soandethi.com

Hai đề giữa học kỳ I Toán 11 năm học 2026–2027 – Mã đề 101 và 102

ToánLớp 11RChia sẻ bởi RB Đỗ 0 lượt sử dụng đề

TRƯỜNG THCS – THPT SUỐI NHO

TỔ TOÁN

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 101

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1. Góc có số đo 7π12\dfrac{7\pi}{12} rad có số đo bằng độ là

A. 75∘75^\circ.

B. 90∘90^\circ.

C. 105∘105^\circ.

D. 120∘120^\circ.

Câu 2. Trên đường tròn lượng giác trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo 5π6\dfrac{5\pi}{6} có tọa độ nào sau đây?

A. (−32;12)\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right).

B. (32;12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right).

C. (12;−32)\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

D. (−12;32)\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Câu 3. Công thức nào sau đây đúng với mọi số thực aa, bb?

A. cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.

B. cos⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\cos(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.

C. cos⁡(a+b)=sin⁡asin⁡b−cos⁡acos⁡b\cos(a+b)=\sin a\sin b-\cos a\cos b.

D. cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.

Câu 4. Công thức nào sau đây đúng với mọi số thực uu, vv?

A. sin⁡u+sin⁡v=2cos⁡u+v2cos⁡u−v2\sin u+\sin v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}.

B. sin⁡u+sin⁡v=2sin⁡u+v2cos⁡u−v2\sin u+\sin v=2\sin\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}.

C. sin⁡u+sin⁡v=2sin⁡u+v2sin⁡u−v2\sin u+\sin v=2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}.

D. sin⁡u+sin⁡v=2cos⁡u+v2sin⁡u−v2\sin u+\sin v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}.

Câu 5. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y=cos⁡xy=\cos x.

B. y=sin⁡xy=\sin x.

C. y=tan⁡xy=\tan x.

D. y=cot⁡xy=\cot x.

Câu 6. Tập xác định của hàm số y=cot⁡2xy=\cot 2x là

A. R∖{π4+kπ2∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

B. R∖{kπ∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}.

C. R∖{kπ2∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{k\dfrac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

D. R∖{π2+kπ∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

Câu 7. Nghiệm của phương trình cos⁡x=12\cos x=\dfrac{1}{2} là

A. x=±π6+2kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

B. x=±π3+2kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

C. x=±2π3+2kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

D. x=±π3+kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

Câu 8. Nghiệm của phương trình tan⁡x=3\tan x=\sqrt{3} là

A. x=−π3+kπ, k∈Zx=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

B. x=π6+kπ, k∈Zx=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

C. x=π3+2kπ, k∈Zx=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

D. x=π3+kπ, k∈Zx=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

Câu 9. Dãy số nào sau đây là dãy số hữu hạn?

A. 1; 3; 5; 7;…1;\ 3;\ 5;\ 7;\ldots

B. (un)(u_n) với un=2n+1, n≥1u_n=2n+1,\ n\geq1.

C. 3; 6; 9;…; 603;\ 6;\ 9;\ldots;\ 60.

D. (vn)(v_n) với vn=1n, n≥1v_n=\dfrac{1}{n},\ n\geq1.

Câu 10. Cấp số cộng 25;−15;−45;−75;…\dfrac{2}{5};-\dfrac{1}{5};-\dfrac{4}{5};-\dfrac{7}{5};\ldots có số hạng đầu u1u_1 và công sai dd là

A. u1=25, d=35u_1=\dfrac{2}{5},\ d=\dfrac{3}{5}.

B. u1=25, d=−35u_1=\dfrac{2}{5},\ d=-\dfrac{3}{5}.

C. u1=−15, d=−35u_1=-\dfrac{1}{5},\ d=-\dfrac{3}{5}.

D. u1=25, d=−15u_1=\dfrac{2}{5},\ d=-\dfrac{1}{5}.

Câu 11. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. 2; 6; 18; 542;\ 6;\ 18;\ 54.

B. 4; −2; 1; −124;\ -2;\ 1;\ -\dfrac{1}{2}.

C. 5; 5; 5; 55;\ 5;\ 5;\ 5.

D. 3; 6; 12; 253;\ 6;\ 12;\ 25.

Câu 12. Cho cấp số nhân (un)(u_n) có u1=5u_1=5 và công bội q=2q=2. Giá trị của u6u_6 bằng

A. 160160.

B. 320320.

C. 8080.

D. 1515.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 1 và Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh xác định khẳng định đúng hay sai. Mỗi câu được tối đa 1,0 điểm.

Câu 1. Cho hàm số y=sin⁡xy=\sin x. Xét các khẳng định sau:
a) Tập giá trị của hàm số là [−1;1][-1;1].
b) Hàm số có chu kì tuần hoàn T=πT=\pi.
c) Tập xác định của hàm số là R\mathbb{R}.
d) Đồ thị hàm số nhận trục OyOy làm trục đối xứng.

Câu 2. Bạn Minh thực hiện kế hoạch đi bộ trong 20 ngày liên tiếp. Ngày đầu tiên, Minh đi bộ 12 phút. Mỗi ngày tiếp theo, thời gian đi bộ tăng thêm 3 phút so với ngày trước. Gọi TnT_n là thời gian đi bộ, tính bằng phút, của Minh trong ngày thứ nn, với 1≤n≤201\leq n\leq20. Xét các khẳng định sau:
a) Thời gian đi bộ trong bốn ngày đầu lần lượt là 12 phút, 15 phút, 18 phút và 22 phút.
b) Công thức xác định thời gian đi bộ trong ngày thứ nn là Tn=9+3nT_n=9+3n.
c) Ngày thứ 17 là ngày đầu tiên Minh đi bộ ít nhất 60 phút trong một ngày.
d) Tổng thời gian đi bộ của Minh trong 20 ngày là 780 phút.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1. Cho sin⁡α=45\sin\alpha=\dfrac{4}{5} và π2<α<π\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi. Tính cos⁡α\cos\alpha. Viết kết quả dưới dạng số thập phân.

Câu 2. Độ cao hh, tính bằng centimét, của một điểm trên mặt nước so với vị trí cân bằng tại thời điểm tt, tính bằng giây, được mô hình hóa bởi

h=40sin⁡(πt4).h=40\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right).

Trong 4 phút đầu tiên, kể cả hai thời điểm đầu và cuối, có bao nhiêu thời điểm điểm đó ở độ cao 20 cm so với vị trí cân bằng?

Câu 3. Cho dãy số (un)(u_n) có số hạng tổng quát un=3n+2n+1u_n=\dfrac{3n+2}{n+1}, với n≥1n\geq1. Số 11940\dfrac{119}{40} là số hạng thứ mấy của dãy số?

