Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 10 - Năm học 2024 - 2025

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$P: \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0$" là

Câu 2 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{1; 2; 3\}$. Số tập hợp con gồm đúng 2 phần tử của tập hợp $A$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = (-3; 2]$ và $B = [0; 5)$. Khi đó tập hợp $A \cap B$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y + 1 > 0$?

Câu 5 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 6 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$?

Câu 7 (0,25 điểm). Giá trị của $\cos 120^\circ$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC = a, CA = b, AB = c$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = 6$ và góc $\widehat{A} = 30^\circ$. Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $b = 4, c = 5$ và $\widehat{A} = 150^\circ$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng về điều kiện cần và đủ?

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = (m; m + 2)$ và $B = [1; 3]$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để $A \subset B$?

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}$ và $B = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x < 5\}$.
a) Tập hợp $A$ có đúng 2 phần tử.
b) Tập hợp $B = \{1; 2; 3; 4\}$.
c) Tập hợp $A \cap B = \{2; 3; 4\}$.
d) Tập hợp $B \setminus A = \{1; 4\}$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$, $AC = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$.
a) Độ dài cạnh $BC = 7$.
b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $10\sqrt{3}$.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$.
d) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{20\sqrt{3}}{7}$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hai tập hợp $A = [-4; 3)$ và $B = (-1; 5]$. Số phần tử là số nguyên thuộc tập hợp $A \cap B$ bằng bao nhiêu?

Câu 2 (0,5 điểm). Một người đứng tại vị trí $A$ quan sát một ngọn hải đăng ở vị trí $C$. Sau đó người đó đi bộ dọc bờ biển một khoảng $AB = 100$ m đến vị trí $B$. Người đó đo được góc quan sát tại $A$ là $\widehat{CAB} = 45^\circ$ và tại $B$ là $\widehat{CBA} = 60^\circ$. Khoảng cách từ vị trí ban đầu $A$ đến ngọn hải đăng $C$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 3 (0,5 điểm). Một xưởng may gia công sản xuất hai loại áo sơ mi: cộc tay và dài tay. Để may một chiếc áo cộc tay cần $1,5$ m vải và $2$ giờ công; may một chiếc áo dài tay cần $2$ m vải và $3$ giờ công. Xưởng hiện có sẵn $180$ m vải và tối đa $250$ giờ công. Lợi nhuận thu được là $80$ nghìn đồng cho một áo cộc tay và $110$ nghìn đồng cho một áo dài tay. Biết rằng toàn bộ số áo may ra đều được tiêu thụ hết, xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc áo cộc tay để thu được tổng lợi nhuận lớn nhất?

Câu 4 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng $30$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r = 2$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm).
a) Cho hai tập hợp $A = [-2; 4)$ và $B = (1; 7]$. Xác định các tập hợp $A \cup B$ và $A \setminus B$.
b) Cho tập hợp $X = [m - 1; m + 3]$ và $Y = (-3; 5)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $X \subset Y$.

Bài 2 (1,5 điểm).
Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a = BC = 6$, $b = CA = 7$ và $c = AB = 5$.
a) Tính số đo góc $A$ (làm tròn kết quả đến độ) và tính diện tích tam giác $ABC$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$.

Bài 3 (0,5 điểm).
Bác An có một mảnh đất hình tam giác $ABC$ với $AB = 40$ m, $AC = 60$ m và $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Bác muốn cắm một hàng rào thẳng nối từ điểm $M$ trên cạnh $AB$ đến điểm $N$ trên cạnh $AC$ sao cho đoạn rào $MN$ chia mảnh đất thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hỏi độ dài ngắn nhất của hàng rào $MN$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Cán bộ chấm thi bám sát đáp án, thang điểm để chấm bài.
- Học sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của ý/bài đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các phần thành phần, không làm tròn số thập phân.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Quy tắc tính điểm cho từng câu:
- Thí sinh chỉ chọn đúng 01 ý trong một câu được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ chọn đúng 02 ý trong một câu được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ chọn đúng 03 ý trong một câu được 0,5 điểm.
- Thí sinh chọn đúng cả 04 ý trong một câu được 1,0 điểm.

3. PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

4. PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Lưu ý khi chấm:
- Ở Bài 2a, nếu học sinh tính diện tích bằng công thức $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ với $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \dfrac{12\sqrt{6}}{35}$ cho kết quả đúng vẫn đạt điểm tối đa.
- Bài hình vẽ sai cơ bản hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$\forall x \in X, P(x)$" là "$\exists x \in X, \overline{P(x)}$".
Phủ định của bất đẳng thức $x^2 + 1 > 0$ là $x^2 + 1 \le 0$.
Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là $\overline{P}: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0$.
Chọn đáp án C.

Câu 2.
Tập hợp $A = \{1; 2; 3\}$ có 3 phần tử.
Các tập hợp con gồm đúng 2 phần tử của $A$ là $\{1; 2\}$, $\{1; 3\}$ và $\{2; 3\}$.
Số tập hợp con thỏa mãn là $C_3^2 = 3$.
Chọn đáp án B.

Câu 3.
Ta có $A = (-3; 2]$ và $B = [0; 5)$.
Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp các số thực thuộc cả $A$ và $B$:

$$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 < x \le 2 \text{ và } 0 \le x < 5\} = [0; 2]$$

Chọn đáp án A.

Câu 4.
Xét biểu thức $f(x, y) = 2x - y + 1$. Ta thay tọa độ các điểm vào biểu thức:
- Với $(0; 2)$: $f(0; 2) = 2 \cdot 0 - 2 + 1 = -1 < 0$.
- Với $(1; 1)$: $f(1; 1) = 2 \cdot 1 - 1 + 1 = 2 > 0$ (thỏa mãn).
- Với $(-1; 0)$: $f(-1; 0) = 2(-1) - 0 + 1 = -1 < 0$.
- Với $(0; 1)$: $f(0; 1) = 2 \cdot 0 - 1 + 1 = 0 \ngtr 0$.
Vậy điểm $(1; 1)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Chọn đáp án B.

Câu 5.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là $ax + by + c > 0$ (hoặc $< 0, \ge 0, \le 0$), trong đó $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$.
- Phương án A chứa $x^2$ (bậc hai).
- Phương án B là $2x - y + 3 > 0$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$.
- Phương án C chứa 3 ẩn $x, y, z$.
- Phương án D chứa tích $xy$ (bậc hai).
Chọn đáp án B.

Câu 6.
Thay tọa độ điểm $(2; 1)$ vào bất phương trình đầu tiên của hệ:
$x + y - 2 = 2 + 1 - 2 = 1 > 0$, không thỏa mãn bất phương trình $x + y - 2 \le 0$.
Do đó điểm $(2; 1)$ không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.
Chọn đáp án C.

Câu 7.
Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau:
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$.
Chọn đáp án A.

Câu 8.
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

Chọn đáp án A.

Câu 9.
Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{a}{\sin A} = 2R \implies R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{6}{2\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = 6$$

Chọn đáp án A.

Câu 10.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác theo hai cạnh và sin của góc xen giữa:

$$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 150^\circ = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5$$

Chọn đáp án B.

Câu 11.
Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác đó có ba cạnh bằng nhau. Do đó, "Tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau" là điều kiện cần và đủ để "tam giác $ABC$ đều".
Các khẳng định còn lại chỉ là điều kiện cần hoặc chưa đủ (hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau chỉ suy ra tam giác cân; một góc bằng $60^\circ$ cần thêm điều kiện cân mới là tam giác đều).
Chọn đáp án A.

Câu 12.
Để $A = (m; m + 2) \subset B = [1; 3]$ thì:

$$\begin{cases} m \ge 1 \\ m + 2 \le 3 \end{cases} \iff \begin{cases} m \ge 1 \\ m \le 1 \end{cases} \iff m = 1$$

Vậy chỉ có duy nhất $1$ giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn.
Chọn đáp án A.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1

Giải phương trình trong tập hợp $A$:
$x^2 - 5x + 6 = 0 \iff (x - 2)(x - 3) = 0 \iff \left[\begin{aligned} x = 2 \\ x = 3 \end{aligned}\right.$
Vì $2, 3 \in \mathbb{R}$ nên $A = \{2; 3\}$.
Tập hợp $B = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x < 5\} = \{1; 2; 3; 4\}$.

