Kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 8 - Đề số 02 năm học 2026-2027

Đáp án

A

D

A

C

B

D

Đáp án

A

C

A

C

D

B

Bài 1
(1,5 điểm)

a

Tính giá trị biểu thức $B$ khi $x - y = 3$ (0,75 điểm)

0,75

Ta có: $B = [x^3 - 3xy(x - y) - y^3] - 3(x^2 - 2xy + y^2)$

0,25

$= (x - y)^3 - 3(x - y)^2$

0,25

Thay $x - y = 3$ vào biểu thức, ta được:
$B = 3^3 - 3 \cdot 3^2 = 27 - 27 = 0$

0,25

b

Tính các góc chưa biết của tứ giác $ABCD$ (0,75 điểm)

0,75

Áp dụng định lí tổng các góc trong tứ giác $ABCD$:
$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$
$\Rightarrow 100^\circ + 90^\circ + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ \Rightarrow \widehat{C} + \widehat{D} = 170^\circ$

0,25

Theo giả thiết: $\widehat{C} = \widehat{D} + 46^\circ$, suy ra:
$(\widehat{D} + 46^\circ) + \widehat{D} = 170^\circ \Rightarrow 2\widehat{D} = 124^\circ \Rightarrow \widehat{D} = 62^\circ$

0,25

Khi đó: $\widehat{C} = 62^\circ + 46^\circ = 108^\circ$

0,25

Bài 2
(1,5 điểm)

a

Thực hiện phép tính (0,5 điểm)

0,5

$2xy(x + 3y) - (5x + y)(-xy + 2x^2) - 10x^3(xy^2 - 1)$
$= 2x^2y + 6xy^2 - (-5x^2y + 10x^3 - xy^2 + 2x^2y) - 10x^4y^2 + 10x^3$

0,25

$= 2x^2y + 6xy^2 - (-3x^2y + 10x^3 - xy^2) - 10x^4y^2 + 10x^3$
$= 2x^2y + 6xy^2 + 3x^2y - 10x^3 + xy^2 - 10x^4y^2 + 10x^3$
$= 5x^2y + 7xy^2 - 10x^4y^2$

0,25

b

Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức (0,5 điểm)

0,5

$(5xy^2 + 9xy - x^2y^2) : xy = (5xy^2 : xy) + (9xy : xy) - (x^2y^2 : xy)$

0,25

$= 5y + 9 - xy$

0,25

c

Tính tổng $P + Q$ (0,5 điểm)

0,5

$P + Q = (x^2y + 2x^3 - xy^2 + 5) + (x^3 + xy^2 - 2x^2y - 6)$
$= (2x^3 + x^3) + (x^2y - 2x^2y) + (-xy^2 + xy^2) + (5 - 6)$

0,25

$= 3x^3 - x^2y - 1$

0,25

Bài 3
(1,0 điểm)

a

Tìm $x$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có: $(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 27$
$6(x + 1)^2 = 6(x^2 + 2x + 1) = 6x^2 + 12x + 6$

0,25

Biến đổi phương trình:
$(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - (x^3 - 27) + (6x^2 + 12x + 6) = 15$
$\Leftrightarrow 24x + 25 = 15 \Leftrightarrow 24x = -10 \Leftrightarrow x = -\dfrac{5}{12}$

0,25

b

Chứng minh biểu thức $M$ không phụ thuộc vào biến (0,5 điểm)

0,5

$M = 2x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 3x(x^2 - 4) - 3(x^2 + 5x - 9)$
$= 3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 3x^3 + 12x - 3x^2 - 15x + 27$

0,25

$= (3x^3 - 3x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (3x + 12x - 15x) + (1 + 27) = 28$
Vậy giá trị của biểu thức $M$ luôn bằng $28$, không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$.

0,25

Bài 4
(2,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Chứng minh tứ giác $ABDM$ là hình thoi và $AM \perp CD$ (1,0 điểm)

1,0

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $H$ nên $H$ là trung điểm của $AD$.
Do $AH \perp BC$ tại $H$ nên $AD \perp BM$ tại $H$.
Xét $\triangle ABH$ và $\triangle DBH$ vuông tại $H$ có: $HA = HD$; $HB$ chung.
Suy ra $\triangle ABH = \triangle DBH \Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{BDH}$ và $AB = BD$.