Câu 4. Người ta trồng 1275 cây theo các hàng: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, và cứ tiếp tục như vậy, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 1 cây. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số y=3sin⁡x+1y=3\sin x+1, với x∈Rx\in\mathbb{R}.
a) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
b) Giải phương trình 3sin⁡x+1=523\sin x+1=\dfrac{5}{2}.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho dãy số (un)(u_n) xác định bởi

{u1=1,u2=3,un+2=3un+1−2un,n≥1.\begin{cases} u_1=1,\quad u_2=3,\\ u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n,\quad n\geq1. \end{cases}

Tính u7u_7.

Câu 3 (1,0 điểm). Một gia đình vay ngân hàng 120 triệu đồng với lãi suất 1%1\%/tháng, không thay đổi trong suốt thời gian vay. Cuối mỗi tháng, ngân hàng tính lãi trên số dư nợ đầu tháng, sau đó gia đình trả một khoản tiền cố định là aa đồng. Khoản trả đầu tiên được thực hiện vào cuối tháng thứ nhất sau khi vay. Gia đình trả hết nợ ngay sau lần thanh toán thứ 12. Không có khoản phí nào khác. Tính aa, làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng.

--------- HẾT ---------

TRƯỜNG THCS – THPT SUỐI NHO

TỔ TOÁN

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 102

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1. Góc có số đo 5π12\dfrac{5\pi}{12} rad có số đo bằng độ là

A. 60∘60^\circ.

B. 75∘75^\circ.

C. 90∘90^\circ.

D. 105∘105^\circ.

Câu 2. Trên đường tròn lượng giác trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo 7π6\dfrac{7\pi}{6} có tọa độ nào sau đây?

A. (32;−12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right).

B. (−12;−32)\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

C. (−32;12)\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right).

D. (−32;−12)\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right).

Câu 3. Công thức nào sau đây đúng với mọi số thực aa, bb?

A. sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.

B. sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a-b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.

C. sin⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\sin(a-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.

D. sin⁡(a−b)=cos⁡asin⁡b−sin⁡acos⁡b\sin(a-b)=\cos a\sin b-\sin a\cos b.

Câu 4. Công thức nào sau đây đúng với mọi số thực uu, vv?

A. cos⁡u+cos⁡v=2sin⁡u+v2cos⁡u−v2\cos u+\cos v=2\sin\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}.

B. cos⁡u+cos⁡v=−2sin⁡u+v2sin⁡u−v2\cos u+\cos v=-2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}.

C. cos⁡u+cos⁡v=2cos⁡u+v2cos⁡u−v2\cos u+\cos v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}.

D. cos⁡u+cos⁡v=2cos⁡u+v2sin⁡u−v2\cos u+\cos v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}.

Câu 5. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. y=cos⁡xy=\cos x.

B. y=cos⁡2xy=\cos 2x.

C. y=cos⁡3xy=\cos 3x.

D. y=sin⁡xy=\sin x.

Câu 6. Tập xác định của hàm số y=tan⁡3xy=\tan 3x là

A. R∖{π2+kπ∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

B. R∖{π6+kπ3∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

C. R∖{kπ3∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{k\dfrac{\pi}{3}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

D. R∖{π6+kπ∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

Câu 7. Nghiệm của phương trình cos⁡x=−12\cos x=-\dfrac{1}{2} là

A. x=±2π3+2kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

B. x=±π3+2kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

C. x=±5π6+2kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

D. x=±2π3+kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

Câu 8. Nghiệm của phương trình cot⁡x=3\cot x=\sqrt{3} là

A. x=−π6+kπ, k∈Zx=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

B. x=π3+kπ, k∈Zx=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

C. x=π6+kπ, k∈Zx=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

D. x=π6+2kπ, k∈Zx=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

Câu 9. Dãy số nào sau đây là dãy số hữu hạn?

A. 4; 8; 12;…; 804;\ 8;\ 12;\ldots;\ 80.

B. 2; 5; 8; 11;…2;\ 5;\ 8;\ 11;\ldots

C. (un)(u_n) với un=3n−1, n≥1u_n=3n-1,\ n\geq1.

D. (vn)(v_n) với vn=2n+1, n≥1v_n=\dfrac{2}{n+1},\ n\geq1.

Câu 10. Cấp số cộng −14;14;34;54;…-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4};\ldots có số hạng đầu u1u_1 và công sai dd là

A. u1=−14, d=14u_1=-\dfrac{1}{4},\ d=\dfrac{1}{4}.

B. u1=14, d=12u_1=\dfrac{1}{4},\ d=\dfrac{1}{2}.

C. u1=−14, d=−12u_1=-\dfrac{1}{4},\ d=-\dfrac{1}{2}.

D. u1=−14, d=12u_1=-\dfrac{1}{4},\ d=\dfrac{1}{2}.

Câu 11. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. −3; 6; −12; 24-3;\ 6;\ -12;\ 24.

B. 7; 7; 7; 77;\ 7;\ 7;\ 7.

C. 2; 6; 18; 562;\ 6;\ 18;\ 56.

D. 1; −13;19;−1271;\ -\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{9};-\dfrac{1}{27}.

Câu 12. Cho cấp số nhân (un)(u_n) có u1=3u_1=3 và công bội q=3q=3. Giá trị của u5u_5 bằng

A. 8181.

B. 243243.

C. 729729.

D. 1515.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 1 và Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh xác định khẳng định đúng hay sai. Mỗi câu được tối đa 1,0 điểm.

Câu 1. Cho hàm số y=cos⁡xy=\cos x. Xét các khẳng định sau:
a) Tập giá trị của hàm số là [0;1][0;1].
b) Hàm số có chu kì tuần hoàn T=2πT=2\pi.
c) Tập xác định của hàm số là R∖{π2+kπ∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.
d) Đồ thị hàm số nhận trục OyOy làm trục đối xứng.

Câu 2. Bạn Lan thực hiện kế hoạch đọc một cuốn sách trong 20 ngày liên tiếp. Ngày đầu tiên, Lan đọc 8 trang. Mỗi ngày tiếp theo, số trang đọc tăng thêm 2 trang so với ngày trước. Gọi PnP_n là số trang Lan đọc trong ngày thứ nn, với 1≤n≤201\leq n\leq20. Xét các khẳng định sau:
a) Số trang đọc trong bốn ngày đầu lần lượt là 8, 10, 12 và 14.
b) Công thức xác định số trang đọc trong ngày thứ nn là Pn=8+2nP_n=8+2n.
c) Ngày thứ 16 là ngày đầu tiên Lan đọc ít nhất 40 trang trong một ngày.
d) Tổng số trang Lan đọc trong 20 ngày là 540 trang.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1. Cho cos⁡α=−35\cos\alpha=-\dfrac{3}{5} và π<α<3π2\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}. Tính sin⁡α\sin\alpha. Viết kết quả dưới dạng số thập phân.