a) Tập hợp $A$ có đúng 2 phần tử là $2$ và $3$.
Khẳng định này Đúng.

b) Tập hợp $B$ gồm các số tự nhiên từ $1$ đến $4$: $B = \{1; 2; 3; 4\}$.
Khẳng định này Đúng.

c) Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp các phần tử chung: $A \cap B = \{2; 3\}$. Khẳng định ghi $\{2; 3; 4\}$ là sai vì $4 \notin A$.
Khẳng định này Sai.

d) Hiệu của hai tập hợp $B \setminus A$ là tập các phần tử thuộc $B$ nhưng không thuộc $A$: $B \setminus A = \{1; 4\}$.
Khẳng định này Đúng.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có $AB = c = 5$, $AC = b = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$.

a) Áp dụng định lí cosin để tính cạnh $BC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 64 - 80 \cdot \dfrac{1}{2} = 49$$

Suy ra $BC = \sqrt{49} = 7$.
Khẳng định này Đúng.

b) Diện tích tam giác $ABC$:

$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$$

Khẳng định này Đúng.

c) Theo định lí sin, bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ là:

$$R = \dfrac{BC}{2\sin A} = \dfrac{7}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$$

Khẳng định ghi $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ là sai.
Khẳng định này Sai.

d) Gọi $h_a$ là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$. Ta có:

$$S = \dfrac{1}{2}BC \cdot h_a \implies h_a = \dfrac{2S}{BC} = \dfrac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{7} = \dfrac{20\sqrt{3}}{7}$$

Khẳng định này Đúng.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1

Ta có $A = [-4; 3)$ và $B = (-1; 5]$.
Giao của hai tập hợp là $A \cap B = (-1; 3)$.
Các số nguyên thuộc khoảng $(-1; 3)$ là $0; 1; 2$.
Vậy có $3$ phần tử nguyên.

Câu 2

Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

$$\widehat{ACB} = 180^\circ - (\widehat{CAB} + \widehat{CBA}) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C} \implies AC = \dfrac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \dfrac{100 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}$$

Ta có $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Suy ra:

$$AC = \dfrac{100 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{200\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 50(3\sqrt{2} - \sqrt{6}) \approx 89,6575 \approx 89,7 \text{ m}$$

Khoảng cách từ $A$ đến ngọn hải đăng $C$ xấp xỉ $89,7$ m.

Câu 3

Gọi $x$ là số áo sơ mi cộc tay và $y$ là số áo sơ mi dài tay xưởng sản xuất ($x, y \in \mathbb{N}$).
Theo đề bài, các điều kiện ràng buộc là:
- Vải may: $1,5x + 2y \le 180 \iff 3x + 4y \le 360$.
- Giờ công: $2x + 3y \le 250$.
- Điều kiện thực tế: $x \ge 0, y \ge 0$.

Lợi nhuận thu được (đơn vị: nghìn đồng) là:

$$F(x, y) = 80x + 110y$$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên), trong đó:
- $O(0; 0)$.
- $A(120; 0)$ là giao điểm của đường thẳng $3x + 4y = 360$ với trục hoành.
- $B(0; \dfrac{250}{3})$ là giao điểm của đường thẳng $2x + 3y = 250$ với trục tung.
- $C(80; 30)$ là giao điểm của hai đường thẳng $3x + 4y = 360$ và $2x + 3y = 250$.

Giá trị của $F(x, y)$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm:
- $F(0; 0) = 0$.
- $F(120; 0) = 80 \cdot 120 + 110 \cdot 0 = 9600$.
- Tại các điểm nguyên trên đoạn biên $OB$ ($x = 0, y \le 83$), giá trị lớn nhất khi $y = 83$ là $F(0; 83) = 110 \cdot 83 = 9130$.
- $F(80; 30) = 80 \cdot 80 + 110 \cdot 30 = 6400 + 3300 = 9700$.

So sánh các giá trị, ta thấy $F(x, y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $9700$ nghìn đồng ($9,7$ triệu đồng) khi $x = 80$ và $y = 30$.
Vậy xưởng cần may $80$ chiếc áo cộc tay.

