 4]$).
Khi đó phần giao còn lại là đoạn:

$$A \cap B = [3m + 5;\, m + 4]$$

Đoạn $[3m + 5;\, m + 4]$ chứa đúng $5$ số nguyên khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $q$ sao cho $5$ số nguyên đó là $q, q+1, q+2, q+3, q+4$.
Điều này tương đương với:

$$\begin{cases} q - 1 < 3m + 5 \le q \\ q + 4 \le m + 4 < q + 5 \end{cases} \iff \begin{cases} \dfrac{q - 6}{3} < m \le \dfrac{q - 5}{3} \\ q \le m < q + 1 \end{cases}$$

Hệ có nghiệm $m$ khi và chỉ khi:
- Với $q = -3$: ta có $\begin{cases} -3 < m \le -\dfrac{8}{3} \\ -3 \le m < -2 \end{cases} \iff -3 < m \le -\dfrac{8}{3}$.
- Với $q = -4$: ta có $\begin{cases} -\dfrac{10}{3} < m \le -3 \\ -4 \le m < -3 \end{cases} \iff -\dfrac{10}{3} < m < -3$.
(Lưu ý: tại $m = -3$, đoạn $A \cap B = [-4;\, 1]$ có độ dài bằng $5$ và chứa $6$ số nguyên $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ nên $m = -3$ bị loại).
Hợp hai khoảng lại, ta được:

$$m \in \left(-\dfrac{10}{3};\, -3\right) \cup \left(-3;\, -\dfrac{8}{3}\right].$$

Trường hợp 3: Nếu $J$ nằm trọn vẹn trong lòng đoạn $A$, tức là $m - 2 \le 2m - 1$ và $3m + 5 \le m + 4 \iff -1 \le m \le -0{,}5$.
Khi đó độ dài của $J$ là $m + 6 \in [5;\, 5{,}5]$, nửa khoảng $J$ luôn chứa ít nhất $5$ số nguyên, dẫn đến phần còn lại $A \setminus J$ chứa tối đa $7 - 5 = 2$ số nguyên, không thể có đúng $5$ số nguyên.

Vậy tất cả các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$$m \in \left(-\dfrac{10}{3};\, -3\right) \cup \left(-3;\, -\dfrac{8}{3}\right] \cup \left(\dfrac{7}{2};\, \dfrac{9}{2}\right].$$

Câu 2 (5,5 điểm)

a)
Xét hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x - 2y \le 2 & (d_1: x - 2y = 2) \\ 2x + y \le 8 & (d_2: 2x + y = 8) \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

- Vẽ đường thẳng $d_1: x - 2y = 2$ đi qua hai điểm $(2; 0)$ và $(0; -1)$.
Thay tọa độ điểm gốc $O(0; 0)$ vào bất phương trình: $0 - 2(0) = 0 \le 2$ (mệnh đề đúng). Do đó miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \le 2$ là nửa mặt phẳng bờ $d_1$ chứa gốc tọa độ $O$.
- Vẽ đường thẳng $d_2: 2x + y = 8$ đi qua hai điểm $(4; 0)$ và $(0; 8)$.
Thay tọa độ $O(0; 0)$ vào bất phương trình: $2(0) + 0 = 0 \le 8$ (mệnh đề đúng). Do đó miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 8$ là nửa mặt phẳng bờ $d_2$ chứa gốc tọa độ $O$.
- $x \ge 0$: nửa mặt phẳng bên phải trục tung $Oy$ (kể cả bờ $Oy$).
- $y \ge 0$: nửa mặt phẳng phía trên trục hoành $Ox$ (kể cả bờ $Ox$).