Câu 2. Độ cao hh, tính bằng centimét, của một điểm trên mặt nước so với vị trí cân bằng tại thời điểm tt, tính bằng giây, được mô hình hóa bởi

h=60sin⁡(πt5).h=60\sin\left(\dfrac{\pi t}{5}\right).

Trong 4 phút đầu tiên, kể cả hai thời điểm đầu và cuối, có bao nhiêu thời điểm điểm đó ở độ cao 30 cm so với vị trí cân bằng?

Câu 3. Cho dãy số (un)(u_n) có số hạng tổng quát un=4n+1n+2u_n=\dfrac{4n+1}{n+2}, với n≥1n\geq1. Số 15340\dfrac{153}{40} là số hạng thứ mấy của dãy số?

Câu 4. Người ta xếp 1830 chậu hoa theo các hàng: hàng thứ nhất có 1 chậu, hàng thứ hai có 2 chậu, hàng thứ ba có 3 chậu, và cứ tiếp tục như vậy, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 1 chậu. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng chậu hoa?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số y=4cos⁡x−1y=4\cos x-1, với x∈Rx\in\mathbb{R}.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
b) Giải phương trình 4cos⁡x−1=14\cos x-1=1.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho dãy số (un)(u_n) xác định bởi

{u1=2,u2=4,un+2=4un+1−3un,n≥1.\begin{cases} u_1=2,\quad u_2=4,\\ u_{n+2}=4u_{n+1}-3u_n,\quad n\geq1. \end{cases}

Tính u7u_7.

Câu 3 (1,0 điểm). Một cửa hàng vay ngân hàng 180 triệu đồng với lãi suất 0,5%0,5\%/tháng, không thay đổi trong suốt thời gian vay. Cuối mỗi tháng, ngân hàng tính lãi trên số dư nợ đầu tháng, sau đó cửa hàng trả một khoản tiền cố định là aa đồng. Khoản trả đầu tiên được thực hiện vào cuối tháng thứ nhất sau khi vay. Cửa hàng trả hết nợ ngay sau lần thanh toán thứ 12. Không có khoản phí nào khác. Tính aa, làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng.

--------- HẾT ---------

TRƯỜNG THCS – THPT SUỐI NHO

TỔ TOÁN

Hướng dẫn chấm

KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Mã đề: 101

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Chấm theo các đơn vị kiến thức và mức điểm dưới đây; tổng điểm toàn bài là 10,0 điểm.

Phần I: mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần II: chấm riêng từng câu theo số ý thí sinh xác định chính xác: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm; không đúng ý nào được 0 điểm. Không cộng điểm riêng cho từng ý.

Phần III: mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Phần IV: chấm từng bước, với bước điểm 0,25.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

C

A

D

B

A

C

B

D

C

B

Câu

11

12

Đáp án

D

A

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm. Tổng điểm Phần I: 3,0 điểm.

Phần II. Trắc nghiệm đúng/sai

Câu – ý

1a

1b

1c

1d

2a

2b

2c

2d

Đáp án

Đ

S

Đ

S

S

Đ

Đ

S

Căn cứ kiểm tra Câu 1: Hàm số y=sin⁡xy=\sin x có tập giá trị [−1;1][-1;1], chu kì cơ bản 2π2\pi, tập xác định R\mathbb{R} và là hàm số lẻ. Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, không nhận trục OyOy làm trục đối xứng.

Căn cứ kiểm tra Câu 2:
a) Bốn số hạng đầu là 12;15;18;2112;15;18;21, nên khẳng định sai.
b) Tn=12+3(n−1)=9+3nT_n=12+3(n-1)=9+3n, nên khẳng định đúng.
c) 9+3n≥60⇔n≥179+3n\geq60\Leftrightarrow n\geq17, nên ngày đầu tiên là ngày thứ 17.
d) T20=69T_{20}=69 và S20=20(12+69)2=810S_{20}=\dfrac{20(12+69)}{2}=810 phút, không phải 780 phút.

Chấm theo bậc thang đã nêu ở phần hướng dẫn chung. Tổng điểm Phần II: 2,0 điểm.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu

1

2

3

4

Đáp án

−0,6-0,6

6060

3939

5050

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Tổng điểm Phần III: 2,0 điểm.

Kiểm chứng Câu 1. Vì α\alpha thuộc góc phần tư thứ II nên cos⁡α<0\cos\alpha<0. Do đó

cos⁡α=−1−1625=−35=−0,6.\cos\alpha=-\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=-\dfrac{3}{5}=-0,6.

Kiểm chứng Câu 2. Bốn phút bằng 240 giây. Phương trình cần giải là

sin⁡(πt4)=12.\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)=\dfrac12.

Suy ra

t=23+8khoặct=103+8k,k∈Z.t=\dfrac23+8k\quad\text{hoặc}\quad t=\dfrac{10}{3}+8k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Với 0≤t≤2400\leq t\leq240, mỗi họ có k=0,1,…,29k=0,1,\ldots,29, tức 30 nghiệm. Hai họ không trùng nhau. Vậy có 60 thời điểm.

Kiểm chứng Câu 3.

3n+2n+1=11940⇔120n+80=119n+119⇔n=39.\dfrac{3n+2}{n+1}=\dfrac{119}{40} \Leftrightarrow120n+80=119n+119 \Leftrightarrow n=39.

Kiểm chứng Câu 4. Gọi số hàng là n∈N∗n\in\mathbb{N}^*. Khi đó

n(n+1)2=1275⇔(n−50)(n+51)=0.\dfrac{n(n+1)}{2}=1275 \Leftrightarrow(n-50)(n+51)=0.

Vì n>0n>0 nên có 50 hàng cây.

Phần IV. Tự luận

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

Câu 1
(1,0 điểm)

a

Tìm giá trị lớn nhất của y=3sin⁡x+1y=3\sin x+1.

0,5

Vì −1≤sin⁡x≤1-1\leq\sin x\leq1 nên −2≤3sin⁡x+1≤4-2\leq3\sin x+1\leq4.

0,25

Dấu bằng ở cận trên xảy ra khi sin⁡x=1\sin x=1, chẳng hạn x=π2x=\dfrac{\pi}{2}. Vậy giá trị lớn nhất là 44.

0,25

b

Giải phương trình 3sin⁡x+1=523\sin x+1=\dfrac52.

