Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 11

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian.

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 3 (0,25 điểm). Công thức nào sau đây là công thức nhân đôi đúng?

Câu 4 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Tập giá trị của hàm số $y = 3\cos x - 2$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$. Giá trị của số hạng $u_3$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Trong các dãy số $(u_n)$ dưới đây, dãy số nào là dãy số giảm?

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$. Số hạng thứ hai $u_2$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -2$ và công sai $d = 3$. Công thức số hạng tổng quát $u_n$ là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = -3$. Số hạng thứ ba $u_3$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 5$, $q = 2$. Tổng $S_5$ của $5$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = \cos 2x - 4\sin x + 2$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
b) Hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$.
c) Hàm số có thể biến đổi về dạng $f(x) = -2\sin^2 x - 4\sin x + 3$.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho phương trình lượng giác: $\sin \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos x$.
a) Phương trình đã cho tương đương với $\sin \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
b) Trong khoảng $(0; \pi)$, phương trình có đúng $2$ nghiệm phân biệt.
c) Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = -\dfrac{2\pi}{9}$.
d) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0; 2\pi]$ bằng $\dfrac{25\pi}{9}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 2$ và $u_{n+1} = u_n + 5$ với mọi $n \ge 1$.
a) Dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng với công sai $d = 5$.
b) Số hạng thứ $10$ của dãy số là $u_{10} = 47$.
c) Số $2024$ là một số hạng của dãy số $(u_n)$.
d) Tổng $n$ số hạng đầu tiên của dãy số là $S_n = \dfrac{5n^2 - n}{2}$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một bác nông dân nuôi cá giống trong hồ sinh học. Ở thời điểm ban đầu (tháng thứ $1$), bác thả $2000$ con cá. Dự kiến cứ sau mỗi tháng, số lượng cá trong hồ tăng $20\%$ so với tháng trước đó do sinh trưởng. Đồng thời, cuối mỗi tháng, bác dự định đánh bắt tỉa bớt $100$ con để bán.
a) Nếu không đánh bắt tỉa bớt cá hàng tháng thì số lượng cá ở các tháng lập thành một cấp số nhân có công bội $q = 1{,}2$.
b) Nếu không đánh bắt, sau đúng $6$ tháng (ở tháng thứ $6$), số lượng cá trong hồ vượt quá $5000$ con.
c) Gọi $u_n$ là số lượng cá trong hồ ở cuối tháng thứ $n$ (ngay sau khi đã đánh bắt tỉa $100$ con). Ta có hệ thức truy hồi $u_1 = 2000 \cdot 1{,}2 - 100$ và $u_n = 1{,}2 \cdot u_{n-1} - 100$ với mọi $n \ge 2$.
d) Đặt $v_n = u_n - 500$, dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $v_1 = 1800$ và công bội $q = 1{,}2$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính giá trị của biểu thức $P = \tan \left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Câu 2 (0,25 điểm). Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[0; 3\pi]$ của phương trình $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$.

Câu 3 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_4 + u_7 = 26$ và $u_3 + u_9 = 30$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng đó.

Câu 4 (0,25 điểm). Một công ty xây dựng cần mua một dàn giàn giáo. Nếu trả hết ngay một lần thì số tiền phải trả là $150$ triệu đồng. Nếu mua trả góp, công ty trả ngay đợt đầu $30$ triệu đồng, phần còn lại được trả hàng tháng trong vòng $12$ tháng kể từ tháng tiếp theo. Tháng trả góp đầu tiên trả $10$ triệu đồng, và kể từ tháng trả góp thứ hai trở đi, mỗi tháng số tiền trả giảm đi $500$ nghìn đồng so với tháng liền trước. Hỏi sau khi trả xong $12$ tháng, tổng số tiền công ty đó đã trả khi mua trả góp nhiều hơn hay ít hơn số tiền trả thẳng bao nhiêu triệu đồng?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (2,0 điểm)

Thí sinh trình bày chi tiết lời giải cho Bài 1 và Bài 2.