Tọa độ các đỉnh của tứ giác nghiệm $OABC$:
- Gốc tọa độ: $O(0; 0)$.
- Điểm $A$ là giao điểm của đường thẳng $d_1$ với trục hoành $Ox$: cho $y = 0 \implies x = 2 \implies A(2; 0)$.
- Điểm $B$ là giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$: giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x - 2y = 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{18}{5} = 3{,}6 \\ y = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \end{cases} \implies B\left(\dfrac{18}{5};\, \dfrac{4}{5}\right)$$

- Điểm $C$ là giao điểm của đường thẳng $d_2$ với trục tung $Oy$: cho $x = 0 \implies y = 8 \implies C(0; 8)$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên).

[Đồ thị]

b)
Gọi $x, y$ lần lượt là số lượng máy cắt cỏ loại $\mathrm{I}$ và loại $\mathrm{II}$ xưởng sản xuất trong một tuần ($x, y \in \mathbb{N}$).
Tổng số giờ làm việc của tổ rèn trong tuần là: $2x + 3y$ (giờ).
Tổng số giờ làm việc của tổ lắp ráp trong tuần là: $4x + 2y$ (giờ).
Theo các điều kiện giới hạn về thời gian của xưởng, ta có hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 2x + 3y \le 180 \\ 4x + 2y \le 200 \iff 2x + y \le 100 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Tổng lợi nhuận thu được trong tuần là hàm mục tiêu:

$$F(x, y) = 1{,}8x + 1{,}5y \quad (\text{triệu đồng}).$$

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OMNP$ (kể cả biên) với tọa độ các đỉnh:
- $O(0; 0)$.
- Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $2x + y = 100$ với trục hoành: $y = 0 \implies x = 50 \implies M(50; 0)$.
- Điểm $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $2x + 3y = 180$ và $2x + y = 100$:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 180 \\ 2x + y = 100 \end{cases} \implies \begin{cases} 2y = 80 \implies y = 40 \\ x = \dfrac{100 - 40}{2} = 30 \end{cases} \implies N(30; 40)$$

- Điểm $P$ là giao điểm của đường thẳng $2x + 3y = 180$ với trục tung: $x = 0 \implies y = 60 \implies P(0; 60)$.

[Đồ thị]

Giá trị của hàm lợi nhuận $F(x, y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm:
- Tại $O(0; 0)$: $F(0, 0) = 0$ (triệu đồng).
- Tại $M(50; 0)$: $F(50, 0) = 1{,}8 \times 50 + 1{,}5 \times 0 = 90$ (triệu đồng).
- Tại $N(30; 40)$: $F(30, 40) = 1{,}8 \times 30 + 1{,}5 \times 40 = 54 + 60 = 114$ (triệu đồng).
- Tại $P(0; 60)$: $F(0, 60) = 1{,}8 \times 0 + 1{,}5 \times 60 = 90$ (triệu đồng).

So sánh các giá trị, ta thấy hàm $F(x, y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $114$ triệu đồng tại $x = 30$ và $y = 40$.
Kết luận: Để đạt lợi nhuận lớn nhất, xưởng cần sản xuất $30$ máy loại $\mathrm{I}$ và $40$ máy loại $\mathrm{II}$ mỗi tuần. Lợi nhuận tối đa đạt được là $114$ triệu đồng/tuần.

Câu 3 (3,0 điểm)

a)
Bình phương hai vế của giả thiết $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{7}{5}$:

$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\dfrac{7}{5}\right)^2 = \dfrac{49}{25}$$

Mặt khác, sử dụng hệ thức cơ bản $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2P$$

Suy ra:

$$1 + 2P = \dfrac{49}{25} \implies 2P = \dfrac{24}{25} \implies P = \sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{12}{25}.$$

b)
Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha > 0$, suy ra mẫu thức $\sin \alpha + 2\cos \alpha > 0$.
Hai số $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ có tổng bằng $\dfrac{7}{5}$ và tích bằng $\dfrac{12}{25}$, do đó chúng là hai nghiệm thực của phương trình bậc hai:

$$t^2 - \dfrac{7}{5}t + \dfrac{12}{25} = 0 \iff 25t^2 - 35t + 12 = 0 \iff (5t - 3)(5t - 4) = 0 \implies t = \dfrac{3}{5} \quad \text{hoặc} \quad t = \dfrac{4}{5}$$

