PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 6: CHU VI VÀ DIỆN TÍCH CÁC HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 (1,5 điểm). Một khoảng sân chơi của trường học có dạng hình vuông với độ dài cạnh là $12\text{ m}$.
a) Tính chu vi và diện tích của sân chơi đó.
b) Nhà trường dự định dùng các viên gạch chống trượt hình vuông có cạnh $40\text{ cm}$ để lát kín toàn bộ sân chơi. Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu viên gạch như vậy (coi mạch vữa giữa các viên gạch là không đáng kể)?
c) Biết giá mỗi viên gạch là $25\,000$ đồng và tiền công thợ lát nền là $80\,000\text{ đồng/m}^2$. Tính tổng chi phí nhà trường cần chi trả để hoàn thiện việc lát gạch cho sân chơi.

Bài 2 (1,5 điểm). Một khu vườn thực nghiệm trồng rau sạch có dạng hình chữ nhật với chiều dài $24\text{ m}$ và chiều rộng bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều dài.
a) Tính chiều rộng và diện tích của khu vườn.
b) Người ta làm một hàng rào bằng lưới thép bao quanh khu vườn, chỉ để lại một cổng vào rộng $2\text{ m}$. Tính chiều dài lưới thép cần dùng để rào kín khu vườn.
c) Xung quanh phía trong khu vườn, người ta bớt lại một lối đi bộ rộng $1\text{ m}$ lát sỏi, phần đất còn lại ở giữa dùng để trồng rau. Tính diện tích phần đất dùng để trồng rau.

Bài 3 (1,5 điểm). Bác An thiết kế một bồn hoa dạng hình thoi $ABCD$ ở giữa sân trường với hai đường chéo $AC = 8\text{ m}$ và $BD = 6\text{ m}$. Độ dài mỗi cạnh của bồn hoa là $5\text{ m}$.
a) Tính chu vi và diện tích của bồn hoa hình thoi $ABCD$.
b) Bác An dự định trồng hoa hồng nhung trên bồn hoa đó, trung bình cứ $1\text{ m}^2$ cần trồng $9$ cây hoa giống. Hỏi bác An cần chuẩn bị bao nhiêu cây hoa hồng giống?
c) Từ tâm $O$ (giao điểm của hai đường chéo), bác An muốn lắp một vòi phun nước tự động có bán kính phun quay tròn và tiếp xúc vừa vặn với các cạnh của bồn hoa. Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến mỗi cạnh của bồn hoa (chiều cao hạ từ $O$ xuống cạnh $AB$).

Bài 4 (1,5 điểm). Một mảnh đất có dạng hình bình hành $MNPQ$ có độ dài cạnh đáy $MN = 18\text{ m}$, cạnh bên $MQ = 10\text{ m}$. Chiều cao tương ứng với cạnh đáy $MN$ là $h = 8\text{ m}$.
a) Tính chu vi và diện tích của mảnh đất hình bình hành $MNPQ$.
b) Chủ mảnh đất chia mảnh đất thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối từ đỉnh $M$ vuông góc với cạnh đối diện $PQ$ tại điểm $H$ ($H$ nằm trên đoạn $PQ$). Tính diện tích tam giác $MQH$ và diện tích tứ giác $MNPH$.
c) Nếu giữ nguyên chu vi của mảnh đất hình bình hành trên là $56\text{ m}$ nhưng thay đổi các kích thước cạnh đáy và chiều cao, hỏi diện tích lớn nhất mà mảnh đất có thể đạt được là bao nhiêu? Mảnh đất khi đó có dạng hình gì đặc biệt?

Bài 5 (1,5 điểm). Một thửa ruộng có dạng hình thang cân $ABCD$ có đáy nhỏ $AB = 15\text{ m}$, đáy lớn $CD = 25\text{ m}$, chiều cao $AH = 12\text{ m}$ và cạnh bên $AD = BC = 13\text{ m}$.
a) Tính chu vi và diện tích thửa ruộng hình thang cân $ABCD$.
b) Vụ mùa vừa qua, năng suất thu hoạch lúa trên thửa ruộng đạt trung bình $0,7\text{ kg thóc/m}^2$. Biết giá bán thóc tươi tại ruộng là $8\,500\text{ đồng/kg}$. Hỏi người nông dân thu được bao nhiêu tiền từ việc bán toàn bộ số thóc thu hoạch trên thửa ruộng đó?
c) Bác nông dân muốn mở rộng đáy lớn $CD$ về hai phía thêm một đoạn $x$ để diện tích thửa ruộng tăng thêm $20\%$ so với diện tích ban đầu (chiều cao và đáy nhỏ giữ nguyên). Tính độ dài $x$ cần mở rộng về mỗi phía của đáy lớn (biết hai phía mở rộng bằng nhau).

