Chuyên đề Vận dụng cao: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm – Toán 11

Tần số

$8$

$x$

$18$

$y$

$6$

Số thiết bị

$12$

$28$

$a$

$24$

$16$

Tổ $A$ (người)

$5$

$15$

$20$

$8$

$2$

Tổ $B$ (người)

$2$

$10$

$24$

$12$

$2$

Số học sinh

$4$

$m$

$14$

$k$

$2$

Số chi nhánh

$6$

$u$

$16$

$v$

$4$

Số nhân viên

$14$

$26$

$30$

$18$

$12$

Số khách hàng

$15$

$35$

$p$

$25$

$10$

Số ô tô

$20$

$45$

$25$

$10$

Số lượng bò

$10$

$22$

$28$

$14$

$6$

Số điểm quan trắc

$15$

$m$

$n$

$18$

$7$

Bài 1
(1,0 điểm)

a

Xác định các tần số $x$ và $y$ (0,5 điểm)

0,5

Tổng số tụ điện là $60$, do đó: $8 + x + 18 + y + 6 = 60 \iff x + y = 28$ (1).

0,25

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $11; 13; 15; 17; 19$.
Số trung bình: $\overline{x} = \dfrac{8 \cdot 11 + 13x + 18 \cdot 15 + 17y + 6 \cdot 19}{60} = 15,1$
$\iff 13x + 17y + 472 = 906 \iff 13x + 17y = 434$ (2).
Từ (1) và (2), giải hệ phương trình ta được $x = 10, y = 18$.

0,25

b

Tìm trung vị và tứ phân vị thứ nhất (0,5 điểm)

0,5

Cỡ mẫu $n = 60$. Tần số tích lũy: $cf_1 = 8, cf_2 = 18, cf_3 = 36, cf_4 = 54, cf_5 = 60$.
Vị trí $\dfrac{n}{2} = 30$, do đó nhóm chứa trung vị là $[14; 16)$.
Trung vị: $M_e = 14 + \dfrac{30 - 18}{18} \cdot (16 - 14) = 14 + \dfrac{12}{18} \cdot 2 = 14 + \dfrac{4}{3} \approx 15,33$ ms.

0,25

Vị trí $\dfrac{n}{4} = 15$, do đó nhóm chứa $Q_1$ là $[12; 14)$.
Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1 = 12 + \dfrac{15 - 8}{10} \cdot (14 - 12) = 12 + \dfrac{7}{10} \cdot 2 = 13,4$ ms.

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

a

Tìm giá trị của $a$ (0,5 điểm)

0,5

Nhóm chứa mốt là $[10; 12)$, độ dài $h = 2$.
Tần số các nhóm: $m_2 = 28$ (trước nhóm mốt), $m_3 = a$ (nhóm mốt), $m_4 = 24$ (sau nhóm mốt).
Áp dụng công thức mốt: $M_o = 10 + \dfrac{a - 28}{(a - 28) + (a - 24)} \cdot 2 = 10,8$.

0,25

$\iff \dfrac{a - 28}{2a - 52} \cdot 2 = 0,8 \iff \dfrac{a - 28}{2a - 52} = 0,4$
$\iff a - 28 = 0,8a - 20,8 \iff 0,2a = 7,2 \iff a = 36$.

0,25

b

Xác định khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ (0,5 điểm)

0,5

Với $a = 36$, cỡ mẫu $n = 12 + 28 + 36 + 24 + 16 = 116$.
Tần số tích lũy: $12; 40; 76; 100; 116$.
$\dfrac{n}{4} = 29 \implies Q_1 \in [8; 10)$: $Q_1 = 8 + \dfrac{29 - 12}{28} \cdot 2 = 8 + \dfrac{17}{14} \approx 9,21$ giờ.

0,25

$\dfrac{3n}{4} = 87 \implies Q_3 \in [12; 14)$: $Q_3 = 12 + \dfrac{87 - 76}{24} \cdot 2 = 12 + \dfrac{11}{12} \approx 12,92$ giờ.
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 12,92 - 9,21 = 3,71$ giờ (hoặc $\dfrac{78}{21} \approx 3,707$).

0,25

Bài 3
(1,0 điểm)

a

Tính số trung bình và trung vị của hai tổ (0,5 điểm)

0,5

Giá trị đại diện các nhóm: $22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5$. Cả 2 tổ đều có $n = 50$ công nhân.
Tổ $A$: $\overline{x}_A = \dfrac{5 \cdot 22,5 + 15 \cdot 27,5 + 20 \cdot 32,5 + 8 \cdot 37,5 + 2 \cdot 42,5}{50} = \dfrac{1560}{50} = 31,2$ sản phẩm.
Tổ $B$: $\overline{x}_B = \dfrac{2 \cdot 22,5 + 10 \cdot 27,5 + 24 \cdot 32,5 + 12 \cdot 37,5 + 2 \cdot 42,5}{50} = \dfrac{1635}{50} = 32,7$ sản phẩm.

