Phiếu bài tập Toán 11 – Chương IV: Quan hệ song song trong không gian

BÀI 10. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Câu 1. Câu mẫu. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Lời giải

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Điểm $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Vì $O \in AC$ và $O \in BD$ nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng đó.

Vậy $(SAC) \cap (SBD) = SO$.

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB \parallel CD$ và $AB > CD$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Xác định giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$.

Câu 3. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AB$, $AC$ và khác các đầu mút. Xác định giao tuyến của $(DMN)$ và $(ABC)$; của $(DMN)$ và $(ABD)$.

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Câu 4. Câu mẫu. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $M$ là trung điểm của $SC$. Tìm giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $(SBD)$.

Lời giải

Trong mặt phẳng $(SAC)$, hai đường thẳng $AM$ và $SO$ cắt nhau tại $I$: thật vậy, chúng là hai đường trung tuyến của tam giác $SAC$.

Ta có $I \in SO \subset (SBD)$ và $I \in AM$.

Vậy $AM \cap (SBD) = I$, trong đó $I = AM \cap SO$.

Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Tìm giao điểm của $AN$ với mặt phẳng $(MCD)$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$, khác $S$ và $A$. Tìm giao điểm của $BM$ với mặt phẳng $(SAC)$.

Dạng 3. Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Câu 7. Câu mẫu. Cho tứ diện $ABCD$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt các đường thẳng $AB$, $AC$, $AD$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$; các giao điểm khác các đỉnh. Gọi $I = MN \cap BC$, $J = NP \cap CD$, $K = MP \cap BD$. Chứng minh $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.

Lời giải

Vì $I \in MN \subset (P)$ và $I \in BC \subset (BCD)$ nên $I$ thuộc cả $(P)$ và $(BCD)$.

Tương tự, $J$ và $K$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(BCD)$.

Do đó $I$, $J$, $K$ cùng thuộc giao tuyến của $(P)$ và $(BCD)$, nên chúng thẳng hàng.

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AB$ không song song với $CD$. Gọi $I = AB \cap CD$, $J = AC \cap BD$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$, $Q$. Giả sử $MN$ cắt $PQ$ tại $K$, $MP$ cắt $NQ$ tại $L$. Chứng minh $S$, $I$, $K$ thẳng hàng và $S$, $J$, $L$ thẳng hàng.

Câu 9. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là điểm thuộc các cạnh $AB$, $AC$ sao cho $MN$ không song song với $BC$. Đặt $I = MN \cap BC$. Chứng minh ba đường thẳng $DM$, $BN$ và $DI$ cùng nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ hoặc chỉ rõ khẳng định nào không đúng; từ đó xác định giao tuyến của $(DMN)$ và $(BCD)$.

BÀI 11. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng song song

Câu 1. Câu mẫu. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Chứng minh $MN \parallel BC$.

Lời giải

Trong tam giác $ABC$, $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$.

Vì vậy $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MN \parallel BC$.

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SD$. Chứng minh $MN \parallel BC$.

Câu 3. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Dạng 2. Xác định giao tuyến nhờ quan hệ song song

Câu 4. Câu mẫu. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$.

Lời giải

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$.

Mặt phẳng $(SAB)$ chứa $AB$, mặt phẳng $(SCD)$ chứa $CD$ và $AB \parallel CD$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$, $CD$.

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AB \parallel CD$. Xác định giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ khi $AD$ cắt $BC$; xác định giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$.

Câu 6. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $BC$. Xác định giao tuyến của $(DMN)$ và $(DAB)$.

Dạng 3. Vận dụng định lí Thales trong không gian

Câu 7. Câu mẫu. Cho tứ diện $ABCD$. Trên $AB$, $AC$ lần lượt lấy $M$, $N$ sao cho $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{3}$. Biết $BC = 9$ cm. Tính $MN$.

Lời giải

Trong tam giác $ABC$, vì $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ nên theo định lí Thales đảo, $MN \parallel BC$.

Do đó $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{3}$.

Suy ra $MN = \dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6$ cm.

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ và $SM = \dfrac{1}{4}SA$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $SB$ tại $N$. Biết $AB = 12$ cm. Tính $MN$.

Câu 9. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$, $AC$ sao cho $AM = 2MB$ và $MN \parallel BC$. Gọi $P$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $MP \parallel BD$. Tính $\dfrac{AN}{AC}$, $\dfrac{AP}{AD}$ và chứng minh $NP \parallel CD$.

BÀI 12. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Câu 1. Câu mẫu. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Chứng minh $AB \parallel (SCD)$.

Lời giải

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$.