0,5

Biến đổi được sin⁡x=12\sin x=\dfrac12.

0,25

Suy ra x=π6+2kπx=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi hoặc x=5π6+2kπx=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, với k∈Zk\in\mathbb{Z}.

0,25

Câu 2
(1,0 điểm)

Tính u7u_7 từ hệ thức truy hồi đã cho.

1,0

Tính được u3=3⋅3−2⋅1=7u_3=3\cdot3-2\cdot1=7.

0,25

Tính được u4=3⋅7−2⋅3=15u_4=3\cdot7-2\cdot3=15.

0,25

Tính được u5=3⋅15−2⋅7=31u_5=3\cdot15-2\cdot7=31 và u6=3⋅31−2⋅15=63u_6=3\cdot31-2\cdot15=63.

0,25

Suy ra u7=3⋅63−2⋅31=127u_7=3\cdot63-2\cdot31=127.

0,25

Câu 3
(1,0 điểm)

Tính khoản tiền trả cố định mỗi tháng.

1,0

Đặt P=120 000 000P=120\,000\,000, q=1,01q=1,01. Gọi BnB_n là số dư nợ ngay sau lần trả thứ nn. Khi đó B0=PB_0=P và Bn=qBn−1−aB_n=qB_{n-1}-a.

0,25

Từ B1=Pq−aB_1=Pq-a, B2=Pq2−a(q+1)B_2=Pq^2-a(q+1), suy ra
B12=Pq12−a(1+q+⋯+q11)B_{12}=Pq^{12}-a(1+q+\cdots+q^{11}).

0,25

Vì B12=0B_{12}=0 và 1+q+⋯+q11=q12−1q−11+q+\cdots+q^{11}=\dfrac{q^{12}-1}{q-1} nên
a=Pq12(q−1)q12−1a=\dfrac{Pq^{12}(q-1)}{q^{12}-1}
=120 000 000⋅1,0112⋅0,011,0112−1=\dfrac{120\,000\,000\cdot1,01^{12}\cdot0,01}{1,01^{12}-1}.

0,25

Tính được a≈10 661 854,64a\approx10\,661\,854,64 đồng. Làm tròn đến hàng nghìn đồng: a≈10 662 000a\approx10\,662\,000 đồng.

0,25

TỔNG ĐIỂM PHẦN IV

3,0

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Ở Câu 2, chấp nhận cách xét hiệu hai số hạng liên tiếp hoặc xác định công thức tổng quát.

TRƯỜNG THCS – THPT SUỐI NHO

TỔ TOÁN

Hướng dẫn chấm

KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Mã đề: 102

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Chấm theo các đơn vị kiến thức và mức điểm dưới đây; tổng điểm toàn bài là 10,0 điểm.

Phần I: mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần II: chấm riêng từng câu theo số ý thí sinh xác định chính xác: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm; không đúng ý nào được 0 điểm. Không cộng điểm riêng cho từng ý.

Phần III: mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Phần IV: chấm từng bước, với bước điểm 0,25.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

B

D

A

C

D

B

A

C

A

D

Câu

11

12

Đáp án

C

B

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm. Tổng điểm Phần I: 3,0 điểm.

Phần II. Trắc nghiệm đúng/sai

Câu – ý

1a

1b

1c

1d

2a

2b

2c

2d

Đáp án

S

Đ

S

Đ

Đ

S

S

Đ

Căn cứ kiểm tra Câu 1: Hàm số y=cos⁡xy=\cos x có tập giá trị [−1;1][-1;1], chu kì cơ bản 2π2\pi, tập xác định R\mathbb{R} và là hàm số chẵn. Đồ thị nhận trục OyOy làm trục đối xứng.

Căn cứ kiểm tra Câu 2:
a) Bốn số hạng đầu là 8;10;12;148;10;12;14, nên khẳng định đúng.
b) Pn=8+2(n−1)=6+2nP_n=8+2(n-1)=6+2n, nên công thức đã nêu sai.
c) 6+2n≥40⇔n≥176+2n\geq40\Leftrightarrow n\geq17, nên ngày đầu tiên là ngày thứ 17, không phải ngày thứ 16.
d) P20=46P_{20}=46 và S20=20(8+46)2=540S_{20}=\dfrac{20(8+46)}{2}=540 trang, nên khẳng định đúng.

Chấm theo bậc thang đã nêu ở phần hướng dẫn chung. Tổng điểm Phần II: 2,0 điểm.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu

1

2

3

4

Đáp án

−0,8-0,8

4848

3838

6060

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Tổng điểm Phần III: 2,0 điểm.

Kiểm chứng Câu 1. Vì α\alpha thuộc góc phần tư thứ III nên sin⁡α<0\sin\alpha<0. Do đó

sin⁡α=−1−925=−45=−0,8.\sin\alpha=-\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=-\dfrac45=-0,8.

Kiểm chứng Câu 2. Bốn phút bằng 240 giây. Phương trình cần giải là

sin⁡(πt5)=12.\sin\left(\dfrac{\pi t}{5}\right)=\dfrac12.

Suy ra

t=56+10khoặct=256+10k,k∈Z.t=\dfrac56+10k\quad\text{hoặc}\quad t=\dfrac{25}{6}+10k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Với 0≤t≤2400\leq t\leq240, mỗi họ có k=0,1,…,23k=0,1,\ldots,23, tức 24 nghiệm. Hai họ không trùng nhau. Vậy có 48 thời điểm.

Kiểm chứng Câu 3.

4n+1n+2=15340⇔160n+40=153n+306⇔n=38.\dfrac{4n+1}{n+2}=\dfrac{153}{40} \Leftrightarrow160n+40=153n+306 \Leftrightarrow n=38.

Kiểm chứng Câu 4. Gọi số hàng là n∈N∗n\in\mathbb{N}^*. Khi đó

n(n+1)2=1830⇔(n−60)(n+61)=0.\dfrac{n(n+1)}{2}=1830 \Leftrightarrow(n-60)(n+61)=0.

Vì n>0n>0 nên có 60 hàng chậu hoa.

Phần IV. Tự luận

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

Câu 1
(1,0 điểm)

a

Tìm giá trị nhỏ nhất của y=4cos⁡x−1y=4\cos x-1.

0,5

Vì −1≤cos⁡x≤1-1\leq\cos x\leq1 nên −5≤4cos⁡x−1≤3-5\leq4\cos x-1\leq3.

0,25

Dấu bằng ở cận dưới xảy ra khi cos⁡x=−1\cos x=-1, chẳng hạn x=πx=\pi. Vậy giá trị nhỏ nhất là −5-5.

0,25

b

Giải phương trình 4cos⁡x−1=14\cos x-1=1.

