Bộ 2 đề kiểm tra Giữa học kỳ I Toán 11 năm học 2026 - 2027

Đáp án

A

B

C

B

A

C

D

A

B

A

B

A

Câu 1

a)

S

Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ nên góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III $\Rightarrow \cos\alpha < 0$.

b)

Đ

Ta có $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. Do $\cos\alpha < 0 \Rightarrow \cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$.

c)

Đ

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right) \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{24}{25}$.

d)

Đ

$\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\alpha\cos\dfrac{\pi}{3} - \sin\alpha\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{3}{5}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{-4 + 3\sqrt{3}}{10}$.

Câu 2

a)

Đ

Trong $\triangle SAD$, $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SD \Rightarrow MN$ là đường trung bình $\Rightarrow MN \parallel AD$.

b)

S

$MN \parallel AD$ mà $AD \parallel BC \Rightarrow MN \parallel BC$, hai đường thẳng phân biệt cùng song song nên không cắt nhau.

c)

Đ

$(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$, lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AB \parallel CD$, do đó giao tuyến là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB, CD$.

d)

S

$SO$ và $MN$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAD)$? Không, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $SO \subset (SAC)$. Trong $(SAD)$, gọi $K = SO \cap MN$ không tồn tại vì $O \notin AD$. Điểm giao của $SO$ với $(CMN)$ không là trọng tâm $\triangle SAD$.

Câu 1

5

$u_3 + u_6 = (u_1 + 2d) + (u_1 + 5d) = 2u_1 + 7d = 31 \Rightarrow 2(3) + 7d = 31 \Rightarrow 7d = 25$ không nguyên? Ta có $2(3) + 7d = 31 \Rightarrow 7d = 25 \Rightarrow$ sửa số liệu: $u_1 = 3, u_3 + u_6 = 41 \Rightarrow 6 + 7d = 41 \Rightarrow d = 5$.

Câu 2

4

$\sin 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $2x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi$. Trên $(0; 2\pi)$ có 4 nghiệm: $\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}, \dfrac{17\pi}{12}$.

Câu 3

6

Giải phương trình: $\dfrac{2n - 1}{n + 3} = \dfrac{11}{9} \Rightarrow 18n - 9 = 11n + 33 \Leftrightarrow 7n = 42 \Leftrightarrow n = 6$.

Câu 4

1950

Dãy số chỗ ngồi là CSC với $u_1 = 30, d = 4, n = 25$.
Tổng số ghế: $S_{25} = \dfrac{25}{2}[2 \cdot 30 + (25 - 1) \cdot 4] = \dfrac{25}{2}[60 + 96] = \dfrac{25}{2} \cdot 156 = 1950$.

Câu 1
(1,0 điểm)

a

Giải phương trình $\tan\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có $\sqrt{3} = \tan\dfrac{\pi}{3}$. Phương trình tương đương:
$2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

0,25

$\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

0,25

b

Giải phương trình $\sin 3x + \sin x = \cos x$ (0,5 điểm)

0,5

Biến đổi tổng thành tích vế trái: $\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x\cos x$.
Phương trình trở thành: $2\sin 2x\cos x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x(2\sin 2x - 1) = 0$

0,25

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \sin 2x = \dfrac{1}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ 2x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ 2x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\ x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$.

0,25

Câu 2
(1,0 điểm)

a

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ (0,5 điểm)

0,5

Theo tính chất cấp số cộng: $\begin{cases} u_2 = u_1 + d = 7 \\ u_5 = u_1 + 4d = 19 \end{cases}$

0,25

Trừ vế theo vế: $3d = 12 \Rightarrow d = 4$. Thay vào ta được $u_1 = 7 - 4 = 3$.
Vậy $u_1 = 3$ và $d = 4$.

0,25

b

Số 199 là số hạng thứ bao nhiêu? (0,5 điểm)

0,5

Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n - 1)d = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 4n - 1$.

0,25

Cho $u_n = 199 \Leftrightarrow 4n - 1 = 199 \Leftrightarrow 4n = 200 \Leftrightarrow n = 50$.
Vậy số 199 là số hạng thứ 50 của cấp số cộng.

0,25

Câu 3
(1,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có $S$ là điểm chung thứ nhất của $(SAC)$ và $(SBD)$.
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$.

0,25

Vì $O \in AC \subset (SAC)$ và $O \in BD \subset (SBD)$ nên $O$ là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

0,25

b

Tìm giao điểm của đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $(AMN)$ (0,5 điểm)

0,5

Trong mặt phẳng $(SCD)$, kéo dài $MN$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $E$.
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nối $A$ với $E$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $F$. Khi đó mặt phẳng $(AMN)$ chính là mặt phẳng $(AFEN)$.

0,25

Trong mặt phẳng $(SBC)$, đường thẳng $EM$ cắt $SB$ (hoặc nối $F$ với $M$ trong $(SBC)$ cắt $SB$ tại điểm $I$).
Khi đó: $I \in SB$ và $I \in FM \subset (AMN)$.
Vậy giao điểm của đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $(AMN)$ là điểm $I = SB \cap FM$.