Ta có $CD \subset (SCD)$ và $AB$ không nằm trong $(SCD)$ vì $(SCD)$ cắt mặt phẳng đáy theo $CD$.

Vậy $AB \parallel (SCD)$.

Câu 2. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Chứng minh $MN \parallel (BCD)$.

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$. Chứng minh $MN \parallel (ABCD)$ và $MN \parallel (SCD)$.

Dạng 2. Tìm giao tuyến bằng đường thẳng song song với mặt phẳng

Câu 4. Câu mẫu. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Xác định giao tuyến của $(DMN)$ và $(BCD)$.

Lời giải

Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN \parallel BC$.

Hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(BCD)$ có điểm chung $D$, đồng thời lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MN$ và $BC$.

Vậy giao tuyến cần tìm là đường thẳng đi qua $D$ và song song với $BC$.

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$, chứa $BC$ và cắt $SD$ tại $N$. Xác định giao tuyến của $(P)$ với $(SAD)$; chứng minh $MN \parallel AD$.

Câu 6. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$, chứa $CD$ và cắt $AC$ tại $N$. Xác định giao tuyến của $(P)$ và $(ABC)$.

Dạng 3. Xác định thiết diện

Câu 7. Câu mẫu. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $MN$ và song song với $AD$. Xác định thiết diện của tứ diện với $(P)$.

Lời giải

Trong mặt phẳng $(ABD)$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AD$, cắt $BD$ tại $Q$. Khi đó $Q$ là trung điểm của $BD$.

Trong mặt phẳng $(ACD)$, qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$, cắt $CD$ tại $P$. Khi đó $P$ là trung điểm của $CD$.

Các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ đều thuộc mặt phẳng đã cho. Thiết diện là tứ giác $MNPQ$.

Vì $MN \parallel PQ \parallel BC$ và $NP \parallel MQ \parallel AD$ nên thiết diện là hình bình hành.

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$, song song với $AB$ và $AD$. Xác định thiết diện của hình chóp với $(P)$.

Câu 9. Cho tứ diện $ABCD$. Điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM = \dfrac{1}{3}AB$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$, song song với $AC$ và $AD$. Xác định thiết diện của tứ diện với $(P)$ và tính tỉ số diện tích thiết diện với diện tích tam giác $BCD$.

BÀI 13. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song

Câu 1. Câu mẫu. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$, $AD$. Chứng minh $(MNP) \parallel (BCD)$.

Lời giải

Trong tam giác $ABC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN \parallel BC$.

Trong tam giác $ABD$, $MP$ là đường trung bình nên $MP \parallel BD$.

Hai đường thẳng $MN$, $MP$ cắt nhau và cùng thuộc $(MNP)$; hai đường thẳng $BC$, $BD$ cắt nhau và cùng thuộc $(BCD)$.

Vậy $(MNP) \parallel (BCD)$.

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$, $SD$. Chứng minh $(MNP) \parallel (ABCD)$.

Câu 3. Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ lần lượt lấy $M$, $N$, $P$ sao cho $AM = \dfrac{2}{3}AB$, $AN = \dfrac{2}{3}AC$, $AP = \dfrac{2}{3}AD$. Chứng minh $(MNP) \parallel (BCD)$.

Dạng 2. Vận dụng tính chất hai mặt phẳng song song

Câu 4. Câu mẫu. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$, $AD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ và $I = AG \cap (MNP)$. Tính $\dfrac{AI}{AG}$.

Lời giải

Gọi $E$ là trung điểm của $CD$. Khi đó $G \in BE$.

Vì $(MNP) \parallel (BCD)$ nên $AG$ cắt $(MNP)$ tại $I$ và, trong mặt phẳng $(ABG)$, giao tuyến qua $M$ của $(MNP)$ với $(ABG)$ song song với $BG$.

Theo định lí Thales trong tam giác $ABG$, $\dfrac{AI}{AG} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{2}$.

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$. Một mặt phẳng song song với đáy cắt $SA$, $SB$ lần lượt tại $M$, $N$. Biết $SM = 3$ cm, $MA = 2$ cm và $SB = 10$ cm. Tính $SN$.

Câu 6. Cho tứ diện $ABCD$. Một mặt phẳng song song với $(BCD)$ cắt $AB$, $AC$, $AD$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Biết $AM = \dfrac{2}{5}AB$ và diện tích tam giác $BCD$ bằng $50$ cm². Tính diện tích tam giác $MNP$.

Dạng 3. Thiết diện song song với một mặt phẳng

Câu 7. Câu mẫu. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Mặt phẳng qua $M$ song song với đáy cắt $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $N$, $P$, $Q$. Xác định hình dạng và tính diện tích $MNPQ$ biết diện tích đáy bằng $40$ cm².