0,5

Biến đổi được cos⁡x=12\cos x=\dfrac12.

0,25

Suy ra x=±π3+2kπx=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, với k∈Zk\in\mathbb{Z}.

0,25

Câu 2
(1,0 điểm)

Tính u7u_7 từ hệ thức truy hồi đã cho.

1,0

Tính được u3=4⋅4−3⋅2=10u_3=4\cdot4-3\cdot2=10.

0,25

Tính được u4=4⋅10−3⋅4=28u_4=4\cdot10-3\cdot4=28.

0,25

Tính được u5=4⋅28−3⋅10=82u_5=4\cdot28-3\cdot10=82 và u6=4⋅82−3⋅28=244u_6=4\cdot82-3\cdot28=244.

0,25

Suy ra u7=4⋅244−3⋅82=730u_7=4\cdot244-3\cdot82=730.

0,25

Câu 3
(1,0 điểm)

Tính khoản tiền trả cố định mỗi tháng.

1,0

Đặt P=180 000 000P=180\,000\,000, q=1,005q=1,005. Gọi BnB_n là số dư nợ ngay sau lần trả thứ nn. Khi đó B0=PB_0=P và Bn=qBn−1−aB_n=qB_{n-1}-a.

0,25

Từ B1=Pq−aB_1=Pq-a, B2=Pq2−a(q+1)B_2=Pq^2-a(q+1), suy ra
B12=Pq12−a(1+q+⋯+q11)B_{12}=Pq^{12}-a(1+q+\cdots+q^{11}).

0,25

Vì B12=0B_{12}=0 và 1+q+⋯+q11=q12−1q−11+q+\cdots+q^{11}=\dfrac{q^{12}-1}{q-1} nên
a=Pq12(q−1)q12−1a=\dfrac{Pq^{12}(q-1)}{q^{12}-1}
=180 000 000⋅1,00512⋅0,0051,00512−1=\dfrac{180\,000\,000\cdot1,005^{12}\cdot0,005}{1,005^{12}-1}.

0,25

Tính được a≈15 491 957,35a\approx15\,491\,957,35 đồng. Làm tròn đến hàng nghìn đồng: a≈15 492 000a\approx15\,492\,000 đồng.

0,25

TỔNG ĐIỂM PHẦN IV

3,0

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Ở Câu 2, chấp nhận cách xét hiệu hai số hạng liên tiếp hoặc xác định công thức tổng quát.

BẢNG ĐỐI CHIẾU MA TRẬN VÀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG

A. Căn cứ đối chiếu

Cấu trúc và tổng điểm lấy theo D1. Yêu cầu cụ thể, vị trí câu và mức độ nhận thức ưu tiên theo Mục V của D1, đúng yêu cầu trong tệp prompt.md.

Trong các bảng dưới đây, ký hiệu “I.2” nghĩa là Phần I, Câu 2; “II.1a” nghĩa là Phần II, Câu 1, ý a).

Điểm của Phần II được tính theo số ý trả lời chính xác trong mỗi câu. Các hàng ý a), b), c), d) không có điểm độc lập.

B. Đối chiếu mã đề 101

Vị trí câu

Nội dung kiến thức

Mức độ nhận thức

Điểm

Đối chiếu đề cương D2

Kết quả kiểm tra

I.1

Đổi 7π12\dfrac{7\pi}{12} rad sang độ

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 1: đổi rađian sang độ

Đạt; 105∘105^\circ, chọn C

I.2

Tọa độ điểm biểu diễn góc 5π6\dfrac{5\pi}{6}

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 2: điểm trên đường tròn lượng giác

Đạt; chọn A

I.3

Công thức côsin của tổng

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 3: nhận biết công thức

Đạt; chọn D

I.4

Công thức biến đổi tổng hai sin

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 4: tổng thành tích

Đạt; chọn B

I.5

Nhận biết hàm số chẵn

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 5: tính chẵn, lẻ

Đạt; chọn A

I.6

Tập xác định của y=cot⁡2xy=\cot2x

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 6: điều kiện xác định hàm lượng giác

Đạt; chọn C

I.7

Công thức nghiệm phương trình côsin

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 7

Đạt; chọn B

I.8

Công thức nghiệm phương trình tang

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 8

Đạt; chọn D

I.9

Nhận biết dãy hữu hạn

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 9

Đạt; chọn C

I.10

Số hạng đầu, công sai

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 10

Đạt; chọn B

I.11

Nhận biết cấp số nhân

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 11

Đạt; chọn D

I.12

Số hạng của cấp số nhân

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 12

Đạt; u6=160u_6=160, chọn A

II.1a

Tập giá trị của hàm sin

Nhận biết

Theo bậc thang

Phần II, Câu 1a

Đạt; Đ

II.1b

Chu kì của hàm sin

Nhận biết

Theo bậc thang

Phần II, Câu 1b

Đạt; S

II.1c

Tập xác định của hàm sin

Nhận biết

Theo bậc thang

Phần II, Câu 1c

Đạt; Đ

II.1d

Tính đối xứng của đồ thị hàm sin

Nhận biết

Theo bậc thang

Phần II, Câu 1d

Đạt; S

II.2a

Các số hạng từ kế hoạch đi bộ

Vận dụng

Theo bậc thang

Phần II, Câu 2a: các số hạng đầu

Đạt; S

II.2b

Công thức thời gian theo ngày

Vận dụng

Theo bậc thang

Phần II, Câu 2b: công thức tổng quát

Đạt; Đ

II.2c

Ngày đầu đạt mục tiêu

Vận dụng

Theo bậc thang

Phần II, Câu 2c

Đạt; Đ

II.2d

Tổng thời gian đi bộ

Vận dụng

Theo bậc thang

Phần II, Câu 2d

Đạt; S

III.1

Tính côsin từ sin và điều kiện góc

Thông hiểu

0,5

Phần III, Câu 1

Đạt; −0,6-0,6

III.2

Đếm thời điểm từ phương trình lượng giác

Vận dụng

0,5

Bài độ cao con sóng ở Phần III

Đạt; 60 thời điểm

III.3

Xác định chỉ số của số hạng

Thông hiểu

0,5

Phần III, bài dãy số phân thức

Đạt; n=39n=39

III.4

Tổng cấp số cộng trong xếp hàng cây

Vận dụng

0,5

Phần III, Câu 4

Đạt; 50 hàng

IV.1a

Giá trị lớn nhất của hàm lượng giác

Thông hiểu

0,5

Phần IV, Câu 1a

Đạt; giá trị lớn nhất bằng 44

IV.1b

Giải phương trình lượng giác

Thông hiểu

0,5

Phần IV, Câu 1b

Đạt; đủ hai họ nghiệm

IV.2

Tính số hạng từ truy hồi bậc hai

Thông hiểu

1,0

Phần IV, Câu 2

Đạt; u7=127u_7=127

IV.3

Trả góp, tổng cấp số nhân

Vận dụng

1,0

Phần IV, Câu 3

Đạt; 10 662 00010\,662\,000 đồng sau làm tròn

Hai câu Phần II có tổng điểm tối đa 2,0 điểm: Câu 1 thuộc mức Nhận biết, tối đa 1,0 điểm; Câu 2 thuộc mức Vận dụng, tối đa 1,0 điểm.