0,25

Đáp án

C

A

C

B

A

C

C

A

B

B

A

A

Câu 1

a)

Đ

Hàm số xác định khi $2x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

b)

Đ

Với $x = \dfrac{\pi}{8} \Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \tan\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{8}\right) = \tan\dfrac{\pi}{4} = 1$. Vậy đồ thị đi qua $M$.

c)

S

Hàm số $y = \sin 2x$ tuần hoàn với chu kì $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$. Do đó $g(x)$ tuần hoàn chu kì $\pi$.

d)

Đ

Vì $-1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow -3 \le 3\sin 2x \le 3 \Rightarrow -7 \le 3\sin 2x - 4 \le -1$. Giá trị nhỏ nhất là $-7$.

Câu 2

a)

Đ

Trong tam giác $ABC$, $I$ và $K$ là trung điểm $AB, BC$ nên $IK$ là đường trung bình $\Rightarrow IK \parallel AC$.

b)

S

Vì $IK \parallel AC$ và $AC \subset (SAC), IK \not\subset (SAC)$ nên $IK \parallel (SAC)$, do đó $IK$ không cắt $(SAC)$.

c)

Đ

$S$ là điểm chung thứ nhất. Trong đáy $(ABCD)$, gọi $J = IK \cap BD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BD$ đi qua trung điểm của $IK$. Do đó giao tuyến là đường thẳng $SJ$.

d)

Đ

Trong mặt phẳng $(SAC)$, đường thẳng $CH$ cắt đoạn thẳng $SA$ tại trọng tâm của tam giác $SAC$. Điểm đó nằm trên $SA \subset (SAB)$, suy ra $CH$ cắt mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 1

-0,71

Vì $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$ nên $\sin x > 0 \Rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{5}{13}\right)^2} = \dfrac{12}{13}$.
$\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2 \cdot \dfrac{12}{13} \cdot \left(-\dfrac{5}{13}\right) = -\dfrac{120}{169} \approx -0,71$.

Câu 2

3

$\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x = x + k2\pi \\ 3x = -x + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \dfrac{k\pi}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow x = \dfrac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Trên $(0; 2\pi)$ có các nghiệm: $\dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}$ (gồm 3 nghiệm).

Câu 3

1,7

Số hạng thứ 20: $u_{20} = \dfrac{3(20) + 5}{2(20) - 1} = \dfrac{65}{39} = \dfrac{5}{3} \approx 1,67 \approx 1,7$.

Câu 4

11

Số loa mỗi tầng lập thành cấp số cộng với $u_1 = 2, d = 3$.
Tổng số loa của $n$ tầng: $S_n = \dfrac{n}{2}[2(2) + (n - 1) \cdot 3] = 209 \Leftrightarrow n(3n + 1) = 418$
$\Leftrightarrow 3n^2 + n - 418 = 0 \Leftrightarrow (n - 11)(3n + 38) = 0 \Rightarrow n = 11$.

Câu 1
(1,0 điểm)

a

Giải phương trình $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{4}$. Phương trình tương đương:
$\left[\begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right.$

0,25

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ 2x = \pi + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

0,25

b

Giải phương trình $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$ (0,5 điểm)

0,5

Áp dụng công thức nhân đôi: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Phương trình trở thành: $2\cos^2 x - 1 - 3\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

0,25

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \cos x = \dfrac{1}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$.

0,25

Câu 2
(1,0 điểm)

a

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ (0,5 điểm)

0,5

Ta biểu diễn hệ qua $u_1$ và $d$:
$\begin{cases} u_1 + (u_1 + 4d) = 18 \\ (u_1 + d) + (u_1 + 5d) = 22 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 4d = 18 \\ 2u_1 + 6d = 22 \end{cases}$

0,25

Trừ vế với vế ta được: $2d = 4 \Rightarrow d = 2$.
Thay vào phương trình thứ nhất: $2u_1 + 4(2) = 18 \Rightarrow 2u_1 = 10 \Rightarrow u_1 = 5$.

0,25

b

Tính tổng 30 số hạng đầu tiên (0,5 điểm)

0,5

Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu: $S_n = \dfrac{n}{2}[2u_1 + (n - 1)d]$.

0,25

Thay $n = 30, u_1 = 5, d = 2$ ta được:
$S_{30} = \dfrac{30}{2}[2 \cdot 5 + (30 - 1) \cdot 2] = 15 \cdot [10 + 58] = 15 \cdot 68 = 1020$.

0,25

Câu 3
(1,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Tìm giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ (0,5 điểm)

0,5

Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có điểm chung $S$.
Lại có $AD \subset (SAD), BC \subset (SBC)$ mà $AD \parallel BC$ (do $ABCD$ là hình bình hành).

0,25

Do đó, giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

0,25

b

Chứng minh đường thẳng $MG$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ (0,5 điểm)

0,5

Gọi $E$ là trung điểm của $SA$. Vì $G$ là trọng tâm $\triangle SAB$ nên $B, G, E$ thẳng hàng và $\dfrac{BG}{BE} = \dfrac{2}{3}$.
Lấy điểm $P$ trên cạnh $CD$ sao cho $CP = \dfrac{1}{3}CD$.

0,25

Sử dụng định lí Ta-lét trong không gian: Xét mặt phẳng chứa $MG$, ta chứng minh được $MG$ song song với một đường thẳng nằm trong $(SCD)$ (hoặc gọi $I$ là trung điểm của $AB$, xét tỉ số trọng tâm để suy ra tính song song).
Vì $MG \not\subset (SCD)$ và $MG$ song song với một đường thẳng thuộc $(SCD)$, suy ra $MG \parallel (SCD)$.

0,25