PHIẾU ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I - TOÁN 8 (ĐẠI SỐ)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 50. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

Câu 2. Biểu thức nào sau đây không phải là đơn thức?

Câu 3. Trong các đơn thức sau, đơn thức nào là đơn thức thu gọn?

Câu 4. Đơn thức đồng dạng với đơn thức $-3x^2y^3$ là

Câu 5. Bậc của đơn thức $5x^3y^2z$ là

Câu 6. Phần hệ số của đơn thức $-\dfrac{3}{4}x^2y^3$ là

Câu 7. Phần biến của đơn thức $-2ax^2y$ (với $a$ là hằng số khác $0$) là

Câu 8. Thu gọn đơn thức $A = -2x^2y \cdot \left(-\dfrac{1}{2}xy^3\right)$ ta được

Câu 9. Giá trị của đơn thức $M = -2x^2y^3$ tại $x = -1$; $y = 1$ là

Câu 10. Tổng của hai đơn thức đồng dạng $3x^2y$ và $-5x^2y$ là

Câu 11. Đa thức nào sau đây là đa thức thu gọn?

Câu 12. Biểu thức nào sau đây không phải là đa thức?

Câu 13. Bậc của đa thức $P = x^4y - 2x^2y^3 + 3xy^4 - 5$ là

Câu 14. Hệ số tự do của đa thức $Q = 2x^3 - 5x + 7 - 2x^3$ là

Câu 15. Thu gọn đa thức $A = 2x^2y + 3xy^2 - x^2y + xy^2$ ta được

Câu 16. Cho đa thức $B = x^5 - 2x^3y^2 + 5x^5 - 6x^5 + 3$. Bậc của đa thức $B$ sau khi thu gọn là

Câu 17. Giá trị của đa thức $P(x; y) = x^2 - 2xy + y^2$ tại $x = 102$, $y = 2$ là

Câu 18. Đa thức $M$ thỏa mãn $M + (2x^2 - y^2) = 5x^2 + 3y^2$ là

Câu 19. Cho hai đa thức $A = 3x^2 - y^2$ và $B = x^2 + 2y^2$. Hiệu $A - B$ bằng

Câu 20. Cho hai đa thức $P = x^2y + 2xy - 3$ và $Q = -x^2y + xy + 3$. Tổng $P + Q$ bằng

Câu 21. Tìm đa thức $C$ biết $C - (x^2 - 4xy) = 2x^2 + xy$.

Câu 22. Giá trị của đa thức $A = x^3 + x^2y - xy^2 - y^3$ tại $x = 5$, $y = -5$ là

Câu 23. Kết quả của phép nhân đơn thức $2x^2y$ với đơn thức $-3xy^2$ là

Câu 24. Thực hiện phép nhân $2x(x^2 - 3x + 1)$ ta được

Câu 25. Tích của đa thức $(x - 2)$ và đa thức $(x + 3)$ là

Câu 26. Khai triển tích $(2x - 1)(3x + 2)$ ta được kết quả là

Câu 27. Kết quả của phép tính $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$ là

Câu 28. Hệ số của $x^2$ trong tích $(x^2 - 2x + 3)(x - 1)$ là

Câu 29. Rút gọn biểu thức $P = x(x - y) + y(x - y)$ ta được

Câu 30. Tìm $x$ biết $(x - 1)(x + 2) - x^2 = 4$.

Câu 31. Kết quả của phép chia đơn thức $12x^4y^3$ cho đơn thức $4x^2y$ là

Câu 32. Đơn thức nào sau đây chia hết cho đơn thức $3x^2y$?

Câu 33. Kết quả của phép tính $(-15x^3y^5z) : (-3x^2y^2z)$ là

Câu 34. Thương của phép chia đa thức $(6x^4y^3 - 9x^3y^2 + 3x^2y) : (3x^2y)$ là

Câu 35. Giá trị của biểu thức $A = (8x^3y^2 - 4x^2y) : (2x^2y)$ tại $x = 2$; $y = 3$ là

Câu 36. Cho đa thức $P$ thỏa mãn $P \cdot (-2xy) = 4x^3y^2 - 6x^2y^3$. Đa thức $P$ là

Câu 37. Khẳng định nào sau đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ đúng?