- Trường hợp 1: $\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$ và $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$:

$$Q = \dfrac{2\left(\dfrac{4}{5}\right)^3 - 3\left(\dfrac{3}{5}\right)^3}{\dfrac{4}{5} + 2\left(\dfrac{3}{5}\right)} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{64}{125} - 3 \cdot \dfrac{27}{125}}{\dfrac{10}{5}} = \dfrac{\dfrac{128 - 81}{125}}{2} = \dfrac{47}{250}.$$

- Trường hợp 2: $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\cos \alpha = \dfrac{4}{5}$:

$$Q = \dfrac{2\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 - 3\left(\dfrac{4}{5}\right)^3}{\dfrac{3}{5} + 2\left(\dfrac{4}{5}\right)} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{27}{125} - 3 \cdot \dfrac{64}{125}}{\dfrac{11}{5}} = \dfrac{\dfrac{54 - 192}{125}}{\dfrac{11}{5}} = \dfrac{-138}{125} \cdot \dfrac{5}{11} = -\dfrac{138}{275}.$$

Vậy giá trị của biểu thức $Q$ là $\dfrac{47}{250}$ hoặc $-\dfrac{138}{275}$.

Câu 4 (6,0 điểm)

a)
Xét tam giác $ABC$:
Góc tại đỉnh $C$ là: $\widehat{ACB} = 180^\circ - (\widehat{CAB} + \widehat{CBA}) = 180^\circ - (68^\circ + 74^\circ) = 38^\circ$.

[Hình vẽ]

i) Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{AC}{\sin \widehat{CBA}} = \dfrac{AB}{\sin \widehat{ACB}} \implies AC = \dfrac{AB \cdot \sin \widehat{CBA}}{\sin \widehat{ACB}} = \dfrac{120 \cdot \sin 74^\circ}{\sin 38^\circ}$$

Tính toán chi tiết:

$$AC \approx \dfrac{120 \cdot 0{,}96126}{0{,}61566} \approx 187{,}36\text{ m} \approx 187{,}4\text{ m}.$$

ii) Khoảng cách ngắn nhất từ tháp $C$ đến đường thẳng $AB$ là độ dài đoạn thẳng vuông góc $CH$ ($H \in AB$).
Trong tam giác vuông $AHC$ vuông tại $H$:

$$CH = AC \cdot \sin \widehat{CAB} \approx 187{,}36 \cdot \sin 68^\circ \approx 187{,}36 \cdot 0{,}92718 \approx 173{,}7\text{ m}.$$

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tháp $C$ ra mép đường nối $A$ và $B$ xấp xỉ $173{,}7\text{ m}$.

b)
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho đường thẳng $d$ trùng với trục hoành $Ox$, gốc tọa độ $O \equiv H(0; 0)$.
Khi đó tọa độ các điểm là:
- $H(0; 0)$.
- $K(600; 0)$ (do $HK = 600\text{ m}$).
- $A(0; 300)$ (do $AH \perp d$ và $AH = 300\text{ m}$).
- $B(600; 500)$ (do $BK \perp d$ và $BK = 500\text{ m}$).

[Hình vẽ]

Gọi đường thẳng $AB$ cắt đường thẳng $d$ tại điểm $I$.
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A(0; 300)$ và $B(600; 500)$:
Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (600; 200) = 200(3; 1)$, suy ra phương trình đường thẳng $AB$:

$$\dfrac{x - 0}{3} = \dfrac{y - 300}{1} \iff x - 3y + 900 = 0$$

Giao điểm $I$ của $AB$ với đường thẳng $d$ ($y = 0$):

$$x - 3(0) + 900 = 0 \implies x = -900 \implies I(-900; 0)$$

Góc quan sát $\widehat{AMB}$ lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn đi qua hai điểm $A, B$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại điểm $M$.
Theo định lí phương tích của điểm $I$ đối với đường tròn tiếp xúc với $d$ tại $M$:

