Đề thi Toán 10 phong cách AMC – TIMO (Bất đẳng thức & Giá trị tuyệt đối)

1

B

Áp dụng $|x - 1| + |x - 7| \ge |(7 - x) + (x - 1)| = 6$. Vì $|x - 3| \ge 0$, dấu bằng đồng thời xảy ra khi $x = 3$. Giá trị nhỏ nhất là $f(3) = 2 + 0 + 4 = 6$.

1,0

2

B

Ta có $|2x - 3| + |2x + 5| = |3 - 2x| + |2x + 5| \ge |(3 - 2x) + (2x + 5)| = 8$.
Do đó BPT tương đương dấu bằng xảy ra: $(3 - 2x)(2x + 5) \ge 0 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}$.
Các nghiệm nguyên gồm $x \in \{-2; -1; 0; 1\}$, có đúng $4$ nghiệm.

1,0

3

C

Từ giả thiết: $-1 \le x \le 1 \Rightarrow -2 \le 2x \le 2$ và $|y - 2| \le 3 \Leftrightarrow -1 \le y \le 5 \Rightarrow -5 \le -y \le 1$.
Cộng vế với vế: $-2 + (-5) + 1 \le 2x - y + 1 \le 2 + 1 + 1 \Leftrightarrow -6 \le 2x - y + 1 \le 4$.
Suy ra $|2x - y + 1| \le \max(|-6|; |4|) = 6$. Dấu bằng đạt được khi $x = -1, y = 5$.

1,0

4

C

Số cặp nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $|x| + |y| \le 3$:
- $|x| = 0 \Rightarrow |y| \le 3 \Rightarrow y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\}$: có $7$ nghiệm.
- $|x| = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ ($2$ cách), $|y| \le 2$ ($5$ giá trị của $y$): có $2 \times 5 = 10$ nghiệm.
- $|x| = 2 \Rightarrow x = \pm 2$ ($2$ cách), $|y| \le 1$ ($3$ giá trị của $y$): có $2 \times 3 = 6$ nghiệm.
- $|x| = 3 \Rightarrow x = \pm 3$ ($2$ cách), $|y| = 0$ ($1$ giá trị của $y$): có $2 \times 1 = 2$ nghiệm.
Tổng số điểm nguyên: $7 + 10 + 6 + 2 = 25$.

1,0

5

A

Ta viết lại $M = \sqrt{(x - 2)^2 + 1^2} + \sqrt{(5 - x)^2 + 2^2}$.
Trong mặt phẳng $Oxy$, xét $\vec{u} = (x - 2; 1)$ và $\vec{v} = (5 - x; 2)$.
Áp dụng bất đẳng thức $|\vec{u}| + |\vec{v}| \ge |\vec{u} + \vec{v}|$, ta có:
$M \ge \sqrt{[(x - 2) + (5 - x)]^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \dfrac{x - 2}{5 - x} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = 3$.

1,0

Câu 6

Giải phương trình: $|x^2 - 3x + 2| + |x - 1| = 0$

1,0

Vì $|A| \ge 0$ và $|B| \ge 0$ với mọi số thực, nên tổng $|A| + |B| = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ và $B = 0$ đồng thời xảy ra.

0,25

Do đó ta có hệ điều kiện: $\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases}$

0,25

Từ phương trình thứ hai ta được $x = 1$.

0,25

Thay $x = 1$ vào phương trình thứ nhất: $1^2 - 3(1) + 2 = 0$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x = 1$.

0,25

Câu 7

Tìm GTNN của $P(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 2026|$

1,0

Biểu thức có $2026$ số hạng. Ghép cặp đối xứng từ ngoài vào trong:
$P(x) = \sum_{k=1}^{1013} \left( |x - k| + |x - (2027 - k)| \right)$

0,25

Áp dụng bất đẳng thức $|a| + |b| \ge |a - b|$, với mỗi cặp $k \in \{1; 2; \dots; 1013\}$ ta có:
$|x - k| + |x - (2027 - k)| = |x - k| + |(2027 - k) - x| \ge (2027 - k) - k = 2027 - 2k$.

0,25

Cộng từng vế $1013$ bất đẳng thức trên:
$P(x) \ge \sum_{k=1}^{1013} (2027 - 2k) = 2027 \times 1013 - 2 \cdot \dfrac{1013 \times 1014}{2} = 1013^2 = 1\,026\,169$.