Câu 4

Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là:

$$p = \dfrac{30}{2} = 15$$

Diện tích của tam giác $ABC$ tính theo bán kính đường tròn nội tiếp $r$ là:

$$S = p \cdot r = 15 \cdot 2 = 30$$

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Bài 1

a) Cho hai tập hợp $A = [-2; 4)$ và $B = (1; 7]$.
- Hợp của hai tập hợp $A \cup B$ gồm tất cả các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$:

$$A \cup B = [-2; 7]$$

- Hiệu của hai tập hợp $A \setminus B$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$:

$$A \setminus B = [-2; 1]$$

b) Cho $X = [m - 1; m + 3]$ và $Y = (-3; 5)$.
Với mọi $m \in \mathbb{R}$, ta luôn có $m - 1 < m + 3$ nên tập hợp $X$ luôn là một đoạn xác định.
Để $X \subset Y$, điều kiện cần và đủ là:

$$\begin{cases} m - 1 > -3 \\ m + 3 < 5 \end{cases} \iff \begin{cases} m > -2 \\ m < 2 \end{cases} \iff -2 < m < 2$$

Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $-2 < m < 2$ (hay $m \in (-2; 2)$).

Bài 2

a) Tính số đo góc $A$ và diện tích tam giác $ABC$:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác $ABC$:

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{7^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \dfrac{49 + 25 - 36}{70} = \dfrac{38}{70} = \dfrac{19}{35}$$

Suy ra:

$$\widehat{A} = \arccos\left(\dfrac{19}{35}\right) \approx 57^\circ 7' \approx 57^\circ$$

Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là:

$$p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{6 + 7 + 5}{2} = 9$$

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{9(9 - 6)(9 - 7)(9 - 5)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$$

(Cách khác: $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{19}{35}\right)^2} = \dfrac{12\sqrt{6}}{35}$, suy ra $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \dfrac{12\sqrt{6}}{35} = 6\sqrt{6}$).

b) Tính độ dài đường trung tuyến $AM$:
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$:

$$AM^2 = m_a^2 = \dfrac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} = \dfrac{2(7^2 + 5^2) - 6^2}{4} = \dfrac{2(49 + 25) - 36}{4}$$

$$AM^2 = \dfrac{2 \cdot 74 - 36}{4} = \dfrac{148 - 36}{4} = \dfrac{112}{4} = 28$$

Suy ra:

$$AM = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$

Bài 3

Gọi $AM = x$ (m) với $0 < x \le 40$ và $AN = y$ (m) với $0 < y \le 60$.
Diện tích mảnh đất tam giác $ABC$ là:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \sin 60^\circ$$

Diện tích tam giác $AMN$ là:

$$S_{AMN} = \dfrac{1}{2}AM \cdot AN \sin 60^\circ = \dfrac{1}{2}xy \sin 60^\circ$$

Theo đề bài, đoạn rào $MN$ chia đôi diện tích mảnh đất:

$$S_{AMN} = \dfrac{1}{2}S_{ABC} \iff \dfrac{1}{2}xy \sin 60^\circ = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}AB \cdot AC \sin 60^\circ\right)$$

$$\iff xy = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 60 = 1200$$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $AMN$:

$$MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2AM \cdot AN \cos 60^\circ = x^2 + y^2 - 2xy \cdot \dfrac{1}{2} = x^2 + y^2 - xy$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x^2$ và $y^2$:

$$x^2 + y^2 \ge 2\sqrt{x^2 y^2} = 2xy$$

Do đó:

$$MN^2 = x^2 + y^2 - xy \ge 2xy - xy = xy = 1200$$

$$\implies MN \ge \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \approx 34,64 \text{ m}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$$x = y \iff x^2 = 1200 \iff x = y = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \approx 34,64 \text{ m}$$

Giá trị này hoàn toàn thỏa mãn các điều kiện thực tế của điểm cắm rào ($0 < x \le 40$ và $0 < y \le 60$).

Vậy độ dài ngắn nhất của hàng rào $MN$ xấp xỉ bằng $34,6$ m.