Đề ôn tập Giữa học kì I - Môn Toán 11

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ MẪU

Đề chính thức

ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = 3\cos\left(\dfrac{x}{3}\right)$ là

A. $2\pi$ .

B. $3\pi$ .

C. $6\pi$ .

D. $\dfrac{2\pi}{3}$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sin 2x - 1}{\cos x}$ là

A. $\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ .

B. $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

C. $\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2} \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

D. $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng $u_2 = 11$ và công sai $d = 3$ . Công thức số hạng tổng quát của $(u_n)$ là

A. $u_n = 5 + 3n$ .

B. $u_n = 8 + 3n$ .

C. $u_n = 11 + 3n$ .

D. $u_n = 14 - 3n$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị hàm số y = cot x đi qua điểm (pi/2; 0) và nghịch biến trên từng khoảng xác định]

A. $y = \tan x$ .

B. $y = -\tan x$ .

C. $y = \cot x$ .

D. $y = -\cot x$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?

A. $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

B. $\cos x = \dfrac{4}{3}$ .

C. $\tan x = 2024$ .

D. $\cot x = -\sqrt{5}$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?

A. $u_n = 3n - 1$ .

B. $u_n = n^2 + 2$ .

C. $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 2}$ .

D. $u_n = 3^n$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Trên đường tròn lượng giác gốc $A$ , các điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ) là

A. Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$ .

B. Bốn đỉnh của một hình vuông.

C. Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành $Ox$ .

D. Duy nhất một điểm trên đường tròn.

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hai góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo bằng $\dfrac{\pi}{6}$ và $(Ou, Ow)$ có số đo bằng $\dfrac{2\pi}{3}$ . Số đo của góc lượng giác $(Ov, Ow)$ bằng

A. $\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

B. $-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

C. $\dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

D. $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = 2 \cdot 3^{n+1}$ với mọi $n \ge 1$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(u_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 6$ và công bội $q = 3$ .

B. $(u_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 18$ và công bội $q = 3$ .

C. $(u_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$ .

D. $(u_n)$ không phải là cấp số nhân.

Câu 10 (0,25 điểm). Trong các đẳng thức lượng giác sau, đẳng thức nào sai?

A. $\sin 2a = 2\sin a \cos a$ .

B. $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1$ .

C. $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ .

D. $\cos 2a = \sin^2 a - \cos^2 a$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Phương trình $\sin^4 x - \cos^4 x + 1 = 0$ tương đương với phương trình nào dưới đây?

A. $\cos 2x = 1$ .

B. $\cos 2x = -1$ .

C. $\sin 2x = 0$ .

D. $\cos 2x = 0$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Tìm giá trị của $x$ để ba số $3$ , $x$ , $48$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội dương.

A. $x = 12$ .

B. $x = 24$ .

C. $x = 16$ .

D. $x = 18$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = \tan^2 x - 1$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$ .
b) Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ trên tập xác định của nó.
c) Tập giá trị của hàm số là $[-1; +\infty)$ .
d) Trên đoạn $[0; 2\pi]$ , phương trình $f(x) = 0$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có các số hạng đều là số thực dương, thỏa mãn: tích của số hạng thứ nhất và số hạng thứ tư bằng $8$ , tích của số hạng thứ hai và số hạng thứ năm bằng $32$ .
a) Công bội $q$ của cấp số nhân bằng $2$ .
b) Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $u_1 = 1$ .
c) Số hạng thứ $8$ của cấp số nhân là $u_8 = 128$ .
d) Tổng $8$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng $S_8 = 255$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Nhiệt độ môi trường $T$ (đơn vị: $^{\circ}\text{C}$ ) tại một trạm quan trắc khí tượng trong một ngày được mô hình hóa bởi hàm số:

$T(t) = 24 + 6\sin\left(\dfrac{\pi(t - 9)}{12}\right), \quad (0 \le t \le 24)$

trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ kể từ $0$ giờ sáng.
a) Nhiệt độ lúc $0$ giờ sáng tại trạm quan trắc là $24^{\circ}\text{C}$ .
b) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là $30^{\circ}\text{C}$ , đạt được tại thời điểm $t = 15$ giờ (tức $15$ giờ chiều).
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày tại trạm quan trắc là $18^{\circ}\text{C}$ .
d) Trong một ngày, có đúng một thời điểm nhiệt độ tại trạm quan trắc đạt $27^{\circ}\text{C}$ .