$$IM^2 = IA \cdot IB$$

Tính khoảng cách từ $I(-900; 0)$ đến $A(0; 300)$ và $B(600; 500)$:

$$IA^2 = (0 - (-900))^2 + (300 - 0)^2 = 900^2 + 300^2 = 810000 + 90000 = 900000$$

$$IB^2 = (600 - (-900))^2 + (500 - 0)^2 = 1500^2 + 500^2 = 2250000 + 250000 = 2500000$$

Suy ra:

$$IM^2 = \sqrt{IA^2 \cdot IB^2} = \sqrt{900000 \cdot 2500000} = 300\sqrt{10} \cdot 500\sqrt{10} = 1500000$$

$$IM = \sqrt{1500000} = 500\sqrt{6}\text{ (m)}$$

Vì trạm cứu hộ $M$ nằm trên đoạn thẳng $HK$ (về phía bên phải của điểm $I$), ta có tọa độ của $M$:

$$x_M = x_I + IM = -900 + 500\sqrt{6} \approx -900 + 1224{,}74 \approx 324{,}74\text{ m}$$

Khoảng cách từ trạm quan sát $M$ đến điểm $H$ là:

$$HM = x_M \approx 324{,}7\text{ m}.$$

Kết luận: Trạm cứu hộ $M$ cần đặt cách điểm $H$ một khoảng bằng $500\sqrt{6} - 900 \approx 324{,}7\text{ m}$ trên đoạn thẳng $HK$.

ĐỀ BÀI

Câu 1 (5,5 điểm).
a) (2,5 điểm) Ban chỉ đạo phòng chống dịch bệnh của một huyện vùng cao tổ chức chiến dịch tiêm vắc-xin cho $120$ tình nguyện viên tham gia tuyến đầu. Chiến dịch cung cấp ba loại mũi tiêm tăng cường: Cúm mùa ($X$), Phế cầu ($Y$), và Viêm gan ($Z$). Kết quả tổng kết cho thấy:
- Có $65$ người tiêm loại $X$; $55$ người tiêm loại $Y$; $50$ người tiêm loại $Z$.
- Có $25$ người tiêm cả $X$ và $Y$; $20$ người tiêm cả $Y$ và $Z$; $22$ người tiêm cả $X$ và $Z$.
- Có $8$ người không tiêm bất kỳ loại vắc-xin nào trong đợt này.
Hỏi:
i) Có bao nhiêu tình nguyện viên tiêm đồng thời cả ba loại vắc-xin?
ii) Có bao nhiêu tình nguyện viên tiêm đúng hai trong ba loại vắc-xin?

b) (3,0 điểm) Cho hai tập hợp khác rỗng:

$$A = \{x \in \mathbb{R} \mid |2x - 1| \le 5\}, \quad B = [m - 1;\, 2m + 3)$$

với $m$ là tham số thực.
i) Xác định tập hợp $A$ và tìm tất cả các giá trị của $m$ để tập hợp $B$ là một tập hợp khác rỗng.
ii) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \cap B = \varnothing$.

Câu 2 (5,5 điểm).
a) (2,5 điểm) Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

$$\begin{cases} 3x - y \ge -3 \\ x + 2y \le 6 \\ y - x \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

b) (3,0 điểm) Một trang trại nông nghiệp sạch tại Đắk Nông quy hoạch $10\text{ ha}$ đất để trồng hai loại cây ăn quả đặc sản: Sầu riêng và Bơ Booth. Chi phí đầu tư cho mỗi héc-ta trồng sầu riêng là $40$ triệu đồng, cần $20$ ngày công chăm sóc mỗi năm và cho lợi nhuận ròng ước tính $120$ triệu đồng/ha/năm. Chi phí đầu tư cho mỗi héc-ta trồng bơ là $20$ triệu đồng, cần $30$ ngày công chăm sóc mỗi năm và cho lợi nhuận ròng ước tính $90$ triệu đồng/ha/năm. Biết rằng trang trại chỉ có thể huy động tối đa $320$ triệu đồng vốn đầu tư ban đầu và tổng số ngày công không quá $240$ công mỗi năm. Hãy tính diện tích trồng từng loại cây để trang trại đạt tổng lợi nhuận ròng lớn nhất hàng năm.