C. Đối chiếu mã đề 102

Vị trí câu

Nội dung kiến thức

Mức độ nhận thức

Điểm

Đối chiếu đề cương D2

Kết quả kiểm tra

I.1

Đổi 5π12\dfrac{5\pi}{12} rad sang độ

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 1: đổi rađian sang độ

Đạt; 75∘75^\circ, chọn B

I.2

Tọa độ điểm biểu diễn góc 7π6\dfrac{7\pi}{6}

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 2: điểm trên đường tròn lượng giác

Đạt; chọn D

I.3

Công thức sin của hiệu

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 3: nhận biết công thức

Đạt; chọn A

I.4

Công thức biến đổi tổng hai côsin

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 4: tổng thành tích

Đạt; chọn C

I.5

Nhận biết hàm số lẻ

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 5: tính chẵn, lẻ

Đạt; chọn D

I.6

Tập xác định của y=tan⁡3xy=\tan3x

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 6: điều kiện xác định hàm lượng giác

Đạt; chọn B

I.7

Công thức nghiệm phương trình côsin

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 7

Đạt; chọn A

I.8

Công thức nghiệm phương trình côtang

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 8; cùng dạng phương trình cơ bản

Đạt; chọn C

I.9

Nhận biết dãy hữu hạn

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 9

Đạt; chọn A

I.10

Số hạng đầu, công sai

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 10

Đạt; chọn D

I.11

Nhận biết cấp số nhân

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 11

Đạt; chọn C

I.12

Số hạng của cấp số nhân

Nhận biết

0,25

Phần I, Câu 12

Đạt; u5=243u_5=243, chọn B

II.1a

Tập giá trị của hàm côsin

Nhận biết

Theo bậc thang

Phần II, Câu 1a

Đạt; S

II.1b

Chu kì của hàm côsin

Nhận biết

Theo bậc thang

Phần II, Câu 1b

Đạt; Đ

II.1c

Tập xác định của hàm côsin

Nhận biết

Theo bậc thang

Phần II, Câu 1c

Đạt; S

II.1d

Tính đối xứng của đồ thị hàm côsin

Nhận biết

Theo bậc thang

Phần II, Câu 1d

Đạt; Đ

II.2a

Các số hạng từ kế hoạch đọc sách

Vận dụng

Theo bậc thang

Phần II, Câu 2a: các số hạng đầu

Đạt; Đ

II.2b

Công thức số trang theo ngày

Vận dụng

Theo bậc thang

Phần II, Câu 2b: công thức tổng quát

Đạt; S

II.2c

Ngày đầu đạt mục tiêu

Vận dụng

Theo bậc thang

Phần II, Câu 2c

Đạt; S

II.2d

Tổng số trang đọc

Vận dụng

Theo bậc thang

Phần II, Câu 2d

Đạt; Đ

III.1

Tính sin từ côsin và điều kiện góc

Thông hiểu

0,5

Phần III, Câu 1

Đạt; −0,8-0,8

III.2

Đếm thời điểm từ phương trình lượng giác

Vận dụng

0,5

Bài độ cao con sóng ở Phần III

Đạt; 48 thời điểm

III.3

Xác định chỉ số của số hạng

Thông hiểu

0,5

Phần III, bài dãy số phân thức

Đạt; n=38n=38

III.4

Tổng cấp số cộng trong xếp chậu hoa

Vận dụng

0,5

Phần III, Câu 4

Đạt; 60 hàng

IV.1a

Giá trị nhỏ nhất của hàm lượng giác

Thông hiểu

0,5

Phần IV, Câu 1a; cùng dạng cực trị đơn giản

Đạt; giá trị nhỏ nhất bằng −5-5

IV.1b

Giải phương trình lượng giác

Thông hiểu

0,5

Phần IV, Câu 1b

Đạt; đủ hai họ nghiệm

IV.2

Tính số hạng từ truy hồi bậc hai

Thông hiểu

1,0

Phần IV, Câu 2

Đạt; u7=730u_7=730

IV.3

Trả góp, tổng cấp số nhân

Vận dụng

1,0

Phần IV, Câu 3

Đạt; 15 492 00015\,492\,000 đồng sau làm tròn

Hai câu Phần II có tổng điểm tối đa 2,0 điểm: Câu 1 thuộc mức Nhận biết, tối đa 1,0 điểm; Câu 2 thuộc mức Vận dụng, tối đa 1,0 điểm.

D. So sánh tính tương đương giữa hai mã đề

Nhóm câu

Mã đề 101

Mã đề 102

Căn cứ tương đương

I.1–2

Đổi góc; nhận biết tọa độ ở góc phần tư II

Đổi góc; nhận biết tọa độ ở góc phần tư III

Cùng dùng góc đặc biệt và quy tắc dấu, không cần biến đổi dài

I.3–4

Côsin của tổng; tổng hai sin

Sin của hiệu; tổng hai côsin

Cùng nhận biết trực tiếp công thức trong phạm vi ôn tập

I.5–6

Hàm chẵn; tập xác định của côtang góc nhân đôi

Hàm lẻ; tập xác định của tang góc nhân ba

Cùng nhận biết tính chất và giải một điều kiện loại trừ

I.7–8

Phương trình côsin, tang

Phương trình côsin, côtang

Cùng áp dụng công thức nghiệm cơ bản tại góc đặc biệt

I.9–10

Dãy hữu hạn; cấp số cộng có công sai âm

Dãy hữu hạn; cấp số cộng có công sai dương

Cùng nhận biết số hạng cuối và lấy hiệu hai số hạng liên tiếp

I.11–12

Nhận biết cấp số nhân; tính 5⋅255\cdot2^5

Nhận biết cấp số nhân; tính 3⋅343\cdot3^4

Cùng số bước và mức tính toán cơ bản

II.1

Bốn tính chất của hàm sin

Bốn tính chất của hàm côsin

Cùng thứ tự: tập giá trị, chu kì, tập xác định, đồ thị

II.2

Kế hoạch đi bộ tăng đều

Kế hoạch đọc sách tăng đều

Cùng bốn yêu cầu: số hạng, công thức, ngưỡng mục tiêu, tổng

III.1

Biết sin, tìm côsin ở góc phần tư II

Biết côsin, tìm sin ở góc phần tư III

Cùng dùng hệ thức cơ bản và xác định dấu; kết quả thập phân hữu hạn

III.2

Độ cao 20 cm, chu kì 8 giây

Độ cao 30 cm, chu kì 10 giây

Cùng đưa về sin⁡u=12\sin u=\dfrac12, đếm hai họ nghiệm trên 240 giây

III.3

Phân thức theo nn, nghiệm n=39n=39

Phân thức theo nn, nghiệm n=38n=38

Cùng nhân chéo và giải phương trình bậc nhất

III.4

1275 cây, 50 hàng

1830 chậu hoa, 60 hàng

Cùng lập tổng 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n và chọn nghiệm nguyên dương