Lời giải

Do mặt phẳng $(MNPQ)$ song song với đáy, các giao tuyến tương ứng song song: $MN \parallel AB$, $NP \parallel BC$, $PQ \parallel CD$, $QM \parallel DA$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $MNPQ$ là hình bình hành.

Theo định lí Thales, $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{SQ}{SD} = \dfrac{1}{2}$.

Phép vị tự tâm $S$, tỉ số $\dfrac{1}{2}$ biến đáy $ABCD$ thành thiết diện $MNPQ$. Vậy diện tích thiết diện bằng $\dfrac{1}{4} \cdot 40 = 10$ cm².

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB = 8$ cm, $AD = 6$ cm. Mặt phẳng song song với đáy cắt $SA$ tại $M$ sao cho $SM = \dfrac{3}{4}SA$. Xác định hình dạng và tính diện tích thiết diện.

Câu 9. Cho tứ diện $ABCD$ có diện tích tam giác $BCD$ bằng $36$ cm². Một mặt phẳng song song với $(BCD)$ cắt $AB$ tại $M$ và tạo thành thiết diện có diện tích $16$ cm². Tính tỉ số $\dfrac{AM}{AB}$.

BÀI 14. PHÉP CHIẾU SONG SONG

Dạng 1. Xác định hình chiếu song song của điểm và đường thẳng

Câu 1. Câu mẫu. Cho tứ diện $ABCD$. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng $(ABC)$ theo phương $CD$. Xác định hình chiếu của $D$ và của đường thẳng $AD$.

Lời giải

Đường thẳng qua $D$ song song với phương chiếu $CD$ chính là $CD$; đường thẳng này cắt $(ABC)$ tại $C$. Vậy hình chiếu của $D$ là $C$.

Điểm $A$ thuộc mặt phẳng chiếu nên hình chiếu của $A$ là $A$.

Vì $AD$ không song song với phương chiếu nên hình chiếu của đường thẳng $AD$ là đường thẳng $AC$.

Câu 2. Cho tứ diện $ABCD$. Xét phép chiếu song song lên $(ABC)$ theo phương $AD$. Xác định hình chiếu của $D$, $B$ và đường thẳng $BD$.

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng đáy theo phương $SA$. Xác định hình chiếu của $S$, đường thẳng $SB$ và tam giác $SBC$.

Dạng 2. Vận dụng tính chất bảo toàn song song và tỉ số

Câu 4. Câu mẫu. Phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$. Điểm $M$ là trung điểm của $BC$ và có hình chiếu là $M'$. Chứng minh $M'$ là trung điểm của $B'C'$.

Lời giải

Phép chiếu song song bảo toàn sự thẳng hàng và tỉ số của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M'$ thuộc $B'C'$ và $\dfrac{B'M'}{M'C'} = \dfrac{BM}{MC} = 1$.

Vậy $M'$ là trung điểm của $B'C'$.

Câu 5. Phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$. Điểm $N$ thuộc $AC$ và $AN = 2NC$. Gọi $N'$ là hình chiếu của $N$. Tính $\dfrac{A'N'}{N'C'}$.

Câu 6. Phép chiếu song song biến hình bình hành $ABCD$ thành tứ giác $A'B'C'D'$ không suy biến. Chứng minh $A'B'C'D'$ là hình bình hành.

Dạng 3. Biểu diễn hình không gian bằng phép chiếu song song

Câu 7. Câu mẫu. Hình biểu diễn của tam giác $ABC$ là tam giác $A'B'C'$. Trình bày cách biểu diễn trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Hình chiếu $M'$ của $M$ là trung điểm của $B'C'$.

Trọng tâm $G$ thuộc $AM$ và $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ số trên một đường thẳng, hình biểu diễn $G'$ của $G$ là điểm thuộc $A'M'$ sao cho $A'G' = \dfrac{2}{3}A'M'$.

Câu 8. Hình biểu diễn của tứ diện $ABCD$ là tứ diện $A'B'C'D'$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là điểm thuộc $CD$ sao cho $CN = 2ND$. Trình bày cách xác định hình biểu diễn của đoạn $MN$.

Câu 9. Hình biểu diễn của hình bình hành $ABCD$ là hình bình hành $A'B'C'D'$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $M$ là trung điểm của $AB$. Trình bày cách xác định hình biểu diễn của đường thẳng $OM$ và giải thích.

--------- HẾT ---------

Họ và tên học sinh: ................................................ Lớp: ........................