Câu 38. Khai triển $(2x + 1)^2$ ta được kết quả là

Câu 39. Biểu thức $(3x - 2y)^2$ bằng

Câu 40. Biểu thức $x^2 - 16$ viết dưới dạng tích là

Câu 41. Biểu thức $4x^2 - 12x + 9$ được viết dưới dạng bình phương của một hiệu là

Câu 42. Viết biểu thức $(x + 2y)(x - 2y)$ dưới dạng hiệu hai bình phương:

Câu 43. Tính nhanh giá trị của biểu thức $75^2 - 25^2$:

Câu 44. Giá trị của biểu thức $x^2 + 6x + 9$ tại $x = 97$ là

Câu 45. Rút gọn biểu thức $(x + 1)^2 - (x - 1)^2$ ta được

Câu 46. Tìm $x$ biết $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Câu 47. Rút gọn biểu thức $(x - 2)^2 - x(x - 4)$ ta được kết quả là

Câu 48. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là $(2x + 5)$ mét và chiều rộng là $(2x - 5)$ mét. Diện tích mảnh vườn đó được biểu diễn bởi đa thức

Câu 49. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x^2 - 4x + 5$ là

Câu 50. Cho $x + y = 5$ và $xy = 6$. Giá trị của biểu thức $x^2 + y^2$ là

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 10. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1. Cho đơn thức $M = -3x^2y^3 \cdot \left(\dfrac{2}{3}xy\right)$.
a) Đơn thức $M$ sau khi thu gọn là $-2x^3y^4$.
b) Bậc của đơn thức $M$ bằng $7$.
c) Phần hệ số của đơn thức $M$ là $2$.
d) Tại $x = -1$; $y = 1$, giá trị của đơn thức $M$ là $2$.

Câu 2. Cho các đơn thức $A = 5x^2y^3$; $B = -2x^2y^3$; $C = \dfrac{1}{3}x^3y^2$.
a) Đơn thức $A$ và đơn thức $B$ là hai đơn thức đồng dạng.
b) Đơn thức $A$ và đơn thức $C$ có cùng bậc.
c) Tổng $A + B = 3x^2y^3$.
d) Tích $A \cdot C = \dfrac{5}{3}x^6y^6$.

Câu 3. Cho đa thức $P = 3x^2y - 2xy^2 + x^3 - 3x^2y + 5xy^2 - 1$.
a) Đa thức $P$ chưa được thu gọn.
b) Dạng thu gọn của đa thức $P$ là $x^3 + 3xy^2 - 1$.
c) Bậc của đa thức $P$ sau khi thu gọn là $4$.
d) Tại $x = 1$; $y = -1$, giá trị của đa thức $P$ là $3$.

Câu 4. Cho hai đa thức $A = 2x^2 - 3xy + y^2$ và $B = x^2 + 2xy - y^2$.
a) Tổng $A + B = 3x^2 - xy$.
b) Bậc của đa thức $A + B$ là $2$.
c) Hiệu $A - B = x^2 - 5xy + 2y^2$.
d) Tại $x = 1$; $y = 2$, giá trị của biểu thức $A - B$ bằng $-3$.

Câu 5. Cho biểu thức $K = (x - 3)(x + 3) - (x - 2)^2$.
a) Khai triển $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$.
b) Khai triển $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$.
c) Sau khi rút gọn, ta được $K = 4x - 13$.
d) Để $K = 3$ thì giá trị của $x$ là $x = 4$.

Câu 6. Cho phép nhân đa thức $A = (2x - 1)(x^2 - 3x + 2)$.
a) Kết quả khai triển có bậc bằng $3$.
b) Dạng thu gọn của biểu thức $A$ là $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$.
c) Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất là $2$.
d) Hệ số tự do của biểu thức $A$ là $2$.

Câu 7. Cho đa thức $M = 12x^4y^3 - 8x^3y^2 + 4x^2y$ và đơn thức $N = -4x^2y$.
a) Đa thức $M$ chia hết cho đơn thức $N$.
b) Kết quả của phép chia $M : N$ là $-3x^2y^2 + 2xy - 1$.
c) Bậc của đa thức thương là $4$.
d) Tại $x = 1$; $y = 1$, giá trị của thương bằng $-2$.

Câu 8. Cho biểu thức $H = (x + 2y)^2 - (x - 2y)^2$.
a) Biểu thức $H$ có thể biến đổi thành $[(x + 2y) + (x - 2y)][(x + 2y) - (x - 2y)]$.
b) Dạng rút gọn của $H$ là $8xy$.
c) Giá trị của $H$ luôn luôn dương với mọi $x > 0$, $y > 0$.
d) Khi $x = 100$ và $y = \dfrac{1}{4}$ thì giá trị của $H$ bằng $200$.

