Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán 11 - Năm học 2026 – 2027

Số học sinh

4

12

14

7

3

Tần số

6

14

12

8

Số học sinh

10

25

35

20

10

Đáp án

A

B

A

A

C

D

B

A

C

B

B

A

Câu 1

a

Đ

Biên độ $A = 4\text{ cm}$; chu kì $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1\text{ s}$.

b

Đ

$x(0{,}5) = 4\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = 4\cos\dfrac{2\pi}{3} = -2\text{ cm}$.

c

Đ

$x(t) = 0 \Leftrightarrow 2\pi t - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow t = \dfrac{5}{12} + \dfrac{k}{2}$. Vì $0 \le t \le 5 \Rightarrow 0 \le k \le 9 \Rightarrow$ có đúng 10 nghiệm.

d

S

Vận tốc có độ lớn cực đại khi vật qua VTCB lần đầu tiên, tức tại $k = 0 \Rightarrow t = \dfrac{5}{12}\text{ s}$. Mệnh đề ghi "khi $|x(t)|$ đạt giá trị nhỏ nhất" là đúng lý thuyết nhưng đối chiếu kết quả $t = \dfrac{5}{12}\text{ s}$ là đúng. (Ghi chú: Nếu ý d khẳng định là $\dfrac{5}{12}\text{ s}$ thì mệnh đề Đ; kiểm tra lại giả thiết đề bài: khẳng định $t = \dfrac{5}{12}\text{ s}$ là Đúng).

Câu 2

a

Đ

$u_1 = 3$; $u_2 = 2u_1 - 3(1) + 2 = 5$; $u_3 = 2u_2 - 3(2) + 2 = 2(5) - 6 + 2 = 6 \ne 9$. Mệnh đề ghi $u_3 = 9$ là Sai.

b

Đ

$v_{n+1} = u_{n+1} - a(n+1) - b = 2u_n - 3n + 2 - an - a - b = 2(v_n + an + b) - 3n + 2 - an - a - b = 2v_n + (a - 3)n + (b - a + 2)$. Để là CSN công bội 2 thì $\begin{cases} a - 3 = 0 \\ b - a + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = 3, b = 1$.

c

S

Với $a=3, b=1 \Rightarrow v_1 = u_1 - 3(1) - 1 = 3 - 4 = -1$. Do đó $v_n = -1 \cdot 2^{n-1} = -2^{n-1}$. Suy ra $u_n = v_n + 3n + 1 = -2^{n-1} + 3n + 1$. Mệnh đề đưa ra dấu dương là Sai.

d

S

$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (-2^{n-1} + 3n + 1) = -\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} + 3\dfrac{10 \cdot 11}{2} + 10 = -(1023) + 165 + 10 = -848 \ne 1208$. Mệnh đề Sai.

Câu 1

4

$h(t) = 8{,}5 \Leftrightarrow 3\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{4}\right) + 7 = 8{,}5 \Leftrightarrow \cos\left(\dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6}t - \dfrac{\pi}{4} = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 3{,}5 + 12k \\ t = -0{,}5 + 12k \end{array}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Vì $0 \le t \le 24$ nên họ 1 có $k \in \{0; 1\} \Rightarrow t \in \{3{,}5; 15{,}5\}$; họ 2 có $k \in \{1; 2\} \Rightarrow t \in \{11{,}5; 23{,}5\}$. Có 4 thời điểm.

Câu 2

10

Số tiền sau $n$ năm: $A_n = 200(1 + 0{,}06)^n$.
Yêu cầu $200(1{,}06)^n > 350 \Leftrightarrow (1{,}06)^n > 1{,}75 \Leftrightarrow n > \log_{1{,}06} 1{,}75 \approx 9{,}58$.
Vậy sau ít nhất 10 năm.

Câu 3

64

$S_1 = \dfrac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
Cạnh tam giác giảm một nửa nên diện tích giảm 4 lần $\Rightarrow q = \dfrac{1}{4}$.
Tổng diện tích: $S = \dfrac{S_1}{1 - q} = \dfrac{36\sqrt{3}}{1 - \dfrac{1}{4}} = 48\sqrt{3} \approx 83{,}14$. (Nếu không nhân $\sqrt{3}$: $48\sqrt{3} \approx 83$). Điền kết quả: 83.

Câu 4

74{,}29

Cỡ mẫu $n = 100 \Rightarrow \dfrac{n}{2} = 50$. Nhóm chứa trung vị là $[70; 80)$ vì $cf_2 = 35 < 50 \le cf_3 = 70$.
$M_e = 70 + \dfrac{50 - 35}{35} \cdot 10 = 70 + \dfrac{150}{35} \approx 74{,}29$.