Câu 3 (3,0 điểm).
a) Cho tam giác $ABC$ không vuông tại $C$. Rút gọn biểu thức lượng giác sau:

$$M = \dfrac{\cos(180^\circ - A) \cdot \sin(90^\circ - B) + \sin(180^\circ - A) \cdot \cos(90^\circ - B)}{\sin A \sin B - \cos A \cos B}$$

b) Cho tam giác nhọn $ABC$ thỏa mãn $\tan A + \tan B = 4$ và $\tan A \cdot \tan B = 3$.
i) Tính giá trị của $\tan C$.
ii) Tính giá trị của biểu thức:

$$N = \dfrac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\cos^2 A + \cos^2 B}$$

Câu 4 (6,0 điểm).
a) (3,0 điểm) Để xác định chiều cao ngọn núi $CD$ mọc trên một bình nguyên bằng phẳng, người ta bố trí hai cọc tiêu trắc địa thẳng đứng $A$ và $B$ có cùng chiều cao $1{,}5\text{ m}$ đặt cách nhau một khoảng $AB = 400\text{ m}$ sao cho chân núi $D$ cùng hai chân cọc thẳng hàng. Từ đỉnh của hai cọc tiêu, người ta ngắm lên đỉnh núi $C$ và đo được góc nâng lần lượt là $\alpha = 32^\circ$ và $\beta = 48^\circ$.
i) Tính chiều cao của ngọn núi $CD$ so với mặt đất (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
ii) Tính khoảng cách từ cọc tiêu $B$ đến chân núi $D$.

b) (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba cạnh $a, b, c$ và diện tích $S$.
i) Chứng minh đẳng thức:

$$\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}$$

ii) Một khu nghỉ dưỡng sinh thái được bao quanh bởi một khuôn viên hình tam giác nhọn $ABC$. Người ta muốn dựng một hồ bơi hình tam giác đều $MNP$ có ba đỉnh lần lượt nằm trên ba cạnh của tam giác $ABC$ ($M \in BC, N \in CA, P \in AB$). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hồ bơi $MNP$ theo diện tích $S$ và độ dài các cạnh $a, b, c$ của tam giác $ABC$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ..................................................................... Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT — ĐỀ SỐ 2

Câu 1 (5,5 điểm)

a)
Ký hiệu $U$ là tập hợp $120$ tình nguyện viên, số phần tử $n(U) = 120$.
Số tình nguyện viên tiêm ít nhất một loại vắc-xin là:

$$n(X \cup Y \cup Z) = n(U) - 8 = 120 - 8 = 112$$

Theo giả thiết đề bài:

$$n(X) = 65, \quad n(Y) = 55, \quad n(Z) = 50$$

$$n(X \cap Y) = 25, \quad n(Y \cap Z) = 20, \quad n(X \cap Z) = 22$$

i) Áp dụng công thức bao hàm và loại trừ cho ba tập hợp:

$$n(X \cup Y \cup Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) - [n(X \cap Y) + n(Y \cap Z) + n(X \cap Z)] + n(X \cap Y \cap Z)$$

Thay các số liệu vào:

$$112 = 65 + 55 + 50 - (25 + 20 + 22) + n(X \cap Y \cap Z)$$

$$112 = 170 - 67 + n(X \cap Y \cap Z) = 103 + n(X \cap Y \cap Z)$$

$$\implies n(X \cap Y \cap Z) = 112 - 103 = 9$$

Vậy có $9$ tình nguyện viên tiêm đồng thời cả ba loại vắc-xin.