Câu 4 (1,0 điểm). Một quỹ học bổng khuyến học quyết định trao thưởng cho một học sinh giỏi trong suốt $3$ năm học trung học phổ thông ( $6$ học kỳ). Quỹ đưa ra hai phương án trao thưởng:
- Phương án A (trao theo năm): Năm lớp 10 trao $12$ triệu đồng; kể từ năm thứ hai, mỗi năm số tiền trao tặng tăng thêm $3$ triệu đồng so với năm trước đó.
- Phương án B (trao theo học kỳ): Học kỳ I lớp 10 trao $6$ triệu đồng; kể từ học kỳ thứ hai, mỗi học kỳ số tiền trao tặng tăng thêm $6\%$ so với học kỳ liền trước.
a) Ở Phương án A, số tiền trao tặng hàng năm lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = 12$ và công sai $d = 3$ .
b) Tổng số tiền học bổng mà học sinh nhận được theo Phương án A sau $3$ năm là $45$ triệu đồng.
c) Ở Phương án B, số tiền trao tặng ở học kỳ II lớp 11 (tức học kỳ thứ $4$ ) là khoảng $7{,}15$ triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Tổng số tiền nhận được sau $3$ năm theo Phương án B nhiều hơn tổng số tiền nhận được theo Phương án A.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = 2\sin^2 x - 4\cos x + 1$ . Biết tập giá trị của hàm số là đoạn $[a; b]$ . Tính giá trị của biểu thức $P = 3a + 2b$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Một vật nhỏ gắn vào đầu lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình li độ $y = 12\cos(6\pi t)$ (trong đó $y$ tính bằng xentimét, $t$ tính bằng giây). Gọi $T$ là chu kỳ dao động của vật (tính bằng giây), $f$ là tần số dao động của vật (tính bằng Hz) và $L$ là chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật (tính bằng xentimét). Tính giá trị của biểu thức $S = 3T + f + L$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Người ta xếp các viên bi thành các tầng theo quy luật hình tam giác: tầng trên cùng (tầng 1) có $3$ viên bi, tầng thứ 2 có $7$ viên bi, tầng thứ 3 có $11$ viên bi, cứ tiếp tục như vậy, số viên bi ở mỗi tầng dưới nhiều hơn tầng liền trên $4$ viên bi. Hỏi ở tầng thứ $60$ có bao nhiêu viên bi?

Câu 4 (0,5 điểm). Một chiếc đồng hồ có kim giờ dài $6\text{ cm}$ và kim phút dài $9\text{ cm}$ . Lúc đúng $12$ giờ trưa, hai kim trùng nhau. Khi hai kim trùng nhau lần thứ $2$ (không kể thời điểm lúc $12$ giờ trưa), tính tổng quãng đường (tổng độ dài cung tròn) mà hai đầu mút của kim giờ và kim phút đã quét được (theo đơn vị xentimét, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 5 (0,5 điểm). Cho hình vuông $A_1B_1C_1D_1$ có cạnh bằng $8\text{ cm}$ . Trên mỗi cạnh của hình vuông đó, lấy điểm chia cạnh theo tỉ lệ $1 : 3$ (điểm chia cách đỉnh gần nhất một đoạn bằng $\dfrac{1}{4}$ độ dài cạnh), nối bốn điểm này lại để được hình vuông thứ hai $A_2B_2C_2D_2$ . Quá trình trên được lặp lại liên tiếp để tạo thành các hình vuông $A_3B_3C_3D_3$ , $A_4B_4C_4D_4$ ,... Tính độ dài cạnh của hình vuông thứ $6$ (kết quả tính theo cm và làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 6 (0,5 điểm). Một đồng hồ quả lắc cổ cứ điểm đúng $1$ giờ thì đánh $1$ tiếng chuông, điểm đúng $2$ giờ thì đánh $2$ tiếng chuông,..., điểm đúng $12$ giờ thì đánh $12$ tiếng chuông (chỉ điểm chuông vào các thời điểm đúng giờ). Ngoài ra, ở mỗi thời điểm đúng $30$ phút (nửa giờ), đồng hồ đánh đúng $1$ tiếng chuông để báo hiệu. Hỏi trong vòng trọn vẹn $3$ ngày đêm, đồng hồ đã đánh tổng cộng bao nhiêu tiếng chuông?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN I

