PHIẾU HỌC TẬP: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

Câu 1. Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Câu 2. Dãy số $(u_n)$ nào sau đây là dãy số giảm?

Câu 3. Dãy số $(u_n)$ nào dưới đây là dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới?

Câu 4. Trong các dãy số $(u_n)$ sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?

Câu 5. Dãy số $(u_n)$ nào dưới đây không phải là dãy số tăng và cũng không phải là dãy số giảm?

Câu 6. Dãy số $(u_n)$ nào sau đây là dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên?

Câu 7. Dãy số $(u_n)$ nào dưới đây vừa là dãy số tăng, vừa là dãy số bị chặn trên?

Câu 8. Dãy số $(u_n)$ nào dưới đây là dãy số giảm và bị chặn dưới?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

BẢNG ĐÁP ÁN NHANH

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.
- Đáp án đúng: A
- Lời giải:
Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$:

$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2(n+1) - 1}{(n+1) + 1} - \dfrac{2n - 1}{n + 1} = \dfrac{2n + 1}{n + 2} - \dfrac{2n - 1}{n + 1}$$

$$= \dfrac{(2n + 1)(n + 1) - (2n - 1)(n + 2)}{(n + 2)(n + 1)} = \dfrac{(2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 + 3n - 2)}{(n + 2)(n + 1)} = \dfrac{3}{(n + 2)(n + 1)} > 0, \; \forall n \ge 1.$$

Do $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ nên $(u_n)$ là dãy số tăng.
- Phân tích các phương án còn lại:
- Phương án B: $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)^2 + 1} - \dfrac{1}{n^2 + 1} < 0$ nên là dãy số giảm.
- Phương án C: Dãy đan dấu ($-1; 2; -3; 4; \dots$) nên không tăng, không giảm.
- Phương án D: $u_{n+1} - u_n = [3 - 2(n+1)] - (3 - 2n) = -2 < 0$ nên là dãy số giảm.

Câu 2.
- Đáp án đúng: B
- Lời giải:
Ta có: $u_n = \dfrac{n + 3}{n + 1} = 1 + \dfrac{2}{n + 1}$.
Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$:

$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{n + 2} - \dfrac{2}{n + 1} = \dfrac{-2}{(n + 2)(n + 1)} < 0, \; \forall n \ge 1.$$

Suy ra $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, do đó $(u_n)$ là dãy số giảm.
- Phân tích các phương án còn lại:
- Phương án A: $u_{n+1} - u_n = [(n+1)^2 + 2(n+1)] - (n^2 + 2n) = 2n + 3 > 0$, dãy tăng.
- Phương án C: $u_n = 2^n > 0$ và $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2 > 1$, dãy tăng.
- Phương án D: $u_n = \dfrac{3n - 1}{n} = 3 - \dfrac{1}{n}$; khi $n$ tăng thì $\dfrac{1}{n}$ giảm nên $3 - \dfrac{1}{n}$ tăng, dãy tăng.

Câu 3.
- Đáp án đúng: C
- Lời giải:
Xét dãy $u_n = 5 - 2n^2$:
- Với mọi $n \ge 1$, ta có $n^2 \ge 1 \implies -2n^2 \le -2 \implies 5 - 2n^2 \le 3$. Vậy dãy số bị chặn trên bởi $M = 3$.
- Khi $n$ tăng vô hạn thì $u_n \to -\infty$, do đó không tồn tại số thực $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Vậy dãy số không bị chặn dưới.
- Phân tích các phương án còn lại:
- Phương án A: $0 < u_n = \dfrac{n}{n+1} < 1$, bị chặn cả trên và dưới.
- Phương án B: $u_n = n^2 - 3n = \left(n - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} \ge -2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên (khi $n \to +\infty$ thì $u_n \to +\infty$).
- Phương án D: $u_n = (-2)^n$ có giá trị dao động dấu và độ lớn tăng vô hạn, không bị chặn trên và cũng không bị chặn dưới.

Câu 4.
- Đáp án đúng: D
- Lời giải:
Xét $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 2}$:
- Do $n \ge 1$ nên $u_n > 0$. Cụ thể: $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 2} \ge \dfrac{2(1) + 1}{1 + 2} = 1$.
- Mặt khác: $u_n = \dfrac{2(n + 2) - 3}{n + 2} = 2 - \dfrac{3}{n + 2} < 2$ (vì $\dfrac{3}{n+2} > 0$).
Như vậy: $1 \le u_n < 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Dãy số $(u_n)$ vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên nên là dãy số bị chặn.
- Phân tích các phương án còn lại:
- Phương án A: $u_n = 2n + 1 \ge 3$ bị chặn dưới, không bị chặn trên.
- Phương án B: $u_n = n + \dfrac{1}{n} > n$, khi $n \to +\infty$ thì $u_n \to +\infty$, không bị chặn trên.
- Phương án C: $u_n = (-3)^n$ không bị chặn trên và không bị chặn dưới.