0,25

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở mọi cặp đều xảy ra, tức là:
$k \le x \le 2027 - k$ đúng với mọi $k = 1, 2, \dots, 1013$.
Điều này tương đương với $1013 \le x \le 1014$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P(x)$ là $1\,026\,169$, đạt được khi $x \in [1013; 1014]$.

0,25

Câu 8

Giải bất phương trình: $\dfrac{|x + 2| - 1}{|x + 2| - 3} \le 0$

1,0

Đặt $t = |x + 2|$, điều kiện $t \ge 0$. Bất phương trình trở thành:
$\dfrac{t - 1}{t - 3} \le 0$

0,25

Xét dấu phân thức bậc nhất, nghiệm của tử là $t = 1$, mẫu là $t = 3$.
Phân thức mang dấu không dương khi $1 \le t < 3$.

0,25

Thay lại $t = |x + 2|$, ta có hệ bất phương trình kép:
$1 \le |x + 2| < 3$

0,25

Giải hệ kép:
- $|x + 2| < 3 \Leftrightarrow -3 < x + 2 < 3 \Leftrightarrow -5 < x < 1$.
- $|x + 2| \ge 1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + 2 \ge 1 \\ x + 2 \le -1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x \ge -1 \\ x \le -3 \end{array}\right.$.
Kết hợp hai điều kiện: $x \in (-5; -3] \cup [-1; 1)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-5; -3] \cup [-1; 1)$.

0,25

Câu 9

Bài toán tối ưu vị trí xây dựng trung tâm điều phối

1,0

Tổng chi phí di chuyển từ 5 trạm về vị trí trung tâm $x_0$ là:
$C(x_0) = 100\,000 \cdot \left( |x_0 - 1| + |x_0 - 4| + |x_0 - 9| + |x_0 - 16| + |x_0 - 25| \right)$

0,25

Xét tổng $T = (|x_0 - 1| + |x_0 - 25|) + (|x_0 - 4| + |x_0 - 16|) + |x_0 - 9|$.
Áp dụng bất đẳng thức $|a| + |b| \ge |a - b|$:
- $|x_0 - 1| + |x_0 - 25| = |x_0 - 1| + |25 - x_0| \ge 24$, dấu bằng khi $1 \le x_0 \le 25$.
- $|x_0 - 4| + |x_0 - 16| = |x_0 - 4| + |16 - x_0| \ge 12$, dấu bằng khi $4 \le x_0 \le 16$.
- $|x_0 - 9| \ge 0$, dấu bằng khi $x_0 = 9$.

0,25

Do đó $T \ge 24 + 12 + 0 = 36$.
Dấu bằng xảy ra đồng thời khi và chỉ khi $x_0 = 9$.

0,25

Vậy để chi phí nhỏ nhất, vị trí đặt kho trung tâm là tại trạm thứ 3 ứng với $x_0 = 9$ (km).
Khi đó chi phí vận chuyển tối thiểu là:
$C_{\min} = 100\,000 \times 36 = 3\,600\,000$ (đồng).

0,25

Câu 10

Tìm GTLN và GTNN của $S = |x + y| + |x - y|$ với $x^2 + y^2 = 2$

1,0

Vì $S > 0$, ta xét bình phương của $S$:
$S^2 = (|x + y| + |x - y|)^2 = (x + y)^2 + (x - y)^2 + 2|(x + y)(x - y)|$

0,25

Khai triển và rút gọn:
$S^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) + 2|x^2 - y^2| = 2(x^2 + y^2) + 2|x^2 - y^2|$.
Thay $x^2 + y^2 = 2$ vào, ta được: $S^2 = 4 + 2|x^2 - y^2|$.

0,25

Tìm GTNN:
Vì $|x^2 - y^2| \ge 0$ nên $S^2 \ge 4 \Rightarrow S \ge 2$.
Dấu bằng xảy ra khi $x^2 = y^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1, y = \pm 1$.
Vậy $\min S = 2$.

0,25

Tìm GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức $|x^2 - y^2| \le x^2 + y^2 = 2$.
Suy ra $S^2 \le 4 + 2(2) = 8 \Rightarrow S \le 2\sqrt{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x^2 = 2, y = 0$ hoặc $x = 0, y^2 = 2$ (chẳng hạn $(x; y) = (\sqrt{2}; 0)$).
Vậy $\max S = 2\sqrt{2}$.

0,25