0,25

Nhóm chứa trung vị của cả hai tổ là $[30; 35)$ (vì $\dfrac{n}{2} = 25$).
Tổ $A$: $M_{e(A)} = 30 + \dfrac{25 - 20}{20} \cdot 5 = 31,25$ sản phẩm.
Tổ $B$: $M_{e(B)} = 30 + \dfrac{25 - 12}{24} \cdot 5 = 30 + \dfrac{65}{24} \approx 32,71$ sản phẩm.

0,25

b

Nhận xét và so sánh năng suất hai tổ (0,5 điểm)

0,5

So sánh: Cả số trung bình và trung vị của tổ $B$ đều lớn hơn tổ $A$ ($\overline{x}_B > \overline{x}_A$ và $M_{e(B)} > M_{e(A)}$), chứng tỏ mặt bằng năng suất của tổ $B$ cao hơn tổ $A$.

0,25

Do $M_{e(B)} \approx 32,71$ sản phẩm và $M_{e(A)} = 31,25$ sản phẩm đều nhỏ hơn $33$, nên cả hai tổ đều chưa đạt điều kiện có ít nhất $50\%$ công nhân đạt năng suất từ $33$ sản phẩm trở lên (chỉ có hơn $50\%$ đạt mức từ trung vị trở lên).

0,25

Bài 4
(1,0 điểm)

a

Tìm các giá trị $m$ và $k$ (0,5 điểm)

0,5

Tổng số học sinh $n = 40 \iff 4 + m + 14 + k + 2 = 40 \iff m + k = 20$ (1).
Vì $Q_1 = 18 \in [15; 20)$, nhóm chứa $Q_1$ là $[15; 20)$.

0,25

Ta có: $\dfrac{n}{4} = 10$. Áp dụng công thức: $Q_1 = 15 + \dfrac{10 - 4}{m} \cdot 5 = 18$
$\iff \dfrac{30}{m} = 3 \iff m = 10$.
Thay vào (1) suy ra: $k = 20 - 10 = 10$.

0,25

b

Tìm $Q_3$ và ước lượng số học sinh (0,5 điểm)

0,5

Ta có $\dfrac{3n}{4} = 30$. Tần số tích lũy: $cf_1 = 4, cf_2 = 14, cf_3 = 28, cf_4 = 38$.
Do đó $Q_3$ thuộc nhóm $[25; 30)$.
$Q_3 = 25 + \dfrac{30 - 28}{10} \cdot 5 = 25 + 1 = 26$ phút.

0,25

Khoảng thời gian từ $18$ phút đến $26$ phút chính là khoảng từ $Q_1$ đến $Q_3$.
Theo định nghĩa và tính chất của các tứ phân vị, số học sinh có thời gian giải nằm trong khoảng này ước lượng bằng $50\%$ tổng số học sinh, tức là khoảng $40 \cdot 50\% = 20$ học sinh.

0,25

Bài 5
(1,0 điểm)

a

Tìm các giá trị $u$ và $v$ (0,5 điểm)

0,5

Tổng số chi nhánh là $50 \implies 6 + u + 16 + v + 4 = 50 \iff u + v = 24$ (1).
Vị trí trung vị là $\dfrac{n}{2} = 25$. Trung vị $M_e = 34,375 \in [30; 40)$, do đó tần số tích lũy trước nhóm trung vị là $6 + u$.

0,25

Công thức: $M_e = 30 + \dfrac{25 - (6 + u)}{16} \cdot 10 = 34,375$
$\iff \dfrac{19 - u}{16} \cdot 10 = 4,375 \iff 19 - u = 7 \iff u = 12$.
Từ (1) suy ra: $v = 24 - 12 = 12$.

0,25

b

Xác định mức doanh số tối thiểu nhận thưởng loại A (0,5 điểm)

0,5

Nhóm $25\%$ chi nhánh có doanh số cao nhất ứng với các chi nhánh có doanh số từ tứ phân vị thứ ba $Q_3$ trở lên.
Ta có $\dfrac{3n}{4} = 37,5$. Tần số tích lũy: $6; 18; 34; 46; 50$.
Nhóm chứa $Q_3$ là $[40; 50)$ vì $34 < 37,5 \le 46$.

