Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 11 – Kết nối tri thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1. Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ và $\cos\alpha=-\dfrac35$ . Giá trị của $\sin\alpha$ bằng

A. $\dfrac45$ .

B. $-\dfrac45$ .

C. $\dfrac35$ .

D. $-\dfrac35$ .

Câu 2. Giá trị chính xác của $\cos\dfrac{\pi}{12}$ là

A. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ .

B. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ .

C. $\dfrac{\sqrt3+1}{2}$ .

D. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$ .

Câu 3. Tập xác định của hàm số $y=\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ là

A. $\mathbb R\setminus\left\{\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}\mid k\in\mathbb Z\right\}$ .

B. $\mathbb R\setminus\left\{\dfrac{3\pi}{8}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}$ .

C. $\mathbb R\setminus\left\{\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}\mid k\in\mathbb Z\right\}$ .

D. $\mathbb R$ .

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình $\sin 2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ được biểu diễn bởi

A. $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ hoặc $x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

B. $x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ hoặc $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

C. $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

D. $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ hoặc $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

Câu 5. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\dfrac{2n+1}{n+1}$ , $n\ge1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn trên bởi $2$ .

B. Dãy số giảm và bị chặn dưới bởi $2$ .

C. Dãy số tăng và không bị chặn trên.

D. Dãy số không đổi.

Câu 6. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_3=7$ , $u_8=22$ . Tổng $10$ số hạng đầu của cấp số cộng bằng

A. $135$ .

B. $145$ .

C. $155$ .

D. $165$ .

Câu 7. Cho cấp số nhân $(v_n)$ có $v_2=6$ , $v_5=162$ . Tổng $4$ số hạng đầu của cấp số nhân bằng

A. $54$ .

B. $78$ .

C. $80$ .

D. $120$ .

Dùng bảng số liệu sau cho Câu 8 và Câu 9.

Thời gian hoàn thành một nhiệm vụ của $20$ học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (phút)	$[0;10)$	$[10;20)$	$[20;30)$	$[30;40)$
Số học sinh	$4$	$8$	$6$	$2$

Câu 8. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu phút?

A. $17$ .

B. $17{,}5$ .

C. $20$ .

D. $18$ .

Câu 9. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu phút?

A. $17{,}5$ .

B. $18$ .

C. $20$ .

D. $22{,}5$ .

Câu 10. Cho tứ diện $SABC$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ , $SB$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

[Hình vẽ]

A. $MN\subset(ABC)$ .

B. $MN\parallel(ABC)$ .

C. $MN$ cắt $(ABC)$ .

D. $MN\parallel AC$ .

Câu 11. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là

[Hình vẽ]

A. Đường thẳng $SA$ .

B. Đường thẳng $AC$ .

C. Đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ .

D. Đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$ .

Câu 12. Phương trình $\sin x=\dfrac12$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0;4\pi]$ ?

A. $2$ .

B. $3$ .

C. $5$ .

D. $4$ .

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=2\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+1$ .
a) Hàm số $f$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ .
b) Giá trị $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2$ .
c) Phương trình $f(x)=1$ có nghiệm tổng quát $x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}$ , $k\in\mathbb Z$ .
d) Tập các giá trị $x\in[0;\pi]$ thỏa mãn $f(x)\ge2$ là một đoạn có độ dài $\dfrac{\pi}{2}$ .

Câu 2. Một học sinh lập kế hoạch tiết kiệm trong nhiều tuần. Tuần đầu, bạn để dành $200\,000$ đồng. Từ tuần thứ hai, mỗi tuần bạn để dành nhiều hơn tuần liền trước $20\,000$ đồng. Không tính lãi.
a) Số tiền để dành mỗi tuần lập thành một cấp số cộng có công sai $20\,000$ đồng.
b) Trong tuần thứ $10$ , bạn để dành $400\,000$ đồng.
c) Tổng số tiền để dành sau $20$ tuần là $7\,600\,000$ đồng.
d) Để tổng số tiền để dành đạt ít nhất $12\,000\,000$ đồng, bạn cần tối thiểu $27$ tuần.

Câu 3. Thời gian luyện tập thể thao trong một ngày của $40$ học sinh được thể hiện bằng biểu đồ tần số ghép nhóm sau. Các nhóm thời gian đều có đơn vị là phút.

[Biểu đồ]

a) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là $[20;30)$ .
b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm bằng $24$ phút.
c) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng $23{,}75$ phút.
d) Hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm bằng $14$ phút.

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $O=AC\cap BD$ ; $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ , $SB$ ; điểm $P$ thuộc cạnh $SC$ và $SP=\dfrac13SC$ . Gọi $I=MP\cap SO$ .

[Hình vẽ]

a) Hai đường thẳng $AB$ và $SC$ cắt nhau.
b) Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ .
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$ .
d) Tỉ số $\dfrac{SI}{IO}=\dfrac23$ .

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Chỉ làm tròn kết quả ở bước cuối nếu câu hỏi có yêu cầu.

Câu 1. Một vòng quay có bán kính $10$ m, tâm cách mặt đất $13$ m. Một cabin xuất phát từ vị trí thấp nhất. Sau $t$ giây, độ cao của cabin so với mặt đất được mô hình hóa bởi

$h(t)=13-10\cos\left(\dfrac{\pi t}{15}\right),\quad t\ge0.$

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây kể từ lúc xuất phát, cabin đạt độ cao $18$ m?

[Hình vẽ]

Câu 2. Một cơ cấu tay quay – thanh truyền gồm tay quay $OA$ dài $6$ cm và thanh truyền $AB$ dài $10$ cm. Con trượt $B$ chuyển động trên một đường thẳng cố định đi qua $O$ . Tại thời điểm xét, $\widehat{AOB}=60^\circ$ và $B$ nằm về phía bên phải hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $OB$ . Tính khoảng cách $OB$ theo đơn vị centimét, làm tròn đến hàng phần trăm.

[Hình vẽ]

Câu 3. Một khán phòng có các hàng ghế được đánh số từ trước ra sau. Hàng đầu có $18$ ghế; mỗi hàng sau có nhiều hơn hàng liền trước $2$ ghế. Hỏi khán phòng phải có ít nhất bao nhiêu hàng để tổng số ghế đạt ít nhất $1\,000$ ?

[Hình vẽ]

Câu 4. Một thiết bị được mua với giá $500$ triệu đồng. Sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của thiết bị bằng $80\%$ giá trị của nó ở cuối năm trước; giá trị ban đầu được tính tại thời điểm mua. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm sử dụng, giá trị còn lại của thiết bị thấp hơn $200$ triệu đồng?

Câu 5. Một khung lều được mô hình hóa bởi hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của đáy. Điểm $M$ trên thanh $SC$ thỏa mãn $SM=\dfrac23SC$ . Thanh $AM$ cắt thanh $SO$ tại $I$ . Tính tỉ số $\dfrac{AI}{IM}$ , viết kết quả dưới dạng số thập phân.

[Hình vẽ]

Câu 6. Có bao nhiêu nghiệm phân biệt của phương trình $\sin 3x=\cos 2x$ thuộc khoảng $\left(0;\dfrac{25\pi}{3}\right)$ ?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Hướng dẫn chấm

KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Tổng điểm toàn bài: 10,0 điểm.

Phần I: 12 câu, mỗi câu đúng được 0,25 điểm; tối đa 3,0 điểm.

Phần II: 4 câu, mỗi câu tối đa 1,0 điểm. Trong từng câu, đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng 4 ý được 1,0 điểm; không đúng ý nào được 0 điểm.

Phần III: 6 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm; tối đa 3,0 điểm. Các bước giải dưới đây dùng để giải thích đáp án, không chia điểm thành phần cho câu trả lời ngắn.

Các đại lượng thống kê được tính theo công thức dành cho mẫu số liệu ghép nhóm.

B. ĐÁP ÁN VÀ GIẢI THÍCH

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	A	B	C	D	A	B	C	D	A	B

Câu	11	12
Đáp án	C	D

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	Giải thích ngắn	Điểm
1	$\alpha$ thuộc góc phần tư II nên $\sin\alpha>0$ . $\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45$ .	0,25
2	$\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\left(\dfrac\pi4-\dfrac\pi6\right)$ $=\dfrac{\sqrt2}{2}\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ .	0,25
3	Điều kiện: $2x-\dfrac\pi4\ne\dfrac\pi2+k\pi$ . Suy ra $x\ne\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}$ , $k\in\mathbb Z$ .	0,25
4	$2x=\dfrac\pi3+2k\pi$ hoặc $2x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ . Do đó $x=\dfrac\pi6+k\pi$ hoặc $x=\dfrac\pi3+k\pi$ .	0,25
5	$u_n=2-\dfrac1{n+1}<2$ . $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)(n+2)}>0$ .	0,25
6	$5d=u_8-u_3=15$ , suy ra $d=3$ , $u_1=1$ . $S_{10}=\dfrac{10}{2}(2\cdot1+9\cdot3)=145$ .	0,25
7	$q^3=\dfrac{v_5}{v_2}=27$ , suy ra $q=3$ , $v_1=2$ . $S_4=2+6+18+54=80$ .	0,25
8	Các giá trị đại diện là $5$ ; $15$ ; $25$ ; $35$ . $\overline x=\dfrac{4\cdot5+8\cdot15+6\cdot25+2\cdot35}{20}=18$ phút.	0,25
9	Tần số tích lũy lần lượt là $4$ ; $12$ ; $18$ ; $20$ . Nhóm chứa trung vị là $[10;20)$ . $M_e=10+\dfrac{10-4}{8}\cdot10=17{,}5$ phút.	0,25
10	Trong tam giác $SAB$ , $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AB$ . $AB\subset(ABC)$ và $MN\not\subset(ABC)$ , do đó $MN\parallel(ABC)$ .	0,25
11	Hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa $S$ , lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AB$ , $CD$ . Giao tuyến đi qua $S$ và song song với $AB$ , $CD$ .	0,25
12	Các nghiệm thuộc $[0;4\pi]$ là $\dfrac\pi6$ , $\dfrac{5\pi}{6}$ , $\dfrac{13\pi}{6}$ , $\dfrac{17\pi}{6}$ . Có $4$ nghiệm.	0,25

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Câu – ý	1a	1b	1c	1d	2a	2b	2c	2d
Đáp án	Đ	S	Đ	S	Đ	S	S	Đ

Câu – ý	3a	3b	3c	3d	4a	4b	4c	4d
Đáp án	Đ	S	Đ	Đ	S	Đ	Đ	Đ

Điểm mỗi câu tính theo tổng số ý trả lời đúng, không cộng đều 0,25 điểm cho từng ý.

Câu	Ý	Giải thích ngắn	Kết luận
1	a	Chu kì của hàm số là $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ .	Đúng
	b	$f\left(\dfrac\pi3\right)=2\sin\dfrac\pi2+1=3$ , không phải $2$ .	Sai
	c	$f(x)=1\Leftrightarrow\sin\left(2x-\dfrac\pi6\right)=0$ . $2x-\dfrac\pi6=k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac\pi{12}+\dfrac{k\pi}{2}$ .	Đúng
	d	Với $x\in[0;\pi]$ , bất phương trình tương đương $x\in\left[\dfrac\pi6;\dfrac\pi2\right]$ . Độ dài đoạn nghiệm là $\dfrac\pi2-\dfrac\pi6=\dfrac\pi3$ , không phải $\dfrac\pi2$ .	Sai
2	a	Tiền để dành tuần sau bằng tiền tuần trước cộng $20\,000$ đồng, nên là cấp số cộng với $d=20\,000$ đồng.	Đúng
	b	$u_{10}=200\,000+9\cdot20\,000=380\,000$ đồng.	Sai
	c	$S_{20}=\dfrac{20}{2}(400\,000+19\cdot20\,000)=7\,800\,000$ đồng.	Sai
	d	$S_n=10\,000n(n+19)$ đồng. $S_{26}=11\,700\,000<12\,000\,000$ ; $S_{27}=12\,420\,000\ge12\,000\,000$ . Vì $S_n$ tăng nên số tuần tối thiểu là $27$ .	Đúng
3	a	Tần số lớn nhất là $16$ , ứng với nhóm $[20;30)$ .	Đúng
	b	$\overline x=\dfrac{4\cdot5+10\cdot15+16\cdot25+8\cdot35+2\cdot45}{40}$ $=\dfrac{940}{40}=23{,}5$ phút.	Sai
	c	Tần số tích lũy: $4$ ; $14$ ; $30$ ; $38$ ; $40$ . $M_e=20+\dfrac{20-14}{16}\cdot10=23{,}75$ phút.	Đúng
	d	$Q_1=10+\dfrac{10-4}{10}\cdot10=16$ phút. $Q_3=20+\dfrac{30-14}{16}\cdot10=30$ phút. $Q_3-Q_1=14$ phút.	Đúng
4	a	$SC$ chỉ cắt mặt phẳng đáy tại $C$ , nhưng $C\notin AB$ . $AB$ và $SC$ chéo nhau, không cắt nhau.	Sai
	b	$MN\parallel AB$ theo định lí đường trung bình trong tam giác $SAB$ . Vì $AB\subset(ABCD)$ và $MN\not\subset(ABCD)$ nên $MN\parallel(ABCD)$ .	Đúng
	c	Hai điểm phân biệt $S$ , $O$ cùng thuộc cả hai mặt phẳng. Do đó $(SAC)\cap(SBD)=SO$ .	Đúng
	d	Kí hiệu $[XYZ]$ là diện tích tam giác $XYZ$ , đặt $t=\dfrac{SI}{SO}$ . Vì $AO=OC$ nên $[SAI]=[SCI]=\dfrac t2[SAC]$ . $[SMI]=\dfrac12[SAI]=\dfrac t4[SAC]$ ; $[SPI]=\dfrac13[SCI]=\dfrac t6[SAC]$ . Mặt khác, $[SMP]=\dfrac12\cdot\dfrac13[SAC]=\dfrac16[SAC]$ . Suy ra $\dfrac t4+\dfrac t6=\dfrac16$ , nên $t=\dfrac25$ và $\dfrac{SI}{IO}=\dfrac{2/5}{3/5}=\dfrac23$ .	Đúng

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp án	$10$	$11{,}54$	$25$	$5$	$1{,}5$	$21$

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Giải thích và kết quả	Điểm
1	$h(t)=18\Leftrightarrow\cos\left(\dfrac{\pi t}{15}\right)=-\dfrac12$ . Nghiệm dương nhỏ nhất của góc $\dfrac{\pi t}{15}$ là $\dfrac{2\pi}{3}$ . Suy ra $\dfrac{\pi t}{15}=\dfrac{2\pi}{3}$ , nên $t=10$ giây.	0,5
2	Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $OB$ . $OH=OA\cos60^\circ=3$ cm. $AH=OA\sin60^\circ=3\sqrt3$ cm. $HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{100-27}=\sqrt{73}$ cm. Do $B$ ở bên phải $H$ , $OB=OH+HB=3+\sqrt{73}\approx11{,}54$ cm.	0,5
3	Số ghế hàng thứ $n$ là $u_n=18+2(n-1)$ . Tổng số ghế của $n$ hàng: $S_n=\dfrac n2[36+2(n-1)]=n(n+17)$ . $S_{24}=984<1\,000$ ; $S_{25}=1\,050\ge1\,000$ . Vì $S_n$ tăng, cần ít nhất $25$ hàng.	0,5
4	Sau $n$ năm, giá trị thiết bị là $V_n=500(0{,}8)^n$ triệu đồng. $V_4=204{,}8>200$ ; $V_5=163{,}84<200$ . Vì $V_n$ giảm, thời gian ít nhất là $5$ năm.	0,5
5	Xét trong mặt phẳng $(SAC)$ . Vì $AO=OC$ và $S$ , $I$ , $O$ thẳng hàng nên $[SAI]=[SCI]$ . Hai tam giác $SCI$ , $SMI$ có chung chiều cao hạ từ $I$ xuống $SC$ , do đó $\dfrac{[SCI]}{[SMI]}=\dfrac{SC}{SM}=\dfrac32$ . Hai tam giác $SAI$ , $SMI$ có chung chiều cao hạ từ $S$ xuống $AM$ . Suy ra $\dfrac{AI}{IM}=\dfrac{[SAI]}{[SMI]}=\dfrac32=1{,}5$ .	0,5
6	$\sin3x=\sin\left(\dfrac\pi2-2x\right)$ . Do đó $3x=\dfrac\pi2-2x+2k\pi$ hoặc $3x=\dfrac\pi2+2x+2k\pi$ . Suy ra $x=\dfrac\pi{10}+\dfrac{2k\pi}{5}$ hoặc $x=\dfrac\pi2+2k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ . Họ thứ hai nằm trong họ thứ nhất vì $\dfrac\pi2+2k\pi=\dfrac\pi{10}+\dfrac{2(1+5k)\pi}{5}$ . Chỉ cần đếm $0<\dfrac\pi{10}+\dfrac{2k\pi}{5}<\dfrac{25\pi}{3}$ . Tương đương $-\dfrac14<k<\dfrac{247}{12}$ . Các giá trị nguyên là $k=0,1,\ldots,20$ , có $21$ nghiệm phân biệt.	0,5

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ GIẢI THÍCH

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 11