Phiếu bài tập Toán 11: Ứng dụng Cấp số nhân và Hàm số lượng giác

TRƯỜNG THPT …

TỔ TOÁN – TIN HỌC

Tài liệu học tập

PHIẾU BÀI TẬP ÔN TẬP TOÁN 11

Chuyên đề: Ứng dụng Cấp số nhân & Hàm số lượng giác

Năm học 2026 – 2027

DẠNG 1. BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG CẤP SỐ NHÂN

Câu 1. Một bài viết trên mạng xã hội vào ngày đầu tiên có $1\,250$ lượt chia sẻ. Kể từ ngày thứ hai, số lượt chia sẻ mỗi ngày tăng thêm $20\%$ so với ngày liền trước đó. Tính số lượt chia sẻ của bài viết đó trong ngày thứ tư.
Đáp án: ……………………

Câu 2. Trong phòng thí nghiệm, một mẻ cấy vi khuẩn ban đầu có $500$ cá thể. Biết rằng cứ sau mỗi chu kỳ $20$ phút thì số lượng tế bào vi khuẩn lại tăng gấp đôi. Hỏi sau $2$ giờ kể từ lúc bắt đầu cấy, mẻ thí nghiệm có tất cả bao nhiêu cá thể vi khuẩn?
Đáp án: ……………………

Câu 3. Một doanh nghiệp mua một chiếc máy in công nghiệp với giá ban đầu là $200$ triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy in đó lại giảm đi $10\%$ so với giá trị của năm liền trước đó. Hỏi sau $3$ năm sử dụng, giá trị còn lại của chiếc máy in là bao nhiêu triệu đồng?
Đáp án: ……………………

Câu 4. Một cốc nước nóng ở nhiệt độ ban đầu $80^\circ\text{C}$ được đặt vào phòng làm mát. Cứ sau mỗi khoảng thời gian $15$ phút, nhiệt độ của cốc nước giảm đi $20\%$ so với nhiệt độ của mốc thời gian liền trước đó. Hỏi sau $45$ phút kể từ lúc bắt đầu làm mát, nhiệt độ của cốc nước là bao nhiêu $^\circ\text{C}$ ?
Đáp án: ……………………

Câu 5. Một quả bóng cao su được thả rơi tự do từ độ cao $10$ m xuống nền sân phẳng. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy ngược lên một độ cao bằng $\dfrac{3}{5}$ độ cao của lần rơi liền trước. Hỏi ở lần nảy lên thứ ba, quả bóng đạt độ cao tối đa là bao nhiêu mét?
Đáp án: ……………………

DẠNG 2. BÀI TOÁN MÔ HÌNH HOÁ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 6. Công suất tiêu thụ điện năng của một phân xưởng sản xuất trong một ngày (từ 0 giờ đến 24 giờ) được mô hình hoá bởi hàm số:

$P(t) = 65 + 15\sin\left(\dfrac{\pi t}{12} - \dfrac{\pi}{6}\right)$

trong đó $P$ tính bằng kW và $t$ là thời gian tính bằng giờ ( $0 \le t \le 24$ ). Công suất tiêu thụ điện nhỏ nhất của phân xưởng trong ngày bằng bao nhiêu kW?
Đáp án: ……………………

Câu 7. Mực nước $h$ (tính bằng mét) tại một vịnh biển ở thời điểm $t$ giờ ( $0 \le t \le 24$ ) trong ngày được xác định theo công thức:

$h(t) = 4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) + 7$

Hỏi trong ngày, mực nước tại vịnh biển đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu mét?
Đáp án: ……………………

Câu 8. Độ sâu $d$ (tính bằng mét) của một dòng kênh theo thời gian $t$ (giờ) trong ngày ( $0 \le t \le 24$ ) được biểu diễn bởi hàm số:

$d(t) = 2\sin\left(\dfrac{\pi t}{8} - \dfrac{\pi}{4}\right) + 5$

Hỏi vào thời điểm mấy giờ trong ngày thì con kênh đạt độ sâu lớn nhất lần đầu tiên?
Đáp án: ……………………

Câu 9. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận ( $1 \le t \le 365, t \in \mathbb{Z}$ ) được mô hình hoá bởi hàm số:

$L(t) = 3\sin\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 80)\right] + 12$

Hỏi trong năm đó, ngày có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất của thành phố có bao nhiêu giờ chiếu sáng?
Đáp án: ……………………