Câu 9. Cho biểu thức $P = x^2 - 6x + 13$.
a) Ta có thể viết $P = (x - 3)^2 + 4$.
b) Với mọi giá trị của $x$, biểu thức $P$ luôn nhận giá trị không âm.
c) Biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $4$ khi $x = 3$.
d) Phương trình $x^2 - 6x + 13 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Câu 10. Bác An có một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là $(3x + 2)$ mét và chiều rộng là $(3x - 2)$ mét. Bác dùng một phần đất hình vuông cạnh $(x + 1)$ mét để xây bể nước, phần còn lại trồng hoa.
a) Đa thức biểu thị diện tích cả mảnh vườn là $9x^2 - 4\text{ (m}^2\text{)}$.
b) Đa thức biểu thị diện tích phần xây bể nước là $x^2 + 2x + 1\text{ (m}^2\text{)}$.
c) Đa thức biểu thị diện tích trồng hoa là $8x^2 - 2x - 5\text{ (m}^2\text{)}$.
d) Nếu $x = 5$ m thì diện tích đất trồng hoa là $185\text{ m}^2$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12.

Câu 1. Bậc của đơn thức thu gọn $M = -4x^3y^2z \cdot \left(\dfrac{1}{2}xy^3\right)$ là bao nhiêu?

Câu 2. Cho các đơn thức sau: $2x^2y^3$; $-5x^3y^2$; $\dfrac{1}{2}x^2y^3$; $-x^2y^3$; $3xy^4$. Trong các đơn thức đã cho, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với đơn thức $x^2y^3$?

Câu 3. Tìm bậc của đa thức sau: $A = 3x^4y^2 - 2x^3y^3 + 5x^2y - 3x^4y^2 + 7$.

Câu 4. Cho đa thức $P = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Tính giá trị của $P$ khi $x = 13$ và $y = 3$.

Câu 5. Cho đa thức $M$ thỏa mãn $M + (3x^2 - 2xy) = 5x^2 - 2xy + 4$. Tính tổng các hệ số của đa thức $M$.

Câu 6. Tìm giá trị của $x$ thỏa mãn đẳng thức $(x - 3)(x + 3) - x(x - 2) = 1$.

Câu 7. Cho hằng đẳng thức $(2x + 3)^2 = ax^2 + bx + c$. Tính giá trị của biểu thức $a + b + c$.

Câu 8. Cho hai số $x, y$ thỏa mãn $x + y = 8$ và $xy = 12$. Tính giá trị của biểu thức $x^2 + y^2$.

Câu 9. Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ để đơn thức $A = 5x^n y^3$ chia hết cho đơn thức $B = 2x^2 y^n$?

Câu 10. Cho $A = (12x^4y^3 - 6x^3y^2) : (3x^2y^2)$. Tại $x = 2$, $y = 1$, giá trị của biểu thức $A$ bằng bao nhiêu?

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của đa thức $B = x^2 - 8x + 25$ là bao nhiêu?

Câu 12. Một phòng học hình hộp chữ nhật có thể tích là $(12x^3y + 18x^2y^2)\text{ m}^3$ và diện tích đáy là $6x^2y\text{ m}^2$. Biết chiều cao phòng học đo được là $4\text{ m}$ khi $x = 1$. Khi đó giá trị của $y$ bằng bao nhiêu?

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Học sinh hoàn thành bài làm theo từng dạng toán.

DẠNG 1. ĐƠN THỨC, ĐA THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Bài 1. Thu gọn các đơn thức sau, chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức:
a) $A = -\dfrac{2}{3}x^2y \cdot 6xy^3$;
b) $B = \left(-2xy^2\right)^2 \cdot \dfrac{3}{8}x^2yz$;
c) $C = \dfrac{1}{4}x^3y \cdot \left(-2x^2y^3\right) \cdot \left(-\dfrac{5}{2}y\right)$.

Bài 2. Phân loại các đơn thức sau thành từng nhóm đơn thức đồng dạng:

$$3x^2y;\quad -\dfrac{1}{2}xy^2;\quad 5x^2y;\quad 4x^3;\quad 2xy^2;\quad -x^3;\quad -7x^2y.$$

Bài 3. Thu gọn các đa thức sau và tìm bậc của chúng:
a) $P = 2x^2y - 3xy + 5x^2y - 4xy + 1$;
b) $Q = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + 3x^2y - 3xy^2$;
c) $R = 5x^4y^2 - 3x^2y^3 + 2x^4y^2 - 7x^4y^2 + 3x^2y^3 - 8$.

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $A = 3x^2y - 6xy + 2$ tại $x = -1$; $y = 2$;
b) $B = 2x^2 + 3xy - y^2$ tại $x = \dfrac{1}{2}$; $y = -2$;
c) $C = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$ tại $x = 2$; $y = -2$.

Bài 5. Cho đa thức $M = 4x^3y - 2xy^2 + 5 - 4x^3y + 3xy^2 - 2x + 1$.
a) Thu gọn đa thức $M$ và xác định bậc của nó.
b) Tính giá trị của đa thức $M$ tại $x = -2$; $y = 3$.