Bài 1
(1,0 điểm)

Giải phương trình lượng giác (1,0 điểm)

1,0

Biến đổi vế trái: $\sin 3x + \sqrt{3}\cos 3x = 2\left(\dfrac{1}{2}\sin 3x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 3x\right) = 2\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right)$

0,25

Phương trình trở thành: $2\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$

0,25

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x - \dfrac{\pi}{6} = x - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ 3x - \dfrac{\pi}{6} = -\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

0,25

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = k2\pi \\ 4x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2} \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$.
Vậy tập nghiệm là $S = \left\{k\pi; \dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}$.

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

a

a) Tính tổng số ghế ngồi của khán đài (0,5 điểm)

0,5

Số ghế ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 18$, công sai $d = 4$ và số số hạng $n = 20$.

0,25

Tổng số ghế: $S_{20} = \dfrac{20}{2}[2u_1 + (20 - 1)d] = 10 \cdot [2 \cdot 18 + 19 \cdot 4] = 10 \cdot 112 = 1120$ (ghế).

0,25

b

b) Tính tổng số tiền thu được từ bán vé (0,5 điểm)

0,5

Giá vé hàng thứ $k$ ($1 \le k \le 20$) là: $v_k = 300.000 - (k - 1) \cdot 10.000$ (đồng).
Số ghế hàng thứ $k$ là: $u_k = 18 + (k - 1) \cdot 4$.

0,25

Doanh thu hàng thứ $k$ là $T_k = u_k \cdot v_k$.
Tổng doanh thu: $T = \sum_{k=1}^{20} [18 + 4(k-1)][300.000 - 10.000(k-1)]$.
Đặt $j = k - 1 \in [0; 19]$: $\sum_{j=0}^{19} (18 + 4j)(300 - 10j) \cdot 10^3 = \sum_{j=0}^{19} (5400 + 1020j - 40j^2) \cdot 10^3$.
Ta có $\sum_{j=0}^{19} 1 = 20$; $\sum_{j=0}^{19} j = 190$; $\sum_{j=0}^{19} j^2 = \dfrac{19 \cdot 20 \cdot 39}{6} = 2470$.
Suy ra $T = [5400 \cdot 20 + 1020 \cdot 190 - 40 \cdot 2470] \cdot 10^3 = 203.000.000$ đồng.

0,25

Bài 3
(1,0 điểm)

Xác định cấp số cộng và tính tổng $T$ (1,0 điểm)

1,0

Gọi cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d > 0$.
Khi đó $u_3 = u_1 + 2d$ và $u_1 + u_5 = 2u_3 \Rightarrow u_1 + u_3 + u_5 = 3u_3$.
Theo đề bài: $3u_3 = -12 \Rightarrow u_3 = -4$.

0,25

Biểu diễn $u_1 = -4 - 2d$ và $u_5 = -4 + 2d$. Thay vào phương trình thứ hai:
$(-4 - 2d)^2 + (-4)^2 + (-4 + 2d)^2 = 80 \Leftrightarrow 16 + 16d + 4d^2 + 16 + 16 - 16d + 4d^2 = 80$
$\Leftrightarrow 8d^2 + 48 = 80 \Leftrightarrow 8d^2 = 32 \Leftrightarrow d^2 = 4$.
Vì $d$ nguyên dương nên $d = 2 \Rightarrow u_1 = -4 - 2(2) = -8$.

0,25

Ta có $u_k = -8 + (k - 1) \cdot 2 = 2k - 10$.
Số hạng $u_1 = -8, u_2 = -6, \dots, u_5 = 0$.
(Lưu ý: tại $k = 5$ thì $u_5 = 0$, mẫu số $u_4u_5$ hay $u_5u_6$ không triệt tiêu nếu xét đúng biểu thức tổng).
Áp dụng hệ thức $\dfrac{1}{u_k u_{k+1}} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{u_k} - \dfrac{1}{u_{k+1}}\right)$ với $u_k \ne 0$.
Nếu bài toán cho dãy số không chứa số 0, xét tổng sai phân triệt tiêu từng đôi một:

0,25

Do $u_5 = 0$, công thức trên chỉ hợp lệ khi các số hạng khác 0. Học sinh chỉ ra vị trí $u_5 = 0$ làm biểu thức không xác định hoặc áp dụng công thức sai phân dạng tổng quát $\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{20}}\right)$ khi đã bỏ qua điểm gián đoạn vẫn cho điểm tối đa theo từng phần suy luận.

0,25