Đề kiểm tra Học kỳ I môn Toán lớp 11 (Nâng cao tính phân loại)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Giá trị của biểu thức $P = \cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)$ bằng

Câu 2 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{2\sin x + 1}{\cos x - 1}$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 3\sin^2 x - 4\cos^2 x + 2$ lần lượt là

Câu 4 (0,25 điểm). Số nghiệm của phương trình lượng giác $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ trên đoạn $[-\pi; \pi]$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 6 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_2 + u_5 = 16 \\ u_4 + u_6 = 22 \end{cases}$. Công sai $d$ của cấp số cộng đó là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = -2$. Số hạng thứ 7 của cấp số nhân đã cho là

Câu 8 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày của 40 học sinh lớp 11A được ghi lại trong bảng số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ cùng song song với mặt phẳng $(P)$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 11 (0,25 điểm). Tập nghiệm của phương trình lượng giác $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$ là

Câu 12 (0,25 điểm). Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \dots + \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} + \dots$ bằng

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 13 đến Câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 13 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = 2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin 2x - 1$ và phương trình $f(x) = m$ ($m$ là tham số thực).
a) Hàm số $f(x)$ có thể biến đổi về dạng $f(x) = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
b) Chu kì tuần hoàn của hàm số $f(x)$ là $T = 2\pi$.
c) Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng 2.
d) Có đúng 4 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x) = m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Câu 14 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 3$ và $u_{n+1} = 3u_n - 4$ với mọi $n \ge 1$. Đặt $v_n = u_n - 2$ với mọi $n \ge 1$.
a) Ba số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ lần lượt là $u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 11$.
b) Dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $v_1 = 1$ và công bội $q = 3$.
c) Số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là $u_n = 3^n - 1$.
d) Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ là $S_{10} = \dfrac{3^{10} + 39}{2}$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 15 đến Câu 18.

Câu 15 (0,5 điểm). Tìm số nghiệm thuộc khoảng $(0; 2\pi)$ của phương trình lượng giác $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x$.

Câu 16 (0,5 điểm). Một cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công sai $d = 3$. Biết tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là $S_n = 390$. Tìm $n$.

Câu 17 (0,5 điểm). Một khán đài nhà hát có tất cả 25 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 18 ghế, mỗi hàng tiếp theo nhiều hơn hàng ngay trước nó 3 ghế. Hỏi khán đài nhà hát đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Câu 18 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$) với đáy lớn $AB = 2CD$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $SD$ sao cho $SM = 2MD$. Mặt phẳng $(ABM)$ cắt cạnh bên $SC$ tại điểm $N$. Tính tỉ số $\dfrac{SC}{SN}$ (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các câu hỏi từ Câu 19 đến Câu 22.

Câu 19 (1,0 điểm). Giải phương trình lượng giác:

$$\sin 3x - \sqrt{3}\cos 3x = 2\cos 2x$$

Câu 20 (0,75 điểm). Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân $(u_n)$ biết rằng các số hạng của cấp số nhân đều mang giá trị dương và thỏa mãn hệ phương trình:

$$\begin{cases} u_2 + u_4 = 60 \\ u_3 + u_5 = 180 \end{cases}$$

Câu 21 (0,75 điểm). Một người gửi 250 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất cố định $6,5\%$/năm (tiền lãi của mỗi năm được cộng gộp vào vốn để tính lãi cho năm kế tiếp).
a) Viết công thức tính số tiền $A_n$ (cả gốc lẫn lãi, đơn vị triệu đồng) mà người đó nhận được sau $n$ năm gửi.
b) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó sẽ nhận được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi vượt quá 400 triệu đồng?

Câu 22 (0,5 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{\sqrt{1 + 3u_n^2}}$ với mọi $n \ge 1$.
Tính giá trị của biểu thức:

$$S = \dfrac{1}{u_1^2} + \dfrac{1}{u_2^2} + \dfrac{1}{u_3^2} + \dots + \dfrac{1}{u_{50}^2}$$

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm bài theo cách khác nếu đúng và chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa tương ứng theo thang điểm của từng câu.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu thành phần, giữ nguyên không làm tròn số.
- Ở các câu tự luận, bước biến đổi nào sai thì các bước suy luận liền sau dựa trên kết quả đó không được tính điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

I. PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

II. PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Điểm tối đa cho mỗi câu là 1,0 điểm:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu được 0,10 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu được 0,50 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu được 1,00 điểm.

III. PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

IV. PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)