Bài 6 (1,5 điểm). Một mặt sàn văn phòng làm việc có sơ đồ dạng một đa giác khép kín được ghép bởi một hình chữ nhật $ABEF$ và một hình thang cân $BCDE$ kề nhau:
- Phần hình chữ nhật $ABEF$ có kích thước $AB = 12\text{ m}$, $AF = 8\text{ m}$.
- Phần hình thang cân $BCDE$ có đáy lớn $BE$ (chính là cạnh của hình chữ nhật), đáy nhỏ $CD = 6\text{ m}$, chiều cao của hình thang cân là $4\text{ m}$, hai cạnh bên $BC = DE = 5\text{ m}$.
a) Tính diện tích toàn bộ mặt sàn văn phòng.
b) Người ta cần viền nẹp nhôm xung quanh mép ngoài toàn bộ mặt sàn văn phòng (đường bao $A - F - E - D - C - B - A$). Tính tổng chiều dài nẹp nhôm cần mua.
c) Toàn bộ mặt sàn được lát bằng thảm trải sàn văn phòng: phần hình chữ nhật dùng loại thảm xanh có giá $180\,000\text{ đồng/m}^2$; phần hình thang dùng loại thảm xám có giá $220\,000\text{ đồng/m}^2$. Tính tổng số tiền mua thảm để trải kín mặt sàn.

Bài 7 (1,0 điểm). Một khoảng sân hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước chiều dài $AB = 20\text{ m}$ và chiều rộng $AD = 12\text{ m}$. Người ta dự định xây một bể cá ngầm ở giữa sân có dạng hình thoi $MNPQ$ với các đỉnh $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$.
a) Tính diện tích bể cá hình thoi $MNPQ$ và tỉ số giữa diện tích bể cá với diện tích khoảng sân.
b) Phần sân còn lại ngoài bể cá được chia thành bốn góc sân (bốn tam giác vuông). Chủ nhà muốn xếp các viên đá hình vuông có cạnh $20\text{ cm}$ để phủ kín phần lối đi này. Hỏi cần bao nhiêu viên đá lát sân?

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1

[Hình vẽ]

a) Chu vi của sân chơi hình vuông là:

$$C = 12 \cdot 4 = 48\text{ (m)}$$

Diện tích của sân chơi hình vuông là:

$$S = 12 \cdot 12 = 144\text{ (m}^2\text{)}$$

b) Đổi đơn vị độ dài cạnh viên gạch:

$$40\text{ cm} = 0,4\text{ m}$$

Diện tích một viên gạch lát nền là:

$$s = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16\text{ (m}^2\text{)}$$

Số viên gạch cần dùng để lát kín sân chơi là:

$$144 : 0,16 = 900\text{ (viên)}$$

c) Số tiền mua gạch lát nền là:

$$900 \cdot 25\,000 = 22\,500\,000\text{ (đồng)}$$

Tiền công thợ lát nền là:

$$144 \cdot 80\,000 = 11\,520\,000\text{ (đồng)}$$

Tổng chi phí nhà trường cần chi trả là:

$$22\,500\,000 + 11\,520\,000 = 34\,020\,000\text{ (đồng)}$$

Bài 2

[Hình vẽ]

a) Chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật là:

$$24 \cdot \dfrac{2}{3} = 16\text{ (m)}$$

Diện tích khu vườn là:

$$S = 24 \cdot 16 = 384\text{ (m}^2\text{)}$$

b) Chu vi của khu vườn là:

$$C = (24 + 16) \cdot 2 = 80\text{ (m)}$$

Vì người ta để lại cổng ra vào rộng $2\text{ m}$ nên chiều dài hàng rào lưới thép cần dùng là:

$$80 - 2 = 78\text{ (m)}$$

c) Khi bớt lối đi rộng $1\text{ m}$ xung quanh phía trong khu vườn:
- Chiều dài phần đất trồng rau bị giảm ở cả hai đầu:

$$24 - 1 \cdot 2 = 22\text{ (m)}$$

- Chiều rộng phần đất trồng rau bị giảm ở cả hai bên:

$$16 - 1 \cdot 2 = 14\text{ (m)}$$

Diện tích phần đất còn lại dùng để trồng rau là:

$$S_{\text{rau}} = 22 \cdot 14 = 308\text{ (m}^2\text{)}$$

Bài 3

[Hình vẽ]

a) Chu vi bồn hoa hình thoi $ABCD$ là:

$$C = 5 \cdot 4 = 20\text{ (m)}$$

Diện tích bồn hoa hình thoi $ABCD$ bằng nửa tích hai đường chéo:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\text{ (m}^2\text{)}$$

b) Số cây hoa giống bác An cần chuẩn bị là:

$$24 \cdot 9 = 216\text{ (cây)}$$

c) Hai đường chéo hình thoi cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau tại $O$, chia hình thoi thành 4 tam giác vuông bằng nhau: $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODA$.
Diện tích tam giác vuông $OAB$ là:

$$S_{OAB} = \dfrac{1}{4} S = \dfrac{24}{4} = 6\text{ (m}^2\text{)}$$

Mặt khác, diện tích tam giác $OAB$ còn được tính theo cạnh đáy $AB$ và chiều cao $h_O$ hạ từ $O$ xuống $AB$:

$$S_{OAB} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h_O$$

Suy ra chiều cao $h_O$ (khoảng cách từ $O$ đến cạnh $AB$) là:

$$h_O = \dfrac{2 \cdot S_{OAB}}{AB} = \dfrac{2 \cdot 6}{5} = 2,4\text{ (m)}$$

Bài 4

[Hình vẽ]

a) Chu vi mảnh đất hình bình hành $MNPQ$ là:

$$C = (MN + MQ) \cdot 2 = (18 + 10) \cdot 2 = 56\text{ (m)}$$

Diện tích mảnh đất hình bình hành là:

$$S = MN \cdot h = 18 \cdot 8 = 144\text{ (m}^2\text{)}$$

b) Xét tam giác vuông $MQH$ vuông tại $H$:
Trong tam giác vuông $MQH$, theo định lý Pythagore (hoặc bộ ba số quen thuộc $6 - 8 - 10$):

$$QH^2 = MQ^2 - MH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \implies QH = 6\text{ (m)}$$

Diện tích phần đất hình tam giác $MQH$ là:

$$S_{MQH} = \dfrac{1}{2} \cdot QH \cdot MH = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\text{ (m}^2\text{)}$$

Diện tích phần đất hình tứ giác $MNPH$ (hình thang vuông) là:

$$S_{MNPH} = S_{MNPQ} - S_{MQH} = 144 - 24 = 120\text{ (m}^2\text{)}$$

c) Gọi $a$ là độ dài cạnh đáy và $b$ là độ dài cạnh bên của hình bình hành ($a, b > 0$).
Nửa chu vi của hình bình hành là:

$$a + b = \dfrac{56}{2} = 28\text{ (m)}$$

Chiều cao $h$ tương ứng với cạnh đáy $a$ luôn thoả mãn $h \le b$ (đường vuông góc không lớn hơn đường xiên).
Do đó diện tích hình bình hành:

$$S = a \cdot h \le a \cdot b$$

Áp dụng bất đẳng thức giữa tổng và tích (hoặc bất đẳng thức Cauchy):

$$a \cdot b \le \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{28}{2}\right)^2 = 14^2 = 196$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $h = b$ (góc giữa hai cạnh bằng $90^\circ$) và $a = b = 14\text{ m}$.
Vậy diện tích lớn nhất có thể đạt được là $196\text{ m}^2$, khi đó mảnh đất có dạng hình vuông cạnh $14\text{ m}$.