Câu	Đáp án	Câu	Đáp án	Câu	Đáp án
1	C	5	B	9	B
2	B	6	C	10	D
3	A	7	A	11	A
4	C	8	A	12	A

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN II

Điểm tối đa mỗi câu là 1,0 điểm: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; Đúng 2 ý được 0,25 điểm; Đúng 3 ý được 0,5 điểm; Đúng 4 ý được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn ngắn
Câu 1	a)	Đ	Điều kiện xác định $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ .
	b)	S	$f(-x) = \tan^2(-x) - 1 = \tan^2 x - 1 = f(x) \Rightarrow$ Hàm số chẵn.
	c)	Đ	$\tan^2 x \ge 0 \Rightarrow \tan^2 x - 1 \ge -1$ , do đó tập giá trị là $[-1; +\infty)$ .
	d)	S	$\tan^2 x = 1 \Leftrightarrow \tan x = \pm 1$ . Trên $[0; 2\pi]$ có 4 nghiệm: $\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}$ .
Câu 2	a)	Đ	$u_1 u_4 = u_1^2 q^3 = 8$ ; $u_2 u_5 = u_1^2 q^5 = 32 \Rightarrow q^2 = 4 \Rightarrow q = 2$ (do số hạng dương).
	b)	Đ	Thay $q = 2$ vào: $u_1^2 \cdot 8 = 8 \Rightarrow u_1 = 1$ .
	c)	Đ	$u_8 = u_1 q^7 = 1 \cdot 2^7 = 128$ .
	d)	Đ	$S_8 = \dfrac{u_1(1 - q^8)}{1 - q} = \dfrac{1 - 256}{1 - 2} = 255$ .
Câu 3	a)	S	Lúc $0$ giờ: $t = 0 \Rightarrow T(0) = 24 + 6\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = 24 - 3\sqrt{2} \approx 19{,}76^{\circ}\text{C} \ne 24^{\circ}\text{C}$ .
	b)	Đ	$T_{\max} = 24 + 6 = 30^{\circ}\text{C}$ , khi $\sin\left(\dfrac{\pi(t - 9)}{12}\right) = 1 \Leftrightarrow t - 9 = 6 \Leftrightarrow t = 15$ .
	c)	Đ	$T_{\min} = 24 - 6 = 18^{\circ}\text{C}$ (khi $\sin = -1$ ).
	d)	S	$T(t) = 27 \Leftrightarrow \sin\left(\dfrac{\pi(t-9)}{12}\right) = \dfrac{1}{2}$ , giải ra $t = 11$ và $t = 19$ , có 2 thời điểm trong ngày.
Câu 4	a)	Đ	Năm 1: 12 triệu; năm 2: 15 triệu; năm 3: 18 triệu $\Rightarrow u_1 = 12, d = 3$ .
	b)	Đ	Tổng 3 năm: $S_3 = 12 + 15 + 18 = 45$ triệu đồng.
	c)	Đ	Học kỳ 4: $v_4 = 6 \cdot (1 + 0{,}06)^3 = 6 \cdot 1{,}06^3 \approx 7{,}146 \approx 7{,}15$ triệu đồng.
	d)	S	Tổng 6 kỳ: $S'_6 = 6 \cdot \dfrac{1{,}06^6 - 1}{0{,}06} \approx 41{,}85$ triệu đồng $< 45$ triệu đồng của Phương án A.

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN III

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Đáp án	Lời giải tóm tắt
1	6	$y = 2(1 - \cos^2 x) - 4\cos x + 1 = -2\cos^2 x - 4\cos x + 3$ . Đặt $t = \cos x \in [-1; 1]$ . Parabol đạt cực đại tại $t = -1$ : $y(-1) = 5 = b$ . Tại $t = 1$ : $y(1) = -3 = a$ . Do đó $T = [-3; 5] \Rightarrow a = -3, b = 5$ . Vậy $P = 3(-3) + 2(5) = 1$ .
2	32	$T = \dfrac{2\pi}{6\pi} = \dfrac{1}{3}\text{ s}$ ; tần số $f = \dfrac{1}{T} = 3\text{ Hz}$ . Biên độ $A = 12\text{ cm} \Rightarrow$ Chiều dài quỹ đạo $L = 2A = 24\text{ cm}$ . $S = 3 \cdot \dfrac{1}{3} + 3 + 24 = 1 + 3 + 24 = 28$ .
3	239	Số viên bi mỗi tầng lập thành cấp số cộng: $u_1 = 3$ , công sai $d = 4$ . Số viên bi ở tầng 60 là: $u_{60} = u_1 + 59d = 3 + 59 \times 4 = 239$ .
4	283	Vận tốc góc: kim phút $\omega_{ph} = 2\pi\text{ rad/h}$ ; kim giờ $\omega_g = \dfrac{\pi}{6}\text{ rad/h}$ . Hai kim trùng nhau lần thứ 2 sau thời gian: $\Delta t = \dfrac{2 \cdot 2\pi}{\omega_{ph} - \omega_g} = \dfrac{4\pi}{\frac{11\pi}{6}} = \dfrac{24}{11}\text{ h}$ . Góc quay kim phút: $\alpha_{ph} = \dfrac{48\pi}{11}\text{ rad} \Rightarrow s_{ph} = 9 \cdot \dfrac{48\pi}{11} \approx 123{,}38\text{ cm}$ . Góc quay kim giờ: $\alpha_g = \dfrac{4\pi}{11}\text{ rad} \Rightarrow s_g = 6 \cdot \dfrac{4\pi}{11} \approx 6{,}85\text{ cm}$ . Tổng quãng đường: $s = 123{,}38 + 6{,}85 \approx 130\text{ cm}$ .
5	2,46	Cạnh hình vuông thứ $n+1$ có tỉ lệ với cạnh hình vuông thứ $n$ : $a_{n+1} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{4}a_n\right)^2 + \left(\dfrac{3}{4}a_n\right)^2} = a_n \sqrt{\dfrac{10}{16}} = a_n \dfrac{\sqrt{10}}{4}$ . Dãy cạnh $(a_n)$ là cấp số nhân có $a_1 = 8$ , $q = \dfrac{\sqrt{10}}{4} \approx 0{,}79057$ . Cạnh hình vuông thứ 6 là: $a_6 = a_1 \cdot q^5 = 8 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{10}}{4}\right)^5 = 8 \cdot \dfrac{100\sqrt{10}}{1024} = \dfrac{25\sqrt{10}}{32} \approx 2{,}47\text{ cm}$ .
6	540	Trong 12 giờ: số tiếng chuông báo giờ là $1 + 2 + \dots + 12 = \dfrac{12 \times 13}{2} = 78$ tiếng. Số tiếng chuông nửa giờ trong 12 giờ là $12$ tiếng. Tổng cộng trong 12 giờ: $78 + 12 = 90$ tiếng. Một ngày đêm gồm 24 giờ (hai chu kỳ 12 giờ) đánh: $90 \times 2 = 180$ tiếng. Sau 3 ngày đêm đánh: $180 \times 3 = 540$ tiếng chuông.