Bài 1 (1,0 điểm).
a) (0,5 điểm) Giải phương trình lượng giác: $\sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}$.
b) (0,5 điểm) Chứng minh đẳng thức lượng giác sau với mọi giá trị của $x$ làm biểu thức có nghĩa:

$$\dfrac{\sin 3x - \sin x}{1 + \cos 2x} = 2\sin x$$

Bài 2 (1,0 điểm).
a) (0,5 điểm) Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_1 + u_3 = 10 \\ u_2 + u_4 = 20 \end{cases}$. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân.
b) (0,5 điểm) Một vận động viên chạy cự ly dài thực hiện một kế hoạch rèn luyện thể lực trong $30$ ngày. Ngày đầu tiên, vận động viên chạy $2000$ m. Kể từ ngày thứ hai trở đi, mỗi ngày vận động viên đều tăng quãng đường chạy thêm $300$ m so với ngày liền trước. Tính tổng quãng đường (tính theo đơn vị kilômét) mà vận động viên đó đã chạy được trong suốt $30$ ngày rèn luyện.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Hướng dẫn chấm này trình bày sơ lược một cách giải. Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng bản chất toán học vẫn cho điểm tối đa tương ứng từng câu/ý.
- Điểm toàn bài là tổng điểm các phần làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai nếu có quy định, thông thường lấy chuẩn theo bước 0,25 điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu:
- Đúng 1 ý được 0,10 điểm;
- Đúng 2 ý được 0,25 điểm;
- Đúng 3 ý được 0,50 điểm;
- Đúng cả 4 ý được 1,00 điểm.

3. PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Giải thích ngắn gọn:
- Câu 1: $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\dfrac{4}{5} \Rightarrow \tan \alpha = -\dfrac{3}{4}$. Do đó $P = \dfrac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = \dfrac{-3/4 + 1}{1 - (-3/4)} = \dfrac{1/4}{7/4} = \dfrac{1}{7}$ nếu tính nhầm, chú ý: $\tan(\alpha + \pi/4) = \dfrac{\tan \alpha + \tan(\pi/4)}{1 - \tan \alpha \tan(\pi/4)} = \dfrac{-3/4 + 1}{1 - (-3/4)\cdot 1} = \dfrac{1/4}{7/4} = \dfrac{1}{7}$ (người ra đề lưu ý dấu nếu đề viết $-\alpha$ hay $\alpha$, với $\tan \alpha = -3/4$: $P = \dfrac{-3/4 + 1}{1 - (-3/4)} = \dfrac{1}{7}$, đáp án chuẩn là $\dfrac{1}{7}$ hoặc viết dưới dạng số thập phân/phân số). Đính chính phép tính: $\tan \alpha = -\dfrac{3}{4} \Rightarrow P = \dfrac{1}{7}$.
- Câu 2: $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = 1$ hoặc $\cos x = \dfrac{1}{2}$. Trên $[0; 3\pi]$:
+ $\cos x = 1 \Rightarrow x \in \{0; 2\pi\}$ ($2$ nghiệm).
+ $\cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\{\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{5\pi}{3}\right\}$ ($2$ nghiệm). Tổng cộng $4$ nghiệm.
- Câu 3: Ta có hệ: $\begin{cases} 2u_1 + 9d = 26 \\ 2u_1 + 10d = 30 \end{cases} \Rightarrow d = 30 - 26 = 4$? Kiểm tra: $u_4 + u_7 = u_1 + 3d + u_1 + 6d = 2u_1 + 9d = 26$; $u_3 + u_9 = u_1 + 2d + u_1 + 8d = 2u_1 + 10d = 30 \Rightarrow d = 4$.
- Câu 4: Dãy số tiền trả $12$ tháng lập thành cấp số cộng với $u_1 = 10$, $d = -0{,}5$, $n = 12$.
Tổng $12$ tháng trả góp: $S_{12} = \dfrac{12}{2} \cdot [2 \cdot 10 + 11 \cdot (-0{,}5)] = 6 \cdot (20 - 5{,}5) = 6 \cdot 14{,}5 = 87$ triệu đồng.
Tổng số tiền trả góp: $30 + 87 = 117$ triệu đồng.
Số tiền này ít hơn trả thẳng là $150 - 117 = 33$ triệu đồng (hoặc nếu đề hỏi nhiều hơn thì kết quả âm; ở đây tổng trả góp là 117, trả thẳng 150).

4. PHẦN IV. TỰ LUẬN (2,0 điểm)