Bài 6. Cho đa thức $A = 2x^2 - 3xy + y^2$ và $B = x^2 + 2xy - 3y^2$.
a) Tính $C = A + B$ và $D = A - B$.
b) Tính giá trị của $C$ tại $x = 1$; $y = -1$.

Bài 7 (Nâng cao).
a) Cho $x + y = 1$. Tính giá trị của biểu thức $P = 2(x^3 + y^3) - 3(x^2 + y^2)$.
b) Tính giá trị của đa thức $Q = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 5x^2 + 5x - 1$ tại $x = 4$.

DẠNG 2. PHÉP TÍNH CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA ĐA THỨC

Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) $2xy \cdot (3x^2 - 4xy + y^2)$;
b) $-\dfrac{1}{2}x^2y \cdot \left(4x^3 - 6xy + 2y^2\right)$;
c) $\left(2x^2 - 3\right) \cdot \left(x^2 + 4x - 1\right)$.

Bài 2. Thực hiện phép nhân và rút gọn:
a) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$;
b) $(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$;
c) $(x + 1)(x - 2)(x + 3)$.

Bài 3. Thực hiện phép chia:
a) $\left(15x^5y^3\right) : \left(-3x^2y^2\right)$;
b) $\left(24x^4y^3 - 16x^3y^2 + 8x^2y\right) : \left(4x^2y\right)$;
c) $\left(9x^3y^4 - 12x^2y^3 + 6x^4y^2\right) : \left(-3x^2y^2\right)$.

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A = x(2x - 1) - (x + 2)(2x - 3)$;
b) $B = (x - y)(x^2 + xy + y^2) - (x + y)(x^2 - xy + y^2)$;
c) $C = (2x - 1)^2 - 2(2x - 1)(x + 3) + (x + 3)^2$.

Bài 5. Cho hai đa thức $P = x^2 - 2xy + y^2$ và $Q = 2x^2 + xy - y^2$.
a) Tìm đa thức $M$ biết $M + P = Q$.
b) Tìm đa thức $N$ biết $P - N = 2Q$.

Bài 6. Tìm $x$, biết:
a) $3x(x - 2) - 3x^2 = 12$;
b) $(x + 3)(x - 1) - x(x + 2) = 5$;
c) $(2x - 1)(3x + 2) - 6x(x - 1) = 9$.

Bài 7 (Nâng cao).
a) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

$$M = (x - 5)(2x + 3) - 2x(x - 3) + x + 7.$$

b) Cho $a, b, c$ là các số thỏa mãn $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng:

$$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.$$

DẠNG 3. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ RÚT GỌN

Bài 1. Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:
a) $(2x + 3)^2$;
b) $(3x - 2y)^2$;
c) $\left(x^2 - \dfrac{1}{2}\right)^2$;
d) $(4x - 5y)(4x + 5y)$.

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) $x^2 + 10x + 25$;
b) $9x^2 - 12xy + 4y^2$;
c) $4x^4 - 4x^2 + 1$;
d) $(x + y)^2 - 4(x + y) + 4$.

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A = (x + 2)^2 + (x - 2)^2 - 2(x - 2)(x + 2)$;
b) $B = (2x + 1)^2 - 2(2x + 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2$;
c) $C = (x - 1)^2 - 2(x^2 - 1) + (x + 1)^2$.

Bài 4. Tính nhanh giá trị của các biểu thức sau:
a) $101^2$;
b) $99^2$;
c) $48 \cdot 52$;
d) $87^2 + 73^2 - 27^2 - 13^2$.

Bài 5. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) $M = (2x + 3)^2 + (2x - 3)^2 - 2(2x + 3)(2x - 3)$ tại $x = 2024$;
b) $N = (x - 2y)^2 + (x + 2y)^2$ tại $x = \sqrt{2}$; $y = 1$.

Bài 6. Cho $x + y = 7$ và $xy = 10$. Tính giá trị của các biểu thức:
a) $A = x^2 + y^2$;
b) $B = x^4 + y^4$;
c) $C = (x - y)^2$.

Bài 7 (Nâng cao).
a) Rút gọn biểu thức: $P = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$.
b) Cho $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$. Chứng minh rằng $a = b = c$.

DẠNG 4. BÀI TOÁN TÌM $x$ VÀ PHÉP CHIA HẾT

Bài 1. Tìm $x$, biết:
a) $x^2 - 9 = 0$;
b) $(2x - 1)^2 - 25 = 0$;
c) $4x^2 - 12x + 9 = 0$;
d) $(x - 3)^2 - (x + 1)^2 = 0$.

Bài 2. Tìm $x$, biết:
a) $(x + 2)^2 - x(x + 3) = 10$;
b) $(2x - 3)^2 - (2x + 1)(2x - 1) = 8$;
c) $(x - 1)^2 + (x + 3)^2 - 2(x + 1)^2 = 4$.