IV.1a

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức theo sin

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức theo côsin

Cùng sử dụng miền giá trị [−1;1][-1;1] và điều kiện đạt dấu bằng

IV.1b

Đưa về sin⁡x=12\sin x=\dfrac12

Đưa về cos⁡x=12\cos x=\dfrac12

Cùng một phép biến đổi tuyến tính, sau đó viết đủ nghiệm

IV.2

Truy hồi hệ số 33 và −2-2

Truy hồi hệ số 44 và −3-3

Cùng tính lần lượt năm số hạng u3u_3 đến u7u_7; không cần kỹ thuật mở rộng

IV.3

Vay 120 triệu đồng, lãi 1%1\%/tháng

Vay 180 triệu đồng, lãi 0,5%0,5\%/tháng

Cùng trả cuối tháng, cùng 12 kỳ, cùng tổng cấp số nhân và quy tắc làm tròn

Nhận xét về thời lượng: Hai mã đề có cùng số câu, số ý và số bước giải chính. Thời gian dự kiến cho mỗi đề: Phần I khoảng 15 phút, Phần II khoảng 15 phút, Phần III khoảng 20 phút, Phần IV khoảng 30 phút và khoảng 10 phút kiểm tra lại bài. Đây là ước lượng chuyên môn, chưa phải kết quả thử nghiệm thực tế trên học sinh.

BÁO CÁO KIỂM ĐỊNH CUỐI CÙNG

A. Kiểm tra cấu trúc và tổng điểm

Thành phần

Mã đề 101

Mã đề 102

Phần I

12 câu, mỗi câu 0,25 điểm; tổng 3,0 điểm

12 câu, mỗi câu 0,25 điểm; tổng 3,0 điểm

Phần II

2 câu, mỗi câu 4 ý; tối đa 2,0 điểm

2 câu, mỗi câu 4 ý; tối đa 2,0 điểm

Phần III

4 câu, mỗi câu 0,5 điểm; tổng 2,0 điểm

4 câu, mỗi câu 0,5 điểm; tổng 2,0 điểm

Phần IV

3 câu; điểm lần lượt 1,0; 1,0; 1,0

3 câu; điểm lần lượt 1,0; 1,0; 1,0

Tổng điểm

10,0 điểm

10,0 điểm

Trắc nghiệm

7,0 điểm, chiếm 70%

7,0 điểm, chiếm 70%

Tự luận

3,0 điểm, chiếm 30%

3,0 điểm, chiếm 30%

B. Kiểm tra tỉ lệ mức độ nhận thức

Mức độ

Các vị trí ở mỗi mã đề

Điểm tối đa

Tỉ lệ

Nhận biết

Toàn bộ Phần I; Phần II, Câu 1

3,0+1,0=4,03,0+1,0=4,0

40%

Thông hiểu

Phần III, Câu 1 và Câu 3; Phần IV, Câu 1a, Câu 1b và Câu 2

0,5+0,5+0,5+0,5+1,0=3,00,5+0,5+0,5+0,5+1,0=3,0

30%

Vận dụng

Phần II, Câu 2; Phần III, Câu 2 và Câu 4; Phần IV, Câu 3

1,0+0,5+0,5+1,0=3,01,0+0,5+0,5+1,0=3,0

30%

Tổng

10,0

100%

Các tỉ lệ trên tính theo điểm tối đa được thiết kế cho từng câu hoặc nhóm câu, không phải điểm riêng cho từng ý đúng/sai.

C. Kiểm tra phân bố nội dung theo ma trận

Đơn vị kiến thức

Vị trí câu ở mỗi đề

Điểm

Giá trị lượng giác của góc lượng giác

I.1–2; III.1

1,0

Công thức lượng giác

I.3–4

0,5

Hàm số lượng giác

I.5–6; II.1; IV.1a

2,0

Phương trình lượng giác cơ bản

I.7–8; III.2; IV.1b

1,5

Dãy số

I.9; III.3; IV.2

1,75

Cấp số cộng

I.10; II.2; III.4

1,75

Cấp số nhân

I.11–12; IV.3

1,5

Tổng

10,0

D. Kiểm chứng các kết quả cần lưu ý

1. Tính duy nhất của đáp án trắc nghiệm

Mỗi câu Phần I có đúng một phương án đúng. Đã phân biệt rõ công thức nghiệm đủ với công thức thiếu nghiệm hoặc thừa nghiệm; các phương án tập xác định không tương đương nhau.

Mã đề 101 có A, B, C, D xuất hiện đúng 3 lần mỗi phương án. Mã đề 102 cũng có A, B, C, D xuất hiện đúng 3 lần mỗi phương án. Không có ba câu liên tiếp cùng đáp án.

2. Điều kiện và điểm biên của bài toán lượng giác

Hai câu III.2 đều quy định khoảng thời gian đóng [0;240][0;240] giây. Ở cả hai đầu mút, độ cao bằng 0 nên không phát sinh trường hợp phải tính thêm hoặc loại một thời điểm đạt độ cao yêu cầu.

Mã đề 101 có hai họ thời điểm, mỗi họ 30 nghiệm; mã đề 102 có hai họ thời điểm, mỗi họ 24 nghiệm. Các họ trong từng đề không trùng nhau.

3. Kiểm tra độc lập dãy truy hồi

Mã đề 101 có các số hạng:

1; 3; 7; 15; 31; 63; 127.1;\ 3;\ 7;\ 15;\ 31;\ 63;\ 127.

Công thức un=2n−1u_n=2^n-1 thỏa mãn hai điều kiện đầu và hệ thức truy hồi, xác nhận u7=127u_7=127.

Mã đề 102 có các số hạng:

2; 4; 10; 28; 82; 244; 730.2;\ 4;\ 10;\ 28;\ 82;\ 244;\ 730.