ii) Số người tiêm đúng hai trong ba loại vắc-xin là tổng số người thuộc đúng hai tập hợp mà không thuộc tập hợp thứ ba:

$$n_2 = [n(X \cap Y) - n(X \cap Y \cap Z)] + [n(Y \cap Z) - n(X \cap Y \cap Z)] + [n(X \cap Z) - n(X \cap Y \cap Z)]$$

$$n_2 = (25 - 9) + (20 - 9) + (22 - 9) = 16 + 11 + 13 = 40\text{ (người)}.$$

[Hình vẽ]

b)
i) Xét bất phương trình:

$$|2x - 1| \le 5 \iff -5 \le 2x - 1 \le 5 \iff -4 \le 2x \le 6 \iff -2 \le x \le 3$$

Do đó tập hợp $A = [-2;\, 3]$.
Tập hợp $B = [m - 1;\, 2m + 3)$ khác rỗng khi và chỉ khi:

$$m - 1 < 2m + 3 \iff m > -4.$$

ii) Với điều kiện $m > -4$, tập hợp $B$ là một nửa khoảng.
Để $A \cap B = \varnothing$, đoạn $A = [-2;\, 3]$ và nửa khoảng $B = [m - 1;\, 2m + 3)$ không có điểm chung. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
- Trường hợp 1: Tập hợp $B$ nằm hoàn toàn về phía bên phải của tập hợp $A$:

$$m - 1 > 3 \iff m > 4$$

- Trường hợp 2: Tập hợp $B$ nằm hoàn toàn về phía bên trái của tập hợp $A$:

$$2m + 3 \le -2 \iff 2m \le -5 \iff m \le -\dfrac{5}{2}$$

Kết hợp với điều kiện $m > -4$, ta được:

$$-4 < m \le -\dfrac{5}{2} \quad \text{hoặc} \quad m > 4.$$

Vậy tất cả các giá trị của tham số $m$ cần tìm là $m \in \left(-4;\, -\dfrac{5}{2}\right] \cup (4;\, +\infty)$.

Câu 2 (5,5 điểm)

a)
Xét hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 3x - y \ge -3 & (d_1: 3x - y = -3) \\ x + 2y \le 6 & (d_2: x + 2y = 6) \\ y - x \le 2 & (d_3: -x + y = 2) \\ y \ge 0 & (Ox: y = 0) \end{cases}$$

- Đường thẳng $d_1: 3x - y = -3$ đi qua $(-1; 0)$ và $(0; 3)$. Thay gốc tọa độ $O(0; 0)$ vào: $3(0) - 0 = 0 \ge -3$ (đúng), miền nghiệm chứa $O$.
- Đường thẳng $d_2: x + 2y = 6$ đi qua $(6; 0)$ và $(0; 3)$. Thay $O(0; 0)$ vào: $0 + 2(0) = 0 \le 6$ (đúng), miền nghiệm chứa $O$.
- Đường thẳng $d_3: -x + y = 2$ đi qua $(-2; 0)$ và $(0; 2)$. Thay $O(0; 0)$ vào: $0 - 0 = 0 \le 2$ (đúng), miền nghiệm chứa $O$.
- $y \ge 0$: nửa mặt phẳng phía trên trục hoành $Ox$.

Tọa độ các đỉnh của miền nghiệm đa giác:
- Giao điểm của $d_1$ với trục hoành $Ox$: cho $y = 0 \implies 3x = -3 \implies x = -1 \implies A(-1; 0)$.
- Giao điểm của $d_2$ với trục hoành $Ox$: cho $y = 0 \implies x = 6 \implies B(6; 0)$.
- Giao điểm của $d_1$ và $d_3$: giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} 3x - y = -3 \\ -x + y = 2 \end{cases} \implies 2x = -1 \implies x = -\dfrac{1}{2}, \quad y = \dfrac{3}{2} \implies C\left(-\dfrac{1}{2};\, \dfrac{3}{2}\right)$$

- Giao điểm của $d_2$ và $d_3$: giải hệ phương trình: