Đề kiểm tra Chuyên đề Cấp số cộng - Toán 11

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$. Giá trị của số hạng thứ hai $u_2$ bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ ($n \ge 2$) là

Câu 4 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -2$ và $u_2 = 3$. Công sai $d$ của cấp số cộng đó bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho ba số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 6 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công sai $d = -3$. Số hạng thứ $5$ của cấp số cộng là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1$ và công sai $d$. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng $S_n$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Câu 8 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có công thức số hạng tổng quát $u_n = 3n - 1$. Công sai $d$ của cấp số cộng bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 5$ và $d = 2$. Tổng của $10$ số hạng đầu tiên $S_{10}$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Biết ba số $2; x; 14$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của $x$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -1$ và $u_4 = 8$. Công sai $d$ của cấp số cộng đó bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 4$ và công sai $d = 3$. Số $40$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$.
a) Số hạng thứ hai của cấp số cộng là $u_2 = 1$.
b) Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = 5 - 2n$.
c) Số $-37$ là số hạng thứ $21$ của dãy số đã cho.
d) Tổng của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{20} = -300$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ điều kiện: $\begin{cases} u_1 + u_5 = 18 \\ u_3 + u_7 = 26 \end{cases}$.
a) Hệ phương trình đã cho tương đương với $\begin{cases} 2u_1 + 4d = 18 \\ 2u_1 + 8d = 26 \end{cases}$.
b) Cấp số cộng có công sai $d = 2$ và số hạng đầu $u_1 = 5$.
c) Số hạng thứ $10$ của cấp số cộng là $u_{10} = 25$.
d) Số hạng đầu tiên của dãy số có giá trị lớn hơn $100$ là $u_{50}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có số đo ba góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ (tính theo đơn vị độ) lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó, đồng thời thỏa mãn $\widehat{C} = 5\widehat{A}$.
a) Theo tính chất cấp số cộng, ta có hệ thức $\widehat{A} + \widehat{C} = 2\widehat{B}$.
b) Số đo góc $\widehat{B}$ bằng $60^\circ$.
c) Số đo góc $\widehat{A}$ bằng $20^\circ$.
d) Công sai của cấp số cộng tạo bởi số đo ba góc trên là $d = 30^\circ$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một rạp hát có $20$ hàng ghế được xếp theo hình vòng cung. Hàng ghế thứ nhất có $15$ ghế. Kể từ hàng ghế thứ hai trở đi, mỗi hàng ghế có nhiều hơn hàng liền trước nó đúng $4$ ghế.
a) Số lượng ghế ở các hàng từ hàng thứ $1$ đến hàng thứ $20$ lập thành một cấp số cộng có $u_1 = 15$ và công sai $d = 4$.
b) Hàng ghế thứ $10$ của rạp hát có $55$ ghế.
c) Hàng ghế cuối cùng (hàng thứ $20$) có $91$ ghế.
d) Toàn bộ rạp hát có tất cả $1060$ ghế.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công sai $d = 5$. Tìm số hạng thứ $15$ của cấp số cộng đó.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 4$ và tổng của $12$ số hạng đầu tiên là $S_{12} = 246$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng đó.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có tổng của $n$ số hạng đầu tiên được xác định bởi công thức $S_n = 3n^2 - 2n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Tìm giá trị của số hạng thứ $8$ của cấp số cộng.

Câu 4 (0,5 điểm). Một người bắt đầu kế hoạch chạy bộ rèn luyện sức khỏe. Ngày đầu tiên người đó chạy được $1000$ mét. Kể từ ngày thứ hai trở đi, mỗi ngày người đó chạy nhiều hơn ngày liền trước đúng $250$ mét. Hỏi sau bao nhiêu ngày người đó hoàn thành tổng quãng đường chạy đúng bằng $45$ kilômét?

Câu 5 (0,5 điểm). Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn đẳng thức sau:

$$1 + 4 + 7 + 10 + \dots + (3n - 2) = 590$$

Câu 6 (0,5 điểm). Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau sao cho ba chữ số đó (theo thứ tự từ hàng trăm đến hàng đơn vị) lập thành một cấp số cộng?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1.
- Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số không đổi $d = u_{k+1} - u_k$.
- Xét dãy số ở phương án C: $-3; 0; 3; 6; 9$. Ta có:
$0 - (-3) = 3$; $3 - 0 = 3$; $6 - 3 = 3$; $9 - 6 = 3$.
Hiệu của hai số hạng liên tiếp luôn bằng $3$, nên đây là cấp số cộng có $u_1 = -3$ và công sai $d = 3$.
- Chọn C.

Câu 2.
- Số hạng thứ hai của cấp số cộng được tính bởi công thức: $u_2 = u_1 + d$.
- Thay số: $u_2 = 3 + 4 = 7$.
- Chọn A.

Câu 3.
- Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ là: $u_n = u_1 + (n - 1)d$ với mọi $n \ge 2$.
- Chọn B.

Câu 4.
- Công sai của cấp số cộng là: $d = u_2 - u_1 = 3 - (-2) = 5$.
- Chọn C.

Câu 5.
- Ba số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi: $b - a = c - b \Leftrightarrow 2b = a + c$.
- Chọn C.

Câu 6.
- Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_5 = u_1 + 4d = 2 + 4 \cdot (-3) = 2 - 12 = -10$.
- Chọn A.

Câu 7.
- Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng được xác định bởi công thức:

$$S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$$

- Chọn A.

Câu 8.
- Ta có $u_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ và $u_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$.
- Công sai của cấp số cộng là: $d = u_2 - u_1 = 5 - 2 = 3$.
- Chọn B.

Câu 9.
- Tổng của $10$ số hạng đầu tiên được tính theo công thức:

$$S_{10} = \dfrac{10}{2} \cdot \left[2u_1 + (10 - 1)d\right] = 5 \cdot (2 \cdot 5 + 9 \cdot 2) = 5 \cdot (10 + 18) = 5 \cdot 28 = 140$$

- Chọn A.

Câu 10.
- Ba số $2; x; 14$ lập thành một cấp số cộng nên:

$$2x = 2 + 14 \Leftrightarrow 2x = 16 \Leftrightarrow x = 8$$

- Chọn C.

Câu 11.
- Ta có công thức: $u_4 = u_1 + 3d$.
- Suy ra: $8 = -1 + 3d \Leftrightarrow 3d = 9 \Leftrightarrow d = 3$.
- Chọn A.

Câu 12.
- Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: $u_n = u_1 + (n - 1)d = 4 + 3(n - 1)$.
- Cho $u_n = 40$, ta có:

$$4 + 3(n - 1) = 40 \Leftrightarrow 3(n - 1) = 36 \Leftrightarrow n - 1 = 12 \Leftrightarrow n = 13$$

- Vậy $40$ là số hạng thứ $13$ của cấp số cộng.
- Chọn C.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1.
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và $d = -2$.
a) Đúng. Ta có $u_2 = u_1 + d = 3 + (-2) = 1$.
b) Đúng. Số hạng tổng quát là: $u_n = u_1 + (n - 1)d = 3 + (n - 1)(-2) = 5 - 2n$.
c) Đúng. Xét phương trình $u_n = -37 \Leftrightarrow 5 - 2n = -37 \Leftrightarrow 2n = 42 \Leftrightarrow n = 21 \in \mathbb{N}^*$. Do đó $-37$ là số hạng thứ $21$.
d) Sai. Tổng của $20$ số hạng đầu tiên là:

$$S_{20} = \dfrac{20}{2} \cdot [2 \cdot 3 + 19 \cdot (-2)] = 10 \cdot (6 - 38) = 10 \cdot (-32) = -320 \ne -300$$

Câu 2.
Cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ: $\begin{cases} u_1 + u_5 = 18 \\ u_3 + u_7 = 26 \end{cases}$.
a) Đúng. Biểu diễn qua $u_1$ và $d$:
- $u_1 + u_5 = u_1 + (u_1 + 4d) = 2u_1 + 4d = 18$.
- $u_3 + u_7 = (u_1 + 2d) + (u_1 + 6d) = 2u_1 + 8d = 26$.
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với $\begin{cases} 2u_1 + 4d = 18 \\ 2u_1 + 8d = 26 \end{cases}$.
b) Đúng. Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất ta được:
$4d = 8 \Leftrightarrow d = 2$.
Thay vào phương trình đầu: $2u_1 + 4 \cdot 2 = 18 \Leftrightarrow 2u_1 = 10 \Leftrightarrow u_1 = 5$.
c) Sai. Số hạng thứ $10$ của cấp số cộng là:
$u_{10} = u_1 + 9d = 5 + 9 \cdot 2 = 23 \ne 25$.
d) Sai. Số hạng tổng quát là: $u_n = u_1 + (n - 1)d = 5 + 2(n - 1) = 2n + 3$.
Xét bất phương trình:

$$u_n > 100 \Leftrightarrow 2n + 3 > 100 \Leftrightarrow 2n > 97 \Leftrightarrow n > 48,5$$

Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên giá trị nguyên dương nhỏ nhất của $n$ là $n = 49$. Do đó số hạng đầu tiên lớn hơn $100$ là $u_{49}$ (với $u_{49} = 101$), không phải $u_{50}$.

Câu 3.
Tam giác $ABC$ có ba góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ lập thành cấp số cộng và $\widehat{C} = 5\widehat{A}$.
a) Đúng. Ba số $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên theo tính chất ta có $\widehat{A} + \widehat{C} = 2\widehat{B}$.
b) Đúng. Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \Leftrightarrow 2\widehat{B} + \widehat{B} = 180^\circ \Leftrightarrow 3\widehat{B} = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat{B} = 60^\circ$$

c) Đúng. Ta có $\widehat{A} + \widehat{C} = 2\widehat{B} = 120^\circ$.
Mà $\widehat{C} = 5\widehat{A}$, suy ra $\widehat{A} + 5\widehat{A} = 120^\circ \Leftrightarrow 6\widehat{A} = 120^\circ \Leftrightarrow \widehat{A} = 20^\circ$.
d) Sai. Góc $\widehat{C} = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.
Công sai của cấp số cộng là:

$$d = \widehat{B} - \widehat{A} = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ \ne 30^\circ$$

Câu 4.
Rạp hát có $20$ hàng ghế, hàng thứ nhất có $15$ ghế, mỗi hàng sau hơn hàng trước $4$ ghế.
a) Đúng. Số ghế ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 15$ và công sai $d = 4$.
b) Sai. Số ghế ở hàng thứ $10$ là:
$u_{10} = u_1 + 9d = 15 + 9 \cdot 4 = 15 + 36 = 51 \ne 55$.
c) Đúng. Số ghế ở hàng thứ $20$ (hàng cuối cùng) là:
$u_{20} = u_1 + 19d = 15 + 19 \cdot 4 = 15 + 76 = 91$.
d) Đúng. Tổng số ghế của toàn bộ rạp hát là:

$$S_{20} = \dfrac{20 \cdot (u_1 + u_{20})}{2} = 10 \cdot (15 + 91) = 10 \cdot 106 = 1060$$

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
- Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

$$u_{15} = u_1 + 14d$$

- Thay số: $u_{15} = -3 + 14 \cdot 5 = -3 + 70 = 67$.
- Đáp số: $67$.

Câu 2.
- Ta có công thức tính tổng $12$ số hạng đầu:

$$S_{12} = \dfrac{12}{2} \cdot \left[2u_1 + (12 - 1)d\right] = 6 \cdot (2 \cdot 4 + 11d) = 6 \cdot (8 + 11d)$$

- Theo giả thiết $S_{12} = 246$, suy ra:

$$6 \cdot (8 + 11d) = 246 \Leftrightarrow 8 + 11d = 41 \Leftrightarrow 11d = 33 \Leftrightarrow d = 3$$

- Đáp số: $3$.

Câu 3.
- Ta có mối liên hệ giữa số hạng thứ $n$ và tổng $S_n$: $u_n = S_n - S_{n-1}$ (với mọi $n \ge 2$).
- Với $n = 8$, ta có:

$$S_8 = 3 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8 = 3 \cdot 64 - 16 = 192 - 16 = 176$$

$$S_7 = 3 \cdot 7^2 - 2 \cdot 7 = 3 \cdot 49 - 14 = 147 - 14 = 133$$

- Giá trị của số hạng thứ $8$ là:

$$u_8 = S_8 - S_7 = 176 - 133 = 43$$

- (Cách khác: $u_n = S_n - S_{n-1} = 3n^2 - 2n - [3(n-1)^2 - 2(n-1)] = 6n - 5 \Rightarrow u_8 = 6 \cdot 8 - 5 = 43$.)
- Đáp số: $43$.

Câu 4.
- Đổi đơn vị: $45\text{ km} = 45000\text{ m}$.
- Quãng đường người đó chạy mỗi ngày lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 1000$ (m) và công sai $d = 250$ (m).
- Gọi $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) là số ngày cần tìm. Tổng quãng đường chạy sau $n$ ngày là:

$$S_n = \dfrac{n}{2} \cdot \left[2u_1 + (n - 1)d\right] = \dfrac{n}{2} \cdot \left[2 \cdot 1000 + (n - 1) \cdot 250\right] = n \cdot (1000 + 125n - 125) = 125n^2 + 875n$$

- Theo đề bài, ta có phương trình:

$$125n^2 + 875n = 45000 \Leftrightarrow n^2 + 7n - 360 = 0$$

- Giải phương trình bậc hai:

$$(n - 15)(n + 24) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} n &= 15\quad \text{(thỏa mãn)} \\ n &= -24\quad \text{(loại)} \end{aligned}\right.$$

- Vậy sau $15$ ngày người đó hoàn thành tổng quãng đường $45$ km.
- Đáp số: $15$.

Câu 5.
- Vế trái là tổng của một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = 1$, công sai $d = 3$ và số hạng thứ $n$ là $u_n = 3n - 2$.
- Tổng của $n$ số hạng đầu tiên là:

$$S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n(1 + 3n - 2)}{2} = \dfrac{n(3n - 1)}{2}$$

- Đẳng thức đã cho tương đương với:

$$\dfrac{n(3n - 1)}{2} = 590 \Leftrightarrow 3n^2 - n - 1180 = 0$$

- Ta có $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1180) = 1 + 14160 = 14161 = 119^2$.
- Do $n$ nguyên dương nên:

$$n = \dfrac{1 + 119}{2 \cdot 3} = \dfrac{120}{6} = 20$$

- Đáp số: $20$.

Câu 6.
- Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ với $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ và $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
- Vì số đó là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị $c \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
- Ba chữ số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

$$a + c = 2b$$

Vì $2b$ chẵn và $c$ chẵn nên $a = 2b - c$ bắt buộc phải là một số chẵn khác $0$, tức là $a \in \{2, 4, 6, 8\}$.
- Khi $a$ và $c$ đều chẵn thì $a + c$ là số chẵn, do đó $b = \dfrac{a + c}{2}$ luôn là một số nguyên thỏa mãn $0 \le b \le 9$.
- Đồng thời, ba chữ số phải đôi một khác nhau:
- Nếu $a = c$ thì $b = \dfrac{a + a}{2} = a$, dẫn đến ba chữ số trùng nhau (loại).
- Do đó điều kiện đôi một khác nhau tương đương với $a \ne c$. Khi $a \ne c$, $b$ là trung điểm của đoạn nối $a$ và $c$ nên $b$ nằm giữa $a$ và $c$, hiển nhiên $b \ne a$ và $b \ne c$.
- Đếm số cặp $(a, c)$ thỏa mãn:
- Chọn $a \in \{2, 4, 6, 8\}$: có $4$ cách chọn.
- Chọn $c \in \{0, 2, 4, 6, 8\} \setminus \{a\}$: có $5 - 1 = 4$ cách chọn.
- Mỗi cặp $(a, c)$ xác định duy nhất một giá trị $b = \dfrac{a + c}{2}$.
- Vậy có tất cả:

$$4 \cdot 4 = 16\text{ số}$$

- (Các số cụ thể là: $210, 234, 246, 258, 420, 432, 456, 468, 630, 642, 654, 678, 840, 852, 864, 876$.)
- Đáp số: $16$.