Công thức un=3n−1+1u_n=3^{n-1}+1 thỏa mãn hai điều kiện đầu và hệ thức truy hồi, xác nhận u7=730u_7=730.

Học sinh không bắt buộc tìm các công thức tổng quát này; cách tính liên tiếp trong hướng dẫn chấm đã đủ giải quyết câu hỏi.

4. Kiểm tra phép tính tài chính

Với cả hai mã đề, khoản trả chính xác trước làm tròn là

a=Pq12(q−1)q12−1.a=\dfrac{Pq^{12}(q-1)}{q^{12}-1}.

Thay ngược vào biểu thức dư nợ:

B12=Pq12−aq12−1q−1=0.B_{12}=Pq^{12}-a\dfrac{q^{12}-1}{q-1}=0.

Do đó, công thức xác định khoản trả thỏa mãn đúng yêu cầu tất toán sau 12 lần.

Với 0≤n<120\leq n<12, công thức dư nợ tương ứng là

Bn=Pq12−qnq12−1>0.B_n=P\dfrac{q^{12}-q^n}{q^{12}-1}>0.

Như vậy, khoản vay chưa được trả hết trước lần thanh toán thứ 12.

Mã đề 101: 1,0112≈1,1268250301321,01^{12}\approx1,126825030132, suy ra a≈10 661 854,64a\approx10\,661\,854,64 đồng.

Mã đề 102: 1,00512≈1,0616778118641,005^{12}\approx1,061677811864, suy ra a≈15 491 957,35a\approx15\,491\,957,35 đồng.

Các kết quả 10 662 00010\,662\,000 đồng và 15 492 00015\,492\,000 đồng là giá trị báo cáo sau làm tròn đến hàng nghìn; điều kiện tất toán được kiểm tra bằng khoản trả chính xác trước làm tròn.

E. Ghi chú xử lý tài liệu nguồn

Về mức độ nhận thức: Mục III và một số ô trong Mục IV của D1 chưa hoàn toàn thống nhất với Mục V, đáng chú ý ở Phần II, Câu 2 và Phần IV, Câu 1b. Hai đề này ưu tiên Mục V theo yêu cầu trong prompt.md: toàn bộ Phần II, Câu 2 thuộc Vận dụng; Phần IV, Câu 1b thuộc Thông hiểu. Cách xác định này cho đúng tỉ lệ Nhận biết 40%, Thông hiểu 30%, Vận dụng 30%.

Về điểm đúng/sai: Các mức 0,1; 0,25; 0,5; 1,0 được hiểu là điểm của cả câu theo số ý xác định chính xác, không phải điểm riêng của các ý a), b), c), d).

Về đánh số câu: D2 có hai câu cùng ghi “Câu 3” ở Phần III. Hai đề mới đã đánh số thống nhất từ Câu 1 đến Câu 4.

Về dữ kiện đường tròn lượng giác: Hình H1 của D2 không ghi số đo cụ thể của góc, nên không dùng hình đó để suy đoán một góc chính xác. Hai đề mới cho trực tiếp số đo góc và yêu cầu nhận biết tọa độ điểm biểu diễn, vẫn kiểm tra đúng nội dung của vị trí I.2 mà không phụ thuộc vào việc ước lượng hình.

F. Kết luận kiểm định

Tiêu chí

Mã đề 101

Mã đề 102

Tổng điểm đúng 10,0

Đạt

Đạt

Đúng cấu trúc 12 câu nhiều lựa chọn, 2 câu đúng/sai, 4 câu trả lời ngắn, 3 câu tự luận

Đạt

Đạt

Trắc nghiệm 70%, tự luận 30%

Đạt

Đạt

Nhận biết 40%, Thông hiểu 30%, Vận dụng 30%

Đạt

Đạt

Đúng vị trí và mức độ theo Mục V của D1

Đạt

Đạt

Nội dung nằm trong hai chương của đề cương

Đạt

Đạt

Không đòi hỏi kỹ thuật ngoài phạm vi ôn tập

Đạt

Đạt

Mỗi câu nhiều lựa chọn có duy nhất một đáp án đúng

Đạt

Đạt

Khẳng định đúng/sai có giá trị chân lý xác định

Đạt

Đạt

Trả lời ngắn có kết quả số rõ ràng

Đạt

Đạt

Phương trình lượng giác đủ nghiệm, đúng chu kì

Đạt

Đạt

Bài toán tài chính rõ lãi suất, thời điểm trả và làm tròn

Đạt

Đạt

Hai đề khác dữ kiện, không chỉ đảo phương án

Đạt

Đạt

Tương đương về dạng toán và số bước giải chính

Đạt

Đạt

Kết luận: Hai mã đề đáp ứng cấu trúc, phân bố điểm, phạm vi ôn tập và mức độ nhận thức theo cách ưu tiên Mục V đã nêu. Không phát hiện lỗi toán học hoặc dữ kiện mơ hồ trong các câu đã biên soạn. Tính tương đương về độ khó được đánh giá trên nội dung và số bước giải; thời lượng thực tế cần được xác nhận thêm nếu nhà trường tổ chức thử nghiệm.

Đề cùng môn Toán, lớp 11

Xem tất cả

Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán 11 - Năm học 2026 – 2027

ToánLớp 11
Ttrang nguyen 6

Đề kiểm tra Toán 11 – Đề 1

ToánLớp 11
TThầy Hoàng Sơn 7

Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 11 – Kết nối tri thức – Có hướng dẫn chấm

ToánLớp 11
TToán 1 6

Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán 11 - Kết nối tri thức

ToánLớp 11
DDHai Nguyen 4

Đề kiểm tra Chuyên đề Cấp số cộng - Toán 11

ToánLớp 11
NNguyen Thanh Nhan 4

Chuyên đề Vận dụng cao: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm – Toán 11

ToánLớp 11
TTo Nguyen 2

Bộ 2 đề kiểm tra Giữa học kỳ I Toán 11 năm học 2026 - 2027

ToánLớp 11
HHoài Thương Thân Thị 0

Đề ôn tập Giữa học kì I - Môn Toán 11

ToánLớp 11
NNga Nguyễn 3

Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 11

ToánLớp 11
TTrần Thị Ngân Bình 1

Đề kiểm tra cuối chương Quan hệ song song – Toán 11

ToánLớp 11
ĐĐinh Mỹ Hạnh 2

Đề cương ôn tập kiểm tra định kỳ Toán 11 - Năm học 2026 - 2027

ToánLớp 11
Lliên trịnh 0

Đề kiểm tra Học kỳ I môn Toán lớp 11 (Nâng cao tính phân loại)

ToánLớp 11
LLinh Khánh 4