0,25

Tứ phân vị thứ ba: $Q_3 = 40 + \dfrac{37,5 - 34}{12} \cdot 10 = 40 + \dfrac{3,5}{12} \cdot 10 = 40 + 2,92 = 42,92$ triệu đồng.
Vậy chi nhánh cần đạt doanh số tối thiểu khoảng $42,92$ triệu đồng để nhận thưởng loại A.

0,25

Bài 6
(1,0 điểm)

a

Tính số trung bình, trung vị và mốt (0,5 điểm)

0,5

Cỡ mẫu $n = 14 + 26 + 30 + 18 + 12 = 100$. Giá trị đại diện các nhóm: $10; 14; 18; 22; 26$.
Số trung bình: $\overline{x} = \dfrac{14 \cdot 10 + 26 \cdot 14 + 30 \cdot 18 + 18 \cdot 22 + 12 \cdot 26}{100} = \dfrac{1752}{100} = 17,52$ triệu đồng.

0,25

Trung vị: $\dfrac{n}{2} = 50$, nhóm chứa $M_e$ là $[16; 20)$.
$M_e = 16 + \dfrac{50 - 40}{30} \cdot 4 = 16 + \dfrac{4}{3} \approx 17,33$ triệu đồng.
Mốt: Nhóm chứa mốt là $[16; 20)$.
$M_o = 16 + \dfrac{30 - 26}{(30 - 26) + (30 - 18)} \cdot 4 = 16 + \dfrac{4}{4 + 12} \cdot 4 = 17$ triệu đồng.

0,25

b

Đánh giá hình dạng phân bố và ý nghĩa thực tế (0,5 điểm)

0,5

Ta có mối quan hệ: $M_o (17) < M_e (17,33) < \overline{x} (17,52)$.
Do $\overline{x} > M_e > M_o$, phân bố mức lương của công ty có xu hướng lệch phải (lệch dương).

0,25

Ý nghĩa thực tế: Phần lớn nhân viên công ty có mức lương ở mức trung bình và thấp (quanh giá trị mốt $17$ triệu), trong khi có một số lượng nhỏ nhân viên/quản lý có mức lương rất cao kéo giá trị trung bình lên phía trên.

0,25

Bài 7
(1,0 điểm)

a

Tìm giá trị nguyên của $p$ để trung vị thuộc nhóm $[34; 42)$ (0,5 điểm)

0,5

Tổng cỡ mẫu là $n = 15 + 35 + p + 25 + 10 = p + 85$.
Tần số tích lũy của 2 nhóm đầu là: $cf_2 = 15 + 35 = 50$.
Tần số tích lũy đến nhóm thứ ba là: $cf_3 = 50 + p$.

0,25

Để trung vị rơi vào nhóm thứ ba $[34; 42)$, điều kiện là:
$cf_2 < \dfrac{n}{2} \le cf_3 \iff 50 < \dfrac{p + 85}{2} \le 50 + p$
$\iff \begin{cases} p + 85 > 100 \\ p + 85 \le 100 + 2p \end{cases} \iff \begin{cases} p > 15 \\ p \ge -15 \end{cases} \iff p > 15$.
Vậy với mọi số nguyên $p \ge 16$, trung vị đều thuộc nhóm $[34; 42)$.

0,25

b

Xác định độ tuổi thấp nhất của nhóm khách hàng theo $Q_3$ (0,5 điểm)

0,5

Khi $p = 40$, cỡ mẫu $n = 40 + 85 = 125$.
Vị trí tứ phân vị thứ ba là $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \cdot 125}{4} = 93,75$.
Tần số tích lũy: $cf_1 = 15, cf_2 = 50, cf_3 = 90, cf_4 = 115, cf_5 = 125$.
Vì $90 < 93,75 \le 115$ nên nhóm chứa $Q_3$ là nhóm $[42; 50)$.

0,25

Tứ phân vị thứ ba:
$Q_3 = 42 + \dfrac{93,75 - 90}{25} \cdot (50 - 42) = 42 + \dfrac{3,75}{25} \cdot 8 = 42 + 1,2 = 43,2$ tuổi.
Vậy độ tuổi thấp nhất của nhóm $25\%$ khách hàng lớn tuổi nhất là $43,2$ tuổi.

0,25

Bài 8
(1,0 điểm)

a

Tính vận tốc trung bình và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ (0,5 điểm)

0,5

Cỡ mẫu $n = 20 + 45 + 25 + 10 = 100$ ô tô. Giá trị đại diện các nhóm: $45; 55; 65; 75$.
Vận tốc trung bình: $\overline{x} = \dfrac{20 \cdot 45 + 45 \cdot 55 + 25 \cdot 65 + 10 \cdot 75}{100} = \dfrac{5750}{100} = 57,5$ km/h.

