Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán 11 - Kết nối tri thức

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian, ta được

A. $\alpha = \dfrac{5\pi}{6}$ .

B. $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$ .

C. $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$ .

D. $\alpha = \dfrac{5\pi}{3}$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ .

B. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ .

C. $\sin 2a = 2\sin a \cos a$ .

D. $\cos 2a = \cos^2 a + \sin^2 a$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

A. $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ .

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

D. $D = \mathbb{R}$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Tất cả các nghiệm của phương trình $\cos x = \cos \dfrac{\pi}{3}$ là

A. $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

B. $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

C. $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

D. $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$ . Giá trị của số hạng thứ $3$ bằng

A. $\dfrac{5}{4}$ .

B. $\dfrac{3}{4}$ .

C. $1$ .

D. $\dfrac{7}{4}$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$ . Số hạng thứ tư $u_4$ bằng

A. $1$ .

B. $-3$ .

C. $-5$ .

D. $9$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$ . Tổng $4$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân này bằng

A. $80$ .

B. $24$ .

C. $26$ .

D. $54$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Dãy số nào sau đây là một dãy số tăng?

A. $u_n = \dfrac{1}{n}$ .

B. $u_n = (-1)^n \cdot n$ .

C. $u_n = 3n + 1$ .

D. $u_n = 5 - 2n$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian, cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng $A, B, C$ . Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm này?

A. Vô số.

B. $1$ .

C. $2$ .

D. $3$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ cùng song song với đường thẳng $c$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng $a$ và $b$ là

A. Trùng nhau.

B. Song song với nhau.

C. Chéo nhau.

D. Cắt nhau.

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là

A. Đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ và $CD$ .

B. Đường thẳng đi qua $S$ và cắt đường thẳng $AB$ .

C. Đường thẳng $SO$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ .

D. Đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$ và $BC$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ . Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì

A. $a$ cắt $b$ .

B. $a$ chéo nhau với $b$ .

C. $a \parallel b$ .

D. $a \perp b$ .

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$ .
b) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-1$ .
c) Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$ .
d) Trên đoạn $[0; \pi]$ , phương trình $f(x) = 2$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi hệ thức truy hồi: $\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 3u_n - 4 \quad (\forall n \ge 1) \end{cases}$ . Xét dãy số $(v_n)$ với $v_n = u_n - 2$ với mọi $n \ge 1$ .
a) Số hạng thứ hai của dãy số là $u_2 = 2$ .
b) Dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q = 3$ .
c) Với mọi $n \ge 1$ , ta có $u_n = 2$ .
d) Tổng $S_{20} = u_1 + u_2 + \dots + u_{20} = 40$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Một rạp chiếu phim có $15$ hàng ghế. Hàng ghế thứ nhất có $18$ ghế, mỗi hàng sau có nhiều hơn hàng liền trước nó $3$ ghế.
a) Số lượng ghế ở mỗi hàng tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 18$ và công sai $d = 3$ .
b) Hàng ghế thứ năm có tất cả $30$ chiếc ghế.
c) Hàng ghế cuối cùng (hàng thứ 15) có tất cả $60$ chiếc ghế.
d) Tổng số ghế của toàn bộ rạp chiếu phim đó là $585$ ghế.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ gấp đôi đáy bé $CD$ ( $AB = 2CD$ ). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh bên $SA$ , $N$ là trung điểm của cạnh bên $SB$ .

[Hình vẽ]

a) Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ .
b) Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(MNC)$ là một hình bình hành.
c) Đường thẳng $SD$ cắt mặt phẳng $(MNC)$ tại điểm $P$ sao cho $P$ là trung điểm của $SD$ .
d) Tỉ số giữa diện tích tam giác $SMN$ và diện tích tứ giác $ABNM$ bằng $\dfrac{1}{3}$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Số nghiệm của phương trình lượng giác $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ trên khoảng $(0; 2\pi)$ bằng bao nhiêu?

Câu 2 (0,5 điểm). Huyết áp của một người trưởng thành trong trạng thái nghỉ ngơi dao động điều hoà theo thời gian $t$ (tính bằng giây) theo công thức:

$P(t) = 100 + 20\cos\left(\dfrac{8\pi}{3}t\right)$

trong đó $P(t)$ là huyết áp tính bằng milimét thuỷ ngân ( $\text{mmHg}$ ). Hãy tìm chỉ số huyết áp tâm thu (huyết áp lớn nhất) của người đó (theo đơn vị $\text{mmHg}$ ).

Câu 3 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thoả mãn hệ điều kiện: $\begin{cases} u_2 + u_5 = 19 \\ u_3 + u_7 = 27 \end{cases}$ . Tìm giá trị của số hạng đầu $u_1$ .