0,25

Ta có $DM \parallel AB \Rightarrow \widehat{BDM} = \widehat{ABD}$ (so le trong).
Lại có $\triangle ABH = \triangle DBH \Rightarrow \widehat{ABH} = \widehat{DBH} \Rightarrow BD$ là phân giác $\widehat{ABM}$.
Từ đó $\widehat{BDM} = \widehat{MBD} \Rightarrow \triangle DBM$ cân tại $M \Rightarrow DM = BM$.
Mặt khác, $\triangle AHB = \triangle DHM$ (g.c.g) suy ra $HB = HM$.
Tứ giác $ABDM$ có hai đường chéo $AD$ và $BM$ cắt nhau tại trung điểm $H$ của mỗi đường nên là hình bình hành. Lại có $AD \perp BM$ nên $ABDM$ là hình thoi.

0,25

Trong $\triangle ACD$, ta có $CH \perp AD$ nên $CH$ là đường cao xuất phát từ đỉnh $C$.
Vì $ABDM$ là hình thoi nên $DM \parallel AB$. Mà $AB \perp AC$ nên $DM \perp AC$.
Suy ra $DN$ là đường cao xuất phát từ đỉnh $D$ của $\triangle ACD$.

0,25

Đường cao $CH$ (chính là đường thẳng $BC$) và đường cao $DN$ cắt nhau tại $M$, do đó $M$ là trực tâm của $\triangle ACD$.
Suy ra $AM$ là đường cao thứ ba của $\triangle ACD$, hay $AM \perp CD$.

0,25

b

Chứng minh $IN \perp HN$ (1,0 điểm)

1,0

Xét $\triangle AND$ vuông tại $N$ (do $DN \perp AC$), có $H$ là trung điểm của cạnh huyền $AD$.
Suy ra $HN$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AD$:
$HN = HA = HD = \dfrac{AD}{2} \Rightarrow \triangle HAN$ cân tại $H \Rightarrow \widehat{HNA} = \widehat{HAN}$.

0,25

Xét $\triangle MNC$ vuông tại $N$ (do $DN \perp AC$), có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $MC$.
Suy ra $IN$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $MC$:
$IN = IC = IM = \dfrac{MC}{2} \Rightarrow \triangle INC$ cân tại $I \Rightarrow \widehat{INC} = \widehat{ICN}$.

0,25

Vì ba điểm $A, N, C$ thẳng hàng nên: $\widehat{HNA} + \widehat{HNI} + \widehat{INC} = 180^\circ$
$\Rightarrow \widehat{HNI} = 180^\circ - (\widehat{HNA} + \widehat{INC}) = 180^\circ - (\widehat{HAN} + \widehat{ICN})$.

0,25

Trong tam giác vuông $AHC$ vuông tại $H$, hai góc nhọn phụ nhau:
$\widehat{HAC} + \widehat{HCA} = 90^\circ$ hay $\widehat{HAN} + \widehat{ICN} = 90^\circ$.
Do đó: $\widehat{HNI} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \Rightarrow IN \perp HN$.

0,25

Bài 5
(1,0 điểm)

a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có:
$A = 13x^2 + y^2 + 4xy - 2y - 16x + 2019$
$= (4x^2 + 4xy + y^2) - 2(2x + y) + 1 + (9x^2 - 12x + 4) + 2014$
$= [(2x + y)^2 - 2(2x + y) + 1] + (3x - 2)^2 + 2014$
$= (2x + y - 1)^2 + (3x - 2)^2 + 2014$

0,25

Vì $(2x + y - 1)^2 \ge 0$ và $(3x - 2)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$, suy ra $A \ge 2014$.
Dấu "=" xảy ra khi: $\begin{cases} 3x - 2 = 0 \\ 2x + y - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{2}{3} \\ y = -\dfrac{1}{3} \end{cases}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $2014$, đạt được khi $x = \dfrac{2}{3}; y = -\dfrac{1}{3}$.

0,25

b

Tính giá trị biểu thức $B$ (0,5 điểm)

0,5

Biến đổi $B = \dfrac{6x - 4y}{3x + 2y} = \dfrac{2(3x - 2y)}{3x + 2y}$.
Ta có:
$(3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2 = (9x^2 + 4y^2) - 12xy = 20xy - 12xy = 8xy$.
$(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2 = (9x^2 + 4y^2) + 12xy = 20xy + 12xy = 32xy$.

0,25

Xét $B^2 = \dfrac{4(3x - 2y)^2}{(3x + 2y)^2} = \dfrac{4 \cdot 8xy}{32xy} = \dfrac{32xy}{32xy} = 1$.
Vì $3x > 2y > 0 \Rightarrow 3x - 2y > 0$ và $3x + 2y > 0$, suy ra $B > 0$.
Do $B^2 = 1$ và $B > 0$, ta được $B = 1$.

0,25