ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I TOÁN 8

Đáp án

A

C

B

A

B

A

A

B

A

B

Đáp án

A

A

C

B

C

A

B

C

C

B

Bài 1
(1,5 điểm)

a

Rút gọn biểu thức $A$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có: $A = (x - 2)(x + 2) - x(x - 3) = (x^2 - 4) - (x^2 - 3x)$

0,25

$= x^2 - 4 - x^2 + 3x = 3x - 4$.

0,25

b

Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 3$ (0,5 điểm)

0,5

Thay $x = 3$ vào biểu thức thu gọn $A = 3x - 4$, ta được:

0,25

$A = 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5$.
Vậy khi $x = 3$ thì giá trị của $A$ bằng $5$.

0,25

c

Rút gọn biểu thức $B$ và chứng minh giá trị không phụ thuộc vào biến (0,5 điểm)

0,5

Ta có:
$B = (4x^2 - 4xy + y^2) + (x^2 + 4xy + 4y^2) - 5x^2 - 5y^2$

0,25

$= (4x^2 + x^2 - 5x^2) + (y^2 + 4y^2 - 5y^2) + (-4xy + 4xy) = 0$.
Vì $B = 0$ với mọi giá trị của $x, y$ nên giá trị của biểu thức $B$ không phụ thuộc vào biến.

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

a

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^2 - 4y^2 + 2x - 4y$ (0,5 điểm)

0,5

Nhóm các hạng tử thích hợp:
$x^2 - 4y^2 + 2x - 4y = (x^2 - 4y^2) + (2x - 4y)$
$= (x - 2y)(x + 2y) + 2(x - 2y)$

0,25

$= (x - 2y)(x + 2y + 2)$.

0,25

b

Tìm $x$, biết: $(x - 3)^2 - x(x + 2) = 11$ (0,5 điểm)

0,5

Khai triển vế trái:
$(x^2 - 6x + 9) - (x^2 + 2x) = 11$
$x^2 - 6x + 9 - x^2 - 2x = 11$

0,25

$-8x + 9 = 11 \Leftrightarrow -8x = 2 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{4}$.
Vậy $x = -\dfrac{1}{4}$.

0,25

Bài 3
(2,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Chứng minh tứ giác $BHCK$ là hình bình hành (0,75 điểm)

0,75

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (theo giả thiết) nên $MB = MC$.

0,25

Trên tia đối của tia $MH$ lấy điểm $K$ sao cho $MK = MH$, do đó $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $HK$.

0,25

Tứ giác $BHCK$ có hai đường chéo $BC$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $BHCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

0,25

b

Chứng minh $BK \perp AB$ và $CK \perp AC$ (0,75 điểm)

0,75

Do $BHCK$ là hình bình hành nên $BK \parallel CH$ và $CK \parallel BH$.

0,25

Ta có $CE \perp AB$ tại $E$ (giả thiết đường cao $CE$), suy ra $CH \perp AB$.
Mà $BK \parallel CH \Rightarrow BK \perp AB$.

0,25

Lại có $BD \perp AC$ tại $D$ (giả thiết đường cao $BD$), suy ra $BH \perp AC$.
Mà $CK \parallel BH \Rightarrow CK \perp AC$.

0,25

c

Chứng minh ba điểm $D, I, E$ thẳng hàng (0,5 điểm)

0,5

Xét $\triangle ABK$ vuông tại $B$ ($BK \perp AB$), có $I$ là trung điểm cạnh huyền $AK$ nên $IB = IA = IK = \dfrac{1}{2}AK$.
Tương tự, $\triangle ACK$ vuông tại $C$ ($CK \perp AC$), có $I$ là trung điểm cạnh huyền $AK$ nên $IC = IA = IK = \dfrac{1}{2}AK$.
Suy ra $IA = IB = IC = IK$, tức điểm $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABKC$.

0,25

Lưu ý về câu hỏi: Trong tam giác nhọn $ABC$ bất kỳ, $D$ và $E$ là chân các đường cao nên đường thẳng $DE$ không đi qua tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp. Đây là dạng đề thường bị nhầm lẫn giữa việc chứng minh $I$ cách đều bốn đỉnh $A, B, C, K$ hoặc chứng minh tính chất trực tâm/đường thẳng Euler.
– Nếu học sinh chứng minh được $IA = IB = IC = IK$ hoặc phân tích chỉ ra vị trí của điểm $I$: cho trọn vẹn $0,5$ điểm của ý c.

0,25

Bài 4
(0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + y$ (0,5 điểm)

0,5

Biến đổi đẳng thức đã cho:
$x^2 + 2y^2 + 2xy - 4x - 6y + 2029 = 0$
$\Leftrightarrow (x^2 + 2xy + y^2) - 4(x + y) + 4 + (y^2 - 2y + 1) + 2024 = 0$
$\Leftrightarrow (x + y - 2)^2 + (y - 1)^2 + 2024 = 0$

0,25

Đặt $P = x + y$, phương trình trở thành: $(P - 2)^2 + (y - 1)^2 + 2024 = 0$.
Vì $(P - 2)^2 \ge 0$ và $(y - 1)^2 \ge 0$ với mọi số thực $x, y$, nên vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng $2024 > 0$. Do đó không tồn tại các số thực $x, y$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
(Ghi chú: Nếu hệ số tự do của đề bài là $+5$, tức $(P - 2)^2 + (y - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow P = 2$ khi $x = 1, y = 1$; khi đó $\min P = 2$. Học sinh biến đổi được hằng đẳng thức $(x + y - 2)^2 + (y - 1)^2$ cho 0,25 điểm, lập luận hoàn chỉnh cho trọn 0,5 điểm).

0,25