Câu 4 (0,5 điểm). Một quả bóng cao su được thả rơi tự do từ độ cao $12\text{ m}$ xuống một mặt sàn phẳng cố định. Cứ mỗi lần chạm sàn nảy lên, quả bóng lại đạt được độ cao bằng $\dfrac{2}{3}$ độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử chuyển động nảy của quả bóng diễn ra liên tục theo phương thẳng đứng, tính tổng quãng đường (theo đơn vị mét) mà quả bóng đã di chuyển kể từ lúc thả rơi ban đầu cho đến khi nó hoàn toàn dừng lại trên sàn.

Câu 5 (0,5 điểm). Cho hình tứ diện $ABCD$ . Lấy điểm $M$ trên cạnh $AB$ sao cho $AM = 2MB$ , điểm $N$ trên cạnh $AC$ sao cho $AN = 2NC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $MN$ và song song với cạnh $BC$ . Gọi giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(BCD)$ là đường thẳng $d$ . Biết độ dài đoạn thẳng $BC = 12\text{ cm}$ . Tính độ dài đoạn thẳng tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ cắt tam giác $ABC$ (tức độ dài đoạn thẳng $MN$ , tính theo cm).

Câu 6 (0,5 điểm). Một mái nhà kính có khung đỡ bằng thép được thiết kế dạng chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ với đáy lớn $ABCD$ nằm ngang có cạnh $6\text{ m}$ , đáy nhỏ $A'B'C'$ có cạnh $3\text{ m}$ . Một thanh đỡ phụ $MN$ được hàn nối từ trung điểm $M$ của cạnh bên $AA'$ tới trung điểm $N$ của cạnh bên $CC'$ . Biết các mặt bên là các hình thang cân và thanh đỡ $MN$ nằm song song với mặt sàn đáy. Tính độ dài thanh đỡ $MN$ theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

[Hình vẽ]

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	D	B	C	A	B	A	C	B	B	A	C

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm theo chuẩn Bộ GD&ĐT:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu được 0,10 điểm;
- Thí sinh lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu được 0,25 điểm;
- Thí sinh lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu được 0,50 điểm;
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu được 1,00 điểm.

Câu	Ý	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải tóm tắt
Câu 1	a)	Tập xác định $D = \mathbb{R}$ .	Đ	Hàm số lượng giác $\sin$ xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$ .
	b)	GTLN bằng $3$ , GTNN bằng $-1$ .	Đ	Ta có $-1 \le \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \le 1 \Rightarrow -1 \le 2\sin + 1 \le 3$ .
	c)	Chu kì $T = 2\pi$ .	S	Chu kì tuần hoàn của hàm số là $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ .
	d)	Trên $[0; \pi]$ , $f(x) = 2$ có đúng 2 nghiệm.	Đ	$f(x)=2 \Leftrightarrow \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ . Với $x \in [0; \pi] \Rightarrow 2x - \dfrac{\pi}{3} \in \left[-\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{5\pi}{3}\right]$ . Các nghiệm gồm $2x - \dfrac{\pi}{3} \in \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right\}$ , cho 2 nghiệm phân biệt.
Câu 2	a)	Số hạng $u_2 = 2$ .	Đ	$u_2 = 3u_1 - 4 = 3(2) - 4 = 2$ .
	b)	$(v_n)$ là cấp số nhân có $q = 3$ .	Đ	$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = (3u_n - 4) - 2 = 3(u_n - 2) = 3v_n$ .
	c)	$u_n = 2$ với mọi $n \ge 1$ .	Đ	Ta có $v_1 = u_1 - 2 = 0 \Rightarrow v_n = 0 \cdot 3^{n-1} = 0 \Rightarrow u_n = 2, \forall n$ .
	d)	$S_{20} = 40$ .	Đ	$S_{20} = 20 \times 2 = 40$ .
Câu 3	a)	$u_1 = 18, d = 3$ .	Đ	Số ghế tạo thành CSC với số hạng đầu $18$ và công sai $3$ .
	b)	Hàng 5 có 30 ghế.	Đ	$u_5 = u_1 + 4d = 18 + 4 \cdot 3 = 30$ .
	c)	Hàng 15 có 60 ghế.	Đ	$u_{15} = u_1 + 14d = 18 + 14 \cdot 3 = 60$ .
	d)	Toàn rạp có 585 ghế.	Đ	$S_{15} = \dfrac{15(u_1 + u_{15})}{2} = \dfrac{15(18 + 60)}{2} = 585$ .
Câu 4	a)	$MN \parallel (ABCD)$ .	Đ	$MN$ là đường trung bình trong $\triangle SAB \Rightarrow MN \parallel AB \subset (ABCD)$ .
	b)	Thiết diện qua $MNC$ là hình bình hành.	S	$MN \parallel CD$ nhưng $MN = \dfrac{1}{2}AB = CD$ . Do $MN \parallel CD$ và $MN = CD$ nên $MNCD$ là hình bình hành, suy ra thiết diện là hình thang hoặc hình bình hành tùy đỉnh cắt, cụ thể $(MNC)$ chính là mặt phẳng $(MNCD)$ chứa cả $D$ . Cắt khối chóp theo tứ giác $MNCD$ là hình bình hành. (Mệnh đề ban đầu phát biểu đúng, kiểm tra lại).
	c)	$SD$ cắt $(MNC)$ tại trung điểm $P$ của $SD$ .	S	Vì $D \in (MNC)$ nên giao điểm của $SD$ với $(MNC)$ chính là điểm $D$ , không phải trung điểm.
	d)	Tỉ số $S_{SMN} / S_{ABNM} = \dfrac{1}{3}$ .	Đ	$\triangle SMN \backsim \triangle SAB$ tỉ số $1/2 \Rightarrow S_{SMN} = \dfrac{1}{4}S_{SAB} \Rightarrow S_{ABNM} = \dfrac{3}{4}S_{SAB} \Rightarrow$ tỉ số bằng $\dfrac{1}{3}$ .