0,25

$\dfrac{3n}{4} = 75$. Tần số tích lũy: $cf_1 = 20, cf_2 = 65, cf_3 = 90, cf_4 = 100$.
Nhóm chứa $Q_3$ là $[60; 70)$.
$Q_3 = 60 + \dfrac{75 - 65}{25} \cdot 10 = 60 + 4 = 64$ km/h.

0,25

b

Đánh giá tỉ lệ phương tiện vi phạm tốc độ (0,5 điểm)

0,5

Số ô tô có vận tốc từ $60$ km/h trở lên thuộc hai nhóm $[60; 70)$ và $[70; 80)$.
Số ô tô vượt quá tốc độ quy định là: $25 + 10 = 35$ xe.

0,25

Tỉ lệ xe vi phạm là: $\dfrac{35}{100} = 35\%$.
Vì $35\% > 30\%$, nên kết luận có quá $30\%$ số phương tiện vi phạm vượt tốc độ quy định trên đoạn đường này.

0,25

Bài 9
(1,0 điểm)

a

Tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ (0,5 điểm)

0,5

Cỡ mẫu $n = 80$. Tần số tích lũy: $10; 32; 60; 74; 80$.
Vị trí $\dfrac{n}{4} = 20 \implies Q_1 \in [16; 20)$:
$Q_1 = 16 + \dfrac{20 - 10}{22} \cdot 4 = 16 + \dfrac{20}{11} \approx 17,82$ lít.

0,25

Vị trí $\dfrac{3n}{4} = 60 \implies Q_3$ là mút trên của nhóm $[20; 24)$, tức $Q_3 = 24$ lít.
(hoặc theo công thức nhóm $[20; 24)$: $Q_3 = 20 + \dfrac{60 - 32}{28} \cdot 4 = 24$).
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 24 - 17,82 = 6,18$ lít.

0,25

b

Tính số trung bình và trung vị của mẫu số liệu mới (0,5 điểm)

0,5

Tính trung bình và trung vị của mẫu ban đầu:
Giá trị đại diện: $14; 18; 22; 26; 30$.
$\overline{x} = \dfrac{10 \cdot 14 + 22 \cdot 18 + 28 \cdot 22 + 14 \cdot 26 + 6 \cdot 30}{80} = \dfrac{1696}{80} = 21,2$ lít.
$\dfrac{n}{2} = 40 \implies M_e = 20 + \dfrac{40 - 32}{28} \cdot 4 = 20 + \dfrac{8}{7} \approx 21,14$ lít.

0,25

Khi mỗi giá trị dữ liệu đều nhân với hệ số $k = 1 + 10\% = 1,1$, theo tính chất tuyến tính của số đo xu thế trung tâm:
Số trung bình mới: $\overline{x}_{\text{mới}} = 1,1 \cdot \overline{x} = 1,1 \cdot 21,2 = 23,32$ lít.
Trung vị mới: $M_{e(\text{mới})} = 1,1 \cdot M_e \approx 1,1 \cdot 21,14 \approx 23,25$ lít.

0,25

Bài 10
(1,0 điểm)

a

Tìm $m$ và $n$ (0,5 điểm)

0,5

Cỡ mẫu $n = 100 \implies 15 + m + n + 18 + 7 = 100 \iff m + n = 60$ (1).
Giá trị đại diện các nhóm là: $30; 50; 70; 90; 110$.

0,25

Số trung bình: $\overline{x} = \dfrac{15 \cdot 30 + 50m + 70n + 18 \cdot 90 + 7 \cdot 110}{100} = 62,4$
$\iff 50m + 70n + 2840 = 6240 \iff 5m + 7n = 340$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $m = 40, n = 20$.

0,25

b

Tính giá trị mốt và kết luận nồng độ cảnh báo (0,5 điểm)

0,5

Với $m = 40, n = 20$, nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $[40; 60)$ với tần số $40$.
Nhóm trước mốt có tần số $15$, nhóm sau mốt có tần số $20$. Độ dài nhóm $h = 20$.
$M_o = 40 + \dfrac{40 - 15}{(40 - 15) + (40 - 20)} \cdot 20 = 40 + \dfrac{25}{25 + 20} \cdot 20 = 40 + \dfrac{25}{45} \cdot 20 = 40 + \dfrac{100}{9} \approx 51,11\ \mu\text{g/m}^3$.

0,25

Kết luận: Mức nồng độ cảnh báo cần khuyến cáo người dân hạn chế hoạt động thể dục ngoài trời là khi nồng độ $\text{PM}_{2.5}$ vượt ngưỡng xấp xỉ $51,11\ \mu\text{g/m}^3$.

0,25

TỔNG ĐIỂM

10,0