Câu 10. Một vật nhỏ gắn vào đầu lò xo dao động điều hòa theo phương trình li độ:

$x(t) = 6\cos\left(4\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) - 2$

trong đó $x$ tính bằng xentimét và $t$ là thời gian tính bằng giây ( $t \ge 0$ ). Tìm giá trị lớn nhất của li độ $x$ (tính bằng cm) trong quá trình vật dao động.
Đáp án: ……………………

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu	Đáp án	Tóm tắt lời giải
1	$2160$	Số lượt chia sẻ mỗi ngày lập thành cấp số nhân có $u_1 = 1\,250$ và công bội $q = 1 + 20\% = 1{,}2$ . Lượt chia sẻ trong ngày thứ tư là: $u_4 = u_1 \cdot q^3 = 1\,250 \cdot (1{,}2)^3 = 2\,160$ (lượt).
2	$32000$	Thời gian $2$ giờ tương ứng với: $120 : 20 = 6$ chu kỳ. Số lượng vi khuẩn sau $n$ chu kỳ là $u_n = 500 \cdot 2^n$ . Sau 6 chu kỳ ( $2$ giờ), số vi khuẩn là: $u_6 = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32\,000$ (con).
3	$145{,}8$	Giá trị máy in sau mỗi năm tạo thành cấp số nhân với $u_0 = 200$ triệu và $q = 1 - 10\% = 0{,}9$ . Sau $3$ năm, giá trị còn lại của máy là: $u_3 = 200 \cdot (0{,}9)^3 = 200 \cdot 0{,}729 = 145{,}8$ (triệu đồng).
4	$40{,}96$	Thời gian $45$ phút gồm $45 : 15 = 3$ chu kỳ giảm. Nhiệt độ sau mỗi chu kỳ giảm $20\%$ , công bội $q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ . Nhiệt độ sau $45$ phút là: $T_3 = 80 \cdot (0{,}8)^3 = 80 \cdot 0{,}512 = 40{,}96^\circ\text{C}$ .
5	$2{,}16$	Độ cao bóng nảy ở lần 1: $h_1 = 10 \cdot \dfrac{3}{5} = 6$ m. Độ cao các lần nảy lập thành cấp số nhân có $h_1 = 6$ và $q = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ . Độ cao lần thứ ba: $h_3 = h_1 \cdot q^2 = 6 \cdot (0{,}6)^2 = 2{,}16$ m.
6	$50$	Vì $-1 \le \sin\left(\dfrac{\pi t}{12} - \dfrac{\pi}{6}\right) \le 1$ nên $P(t) \ge 65 + 15(-1) = 50$ kW. Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{\pi t}{12} - \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \iff t = -4 + 24k$ . Với $k = 1 \implies t = 20 \in [0; 24]$ . Vậy công suất nhỏ nhất là $50$ kW.
7	$11$	Ta có: $\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \le 1 \implies h(t) \le 4(1) + 7 = 11$ m. Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{\pi t}{6} = k2\pi \iff t = 12k$ . Với $k = 0 \implies t = 0 \in [0; 24]$ . Mực nước lớn nhất là $11$ m.
8	$6$	Hàm số $d(t)$ đạt cực đại khi $\sin\left(\dfrac{\pi t}{8} - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ . $\iff \dfrac{\pi t}{8} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \iff \dfrac{\pi t}{8} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \iff t = 6 + 16k$ . Vì $0 \le t \le 24$ nên thời điểm lớn nhất đầu tiên ứng với $k = 0$ , tức là lúc $6$ giờ.
9	$15$	Vì $\sin\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 80)\right] \le 1$ với mọi $t$ nên: $L(t) \le 3(1) + 12 = 15$ . Vậy ngày có nhiều giờ chiếu sáng nhất có $15$ giờ có ánh sáng mặt trời.
10	$4$	Do $\cos\left(4\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) \le 1$ nên li độ $x(t) \le 6(1) - 2 = 4$ cm. Dấu "=" xảy ra khi $\cos\left(4\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$ , có nghiệm $t \ge 0$ . Vậy giá trị lớn nhất của li độ là $4$ cm.

DẠNG 1. BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG CẤP SỐ NHÂN

DẠNG 2. BÀI TOÁN MÔ HÌNH HOÁ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Đề cùng môn Toán, lớp 11