Câu 5.
- Đáp án đúng: A
- Lời giải:
Xét dãy $u_n = (-1)^n \cdot \dfrac{n}{n + 1}$:
- Số hạng thứ nhất: $u_1 = (-1)^1 \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}$.
- Số hạng thứ hai: $u_2 = (-1)^2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} > u_1$.
- Số hạng thứ ba: $u_3 = (-1)^3 \cdot \dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4} < u_2$.
Vì $u_1 < u_2$ nhưng $u_2 > u_3$ nên dãy số không phải là dãy tăng và cũng không phải là dãy giảm.
- Phân tích các phương án còn lại:
- Phương án B: $u_{n+1} - u_n = 3 > 0$, là dãy số tăng.
- Phương án C: Công bội $q = \dfrac{1}{3} \in (0; 1)$, $u_n > 0$ và $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1}{3} < 1$, là dãy số giảm.
- Phương án D: $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$, mẫu tăng theo $n$ nên dãy số giảm.

Câu 6.
- Đáp án đúng: B
- Lời giải:
Xét $u_n = 3n^2 - 2n + 1$:
- Biến đổi: $u_n = 3\left(n - \dfrac{1}{3}\right)^2 + \dfrac{2}{3}$.
Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ ($n \ge 1$), hàm bậc hai đồng biến trên $[1; +\infty)$ nên $u_n \ge u_1 = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2$.
Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $m = 2$.
- Khi $n \to +\infty$ thì $u_n \to +\infty$ nên dãy số không bị chặn trên.
- Phân tích các phương án còn lại:
- Phương án A: $0 < u_n \le \dfrac{1}{3}$ với mọi $n \ge 1$, bị chặn cả hai phía.
- Phương án C: $u_n = 1 - 4n \le -3$, bị chặn trên, không bị chặn dưới.
- Phương án D: $-1 \le \cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right) \le 1$, bị chặn cả hai phía.

Câu 7.
- Đáp án đúng: C
- Lời giải:
Xét dãy $u_n = \dfrac{2n - 3}{n + 1} = 2 - \dfrac{5}{n + 1}$:
- Xét hiệu:

$$u_{n+1} - u_n = \left(2 - \dfrac{5}{n + 2}\right) - \left(2 - \dfrac{5}{n + 1}\right) = \dfrac{5}{n + 1} - \dfrac{5}{n + 2} = \dfrac{5}{(n + 1)(n + 2)} > 0, \; \forall n \ge 1.$$

Do đó dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.
- Mặt khác, với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $\dfrac{5}{n + 1} > 0 \implies u_n = 2 - \dfrac{5}{n + 1} < 2$.
Do đó dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số $M = 2$.
- Phân tích các phương án còn lại:
- Phương án A: Dãy tăng nhưng không bị chặn trên.
- Phương án B: $u_n = 1 + \dfrac{1}{n+1}$ là dãy giảm.
- Phương án D: $u_n = 4 + \dfrac{2}{n}$ là dãy giảm.

Câu 8.
- Đáp án đúng: D
- Lời giải:
Xét dãy $u_n = \dfrac{n + 1}{2n + 1}$:
- Biến đổi: $u_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2n + 2}{2n + 1} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2(2n + 1)}$.
- Xét hiệu:

$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2(2n + 3)} - \dfrac{1}{2(2n + 1)} = \dfrac{-1}{(2n + 3)(2n + 1)} < 0, \; \forall n \ge 1.$$

Suy ra $(u_n)$ là dãy số giảm.
- Với mọi $n \ge 1$, ta có $\dfrac{1}{2(2n + 1)} > 0 \implies u_n > \dfrac{1}{2}$.
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $m = \dfrac{1}{2}$ (hoặc $m = 0$).
- Phân tích các phương án còn lại:
- Phương án A: $u_n = 1 - 2n$ là dãy giảm nhưng không bị chặn dưới ($u_n \to -\infty$).
- Phương án B: $u_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2} = 3 - \dfrac{5}{n + 2}$ là dãy tăng.
- Phương án C: $u_n = -n^2 + 4$ là dãy giảm nhưng không bị chặn dưới.