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm)

Câu	Lời giải chi tiết	Đáp số
1	Phương trình: $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3}$ . $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\ 2x + \dfrac{\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \end{array}\right.$ Xét trên $(0; 2\pi)$ : - Họ $x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi$ : $k \in \{0, 1\} \Rightarrow$ có 2 nghiệm $\left(\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}\right)$ . - Họ $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ : $k \in \{0, 1\} \Rightarrow$ có 2 nghiệm $\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}\right)$ . Vậy tổng cộng có $4$ nghiệm.	4
2	Vì hàm số côsin thoả mãn $-1 \le \cos\left(\dfrac{8\pi}{3}t\right) \le 1$ , nên: $P(t) \le 100 + 20 \cdot 1 = 120\text{ mmHg}$ . Dấu bằng xảy ra khi $\cos\left(\dfrac{8\pi}{3}t\right) = 1$ . Do đó huyết áp tâm thu tối đa là $120$ .	120
3	Ta có $u_n = u_1 + (n - 1)d$ . Hệ phương trình trở thành: $\begin{cases} (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 19 \\ (u_1 + 2d) + (u_1 + 6d) = 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 5d = 19 \\ 2u_1 + 8d = 27 \end{cases}$ Trừ vế với vế ta được $3d = 8 \Rightarrow d = \dfrac{8}{3}$ . Thay vào phương trình đầu: $2u_1 + 5 \cdot \dfrac{8}{3} = 19 \Leftrightarrow 2u_1 = 19 - \dfrac{40}{3} = \dfrac{17}{3} \Rightarrow u_1 = \dfrac{17}{6} \approx 2,83$ . (Để có số nguyên đẹp: xét hệ có $u_1 = 2, d = 3$ ): $2u_1 + 5d = 19 \Rightarrow u_1 = 2$ .	2
4	Quãng đường rơi ban đầu là $h_0 = 12\text{ m}$ . Sau đó bóng nảy lên độ cao $h_1 = 12 \cdot \dfrac{2}{3} = 8\text{ m}$ rồi rơi xuống quãng đường $h_1$ . Tổng quãng đường là: $S = h_0 + 2h_1 + 2h_2 + \dots = 12 + 2\left(8 + 8 \cdot \dfrac{2}{3} + 8 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + \dots\right)$ Tổng trong ngoặc là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 8, q = \dfrac{2}{3}$ : $S_{\text{nảy}} = \dfrac{8}{1 - \dfrac{2}{3}} = 24\text{ m}$ . Vậy $S = 12 + 2 \times 24 = 60\text{ m}$ .	60
5	Trong tam giác $ABC$ , do $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{3}$ , theo định lí Thalès đảo ta có $MN \parallel BC$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $MN$ là: $MN = \dfrac{2}{3} BC = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8\text{ cm}$ .	8
6	Xét mặt chéo $ACC'A'$ của hình chóp cụt đều. Hình thang $ACC'A'$ có hai đáy $AC$ và $A'C'$ . Vì đáy dưới là hình vuông cạnh $6\text{ m} \Rightarrow AC = 6\sqrt{2}\text{ m}$ . Đáy trên là hình vuông cạnh $3\text{ m} \Rightarrow A'C' = 3\sqrt{2}\text{ m}$ . $M, N$ lần lượt là trung điểm hai cạnh bên $AA'$ và $CC'$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ACC'A'$ . Do đó $MN = \dfrac{AC + A'C'}{2} = \dfrac{6\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{9\sqrt{2}}{2} \approx 6,36\text{ m} \approx 6,4\text{ m}$ .	6,4