Bài 5

[Hình vẽ]

a) Chu vi thửa ruộng hình thang cân $ABCD$ là:

$$C = AB + BC + CD + DA = 15 + 13 + 25 + 13 = 66\text{ (m)}$$

Diện tích thửa ruộng hình thang cân là:

$$S = \dfrac{(AB + CD) \cdot AH}{2} = \dfrac{(15 + 25) \cdot 12}{2} = \dfrac{40 \cdot 12}{2} = 240\text{ (m}^2\text{)}$$

b) Khối lượng thóc thu hoạch được trên toàn bộ thửa ruộng là:

$$240 \cdot 0,7 = 168\text{ (kg)}$$

Số tiền thu được từ việc bán số thóc là:

$$168 \cdot 8\,500 = 1\,428\,000\text{ (đồng)}$$

c) Diện tích tăng thêm của thửa ruộng là:

$$S_{\text{tăng}} = 240 \cdot 20\% = 48\text{ (m}^2\text{)}$$

Phần diện tích tăng thêm gồm hai tam giác có cùng chiều cao $AH = 12\text{ m}$, đáy mỗi tam giác bằng $x$.
Tổng diện tích hai phần tăng thêm là:

$$2 \cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot 12\right) = 12x\text{ (m}^2\text{)}$$

Theo đề bài:

$$12x = 48 \implies x = 48 : 12 = 4\text{ (m)}$$

Vậy mỗi phía đáy lớn cần mở rộng thêm $4\text{ m}$.

Bài 6

[Hình vẽ]

a) Diện tích phần hình chữ nhật $ABEF$ là:

$$S_1 = 12 \cdot 8 = 96\text{ (m}^2\text{)}$$

Phần hình thang cân $BCDE$ có:
- Đáy lớn $BE = AF = 8\text{ m}$ (vì $ABEF$ là hình chữ nhật).
- Đáy nhỏ $CD = 6\text{ m}$.
- Chiều cao $h = 4\text{ m}$.
Diện tích phần hình thang cân $BCDE$ là:

$$S_2 = \dfrac{(8 + 6) \cdot 4}{2} = 28\text{ (m}^2\text{)}$$

Diện tích toàn bộ mặt sàn văn phòng là:

$$S_{\text{sàn}} = S_1 + S_2 = 96 + 28 = 124\text{ (m}^2\text{)}$$

b) Viền nẹp nhôm bao quanh mép ngoài gồm các đoạn: $AF, FE, ED, DC, CB, BA$.
Trong đó:
- $AF = 8\text{ m}$, $AB = FE = 12\text{ m}$.
- $BC = DE = 5\text{ m}$, $CD = 6\text{ m}$.
Tổng chiều dài nẹp nhôm cần mua là:

$$L = AF + FE + ED + DC + CB + BA = 8 + 12 + 5 + 6 + 5 + 12 = 48\text{ (m)}$$

c) Chi phí mua thảm xanh cho phần hình chữ nhật là:

$$96 \cdot 180\,000 = 17\,280\,000\text{ (đồng)}$$

Chi phí mua thảm xám cho phần hình thang là:

$$28 \cdot 220\,000 = 6\,160\,000\text{ (đồng)}$$

Tổng số tiền mua thảm trải kín mặt sàn là:

$$17\,280\,000 + 6\,160\,000 = 23\,440\,000\text{ (đồng)}$$

Bài 7

[Hình vẽ]

a) Diện tích khoảng sân hình chữ nhật $ABCD$ là:

$$S_{ABCD} = 20 \cdot 12 = 240\text{ (m}^2\text{)}$$

Hình thoi $MNPQ$ có hai đường chéo là:
- $MP = AD = 12\text{ m}$
- $NQ = AB = 20\text{ m}$
Diện tích của bể cá hình thoi $MNPQ$ là:

$$S_{MNPQ} = \dfrac{1}{2} \cdot MP \cdot NQ = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 = 120\text{ (m}^2\text{)}$$

Tỉ số giữa diện tích bể cá và diện tích khoảng sân là:

$$\dfrac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}} = \dfrac{120}{240} = \dfrac{1}{2}$$

b) Diện tích phần sân còn lại cần lát đá là:

$$S_{\text{lối đi}} = S_{ABCD} - S_{MNPQ} = 240 - 120 = 120\text{ (m}^2\text{)}$$

Đổi đơn vị cạnh viên đá hình vuông:

$$20\text{ cm} = 0,2\text{ m}$$

Diện tích một viên đá lát sân là:

$$s = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04\text{ (m}^2\text{)}$$

Số viên đá cần chuẩn bị để lát kín phần sân là:

$$120 : 0,04 = 3\,000\text{ (viên)}$$