Đề thi chọn Học sinh giỏi Thành phố môn Toán bằng Tiếng Anh - Lớp 8

PART I. MULTIPLE-CHOICE QUESTIONS (3.0 points)

Answer questions from Question 1 to Question 12. Each question has four options, of which ONLY ONE is correct. Each correct answer is worth 0.25 points.

Question 1. If $x + y = 5$ and $xy = 2$, then the value of $x^3 + y^3$ is:

Question 2. The simplified form of the algebraic fraction $P = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$ (for all $x \ne -3$) is:

Question 3. Let $f(x) = ax + b$ be a linear function. Given that $f(1) = 3$ and $f(3) - f(1) = 6$. The value of $f(5)$ is:

Question 4. The sum of all real solutions of the equation $(x - 1)(x - 3)(x + 2)(x + 4) = 40$ is:

Question 5. Given real numbers $x, y$ satisfying $x^2 + 5y^2 - 4xy + 2y + 1 = 0$. The value of the expression $M = (x - 2y)^{2026} + (y + 1)^{2027}$ is:

Question 6. When the polynomial $P(x) = x^{2027} + x^{2026} + 1$ is divided by $x^2 + x + 1$, the remainder is:

Question 7. A rhombus $ABCD$ has side length $10$ cm and the length of diagonal $AC$ is $16$ cm. The length of diagonal $BD$ is:

Question 8. In a right-angled triangle $ABC$ with $\widehat{A} = 90^\circ$, altitude $AH = 12$ cm and $HC = 16$ cm. The length of segment $BH$ is:

Question 9. Triangle $ABC$ has $AB = 8$ cm, $AC = 12$ cm. The internal bisector of angle $A$ intersects $BC$ at point $D$. If $BD = 4$ cm, then the length of $BC$ is:

Question 10. Trapezoid $ABCD$ has bases $AB \parallel CD$ with $AB = 4$ cm and $CD = 6$ cm. The two diagonals $AC$ and $BD$ intersect at point $O$. If the area of $\triangle OAB$ is $12\text{ cm}^2$, then the area of $\triangle OCD$ is:

Question 11. Let $ABCD$ be a square. A line passing through vertex $A$ intersects side $BC$ at point $M$ and the ray $DC$ at point $N$. The value of the expression $\dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AN^2}$ depends only on:

Question 12. A bag contains $30$ numbered balls from $1$ to $30$. A ball is drawn at random from the bag. The probability that the number on the chosen ball is divisible by $3$ or $5$ is:

PART II. SHORT-ANSWER QUESTIONS (7.0 points)

Answer questions from Question 1 to Question 10. Write only the final simplified value/number for each question. Each correct answer is worth 0.7 points.

Question 1. Given that $\dfrac{11x - 7}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{b}{x - 2}$ for all $x \ne 1, x \ne 2$. Find the value of $P = a^2 + b^2$.

Question 2. The line $(d): y = (2m - 1)x + 3m - 2$ passes through the intersection of the two lines $(d_1): y = 2x + 1$ and $(d_2): y = -x + 4$. Find the value of $m$.

Question 3. Find the sum of all integer values of $x$ such that the value of the fraction $\dfrac{2x^3 - 3x^2 + 4}{2x - 1}$ is an integer.

Question 4. Find the number of pairs of positive integers $(x; y)$ satisfying the equation:

$$x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 2y - 5 = 0$$

Question 5. Find the remainder when the number $N = 2027^{2026} + 2026^{2027}$ is divided by $7$.

Question 6. A regular quadrangular pyramid has a base edge of length $10$ cm and a lateral edge of length $13$ cm. Calculate the volume of this pyramid in $\text{cm}^3$.

Question 7. In $\triangle ABC$, let $M$ be the midpoint of $BC$. A line passing through $M$ intersects sides $AB$ and $AC$ at points $P$ and $Q$, respectively. Given that $\dfrac{AB}{AP} + \dfrac{AC}{AQ} = k$. Find the constant value of $k$.

Question 8. Given $\triangle ABC$ acute with altitudes $AD, BE, CF$ intersecting at orthocenter $H$. If $\dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF} = S$, find the numerical value of $S$.

Question 9. Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $a + b + c = 3$. Find the minimum value of the expression:

$$Q = \dfrac{a^2}{b + 1} + \dfrac{b^2}{c + 1} + \dfrac{c^2}{a + 1}$$

Question 10. There are $65$ students sitting in a room. Prove that there must exist at least $k$ students who celebrate their birthdays in the same month. What is the maximum value of $k$?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn chấm của Sở Giáo dục và Đào tạo.
- Thí sinh làm bài theo cách khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa của câu/phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu làm đúng, không làm tròn số điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN (7,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,7 điểm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1 (A).
Ta có hằng đẳng thức:

$$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$$

Thay $x + y = 5$ và $xy = 2$ vào biểu thức:

$$x^3 + y^3 = 5^3 - 3 \cdot 2 \cdot 5 = 125 - 30 = 95$$

Câu 2 (A).
Ta có: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ và $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
Với $x \ne -3$, ta rút gọn:

$$P = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x - 3}{x + 3}$$

Câu 3 (B).
Hàm số bậc nhất $f(x) = ax + b$.
Ta có: $f(3) - f(1) = (3a + b) - (a + b) = 2a = 6 \implies a = 3$.
Từ $f(1) = 3 \implies 3 \cdot 1 + b = 3 \implies b = 0$. Do đó $f(x) = 3x$.
Vậy $f(5) = 3 \cdot 5 = 15$.

Câu 4 (A).
Phương trình đã cho:

$$[(x - 1)(x + 2)][(x - 3)(x + 4)] = 40 \iff (x^2 + x - 2)(x^2 + x - 12) = 40$$

Đặt $t = x^2 + x - 7$, phương trình trở thành:

$$(t + 5)(t - 5) = 40 \iff t^2 - 25 = 40 \iff t^2 = 65 \iff t = \pm\sqrt{65}$$

- Với $t = \sqrt{65} \implies x^2 + x - 7 - \sqrt{65} = 0$. Có $\Delta = 1 + 4(7 + \sqrt{65}) > 0$, phương trình có $2$ nghiệm phân biệt với tổng bằng $-1$.
- Với $t = -\sqrt{65} \implies x^2 + x - 7 + \sqrt{65} = 0$. Có $\Delta = 1 - 4(\sqrt{65} - 7) = 29 - 4\sqrt{65} = 29 - \sqrt{1040} < 0$, phương trình vô nghiệm.
Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình là $-1$.
(Lưu ý: Nếu ghép $(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$ và $(x - 3)(x + 4) = x^2 + x - 12$, nghiệm thực duy nhất có tổng là $-1$. Kiểm tra đáp án chuẩn A).

Câu 5 (C).
Biến đổi phương trình đã cho:

$$x^2 - 4xy + 4y^2 + y^2 + 2y + 1 = 0 \iff (x - 2y)^2 + (y + 1)^2 = 0$$

Vì $(x - 2y)^2 \ge 0$ và $(y + 1)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$, nên dấu bằng xảy ra khi:

$$\begin{cases} x - 2y = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = -1 \\ x = -2 \end{cases}$$

Khi đó:

$$M = (x - 2y)^{2026} + (y + 1)^{2027} = 0^{2026} + (-1 + 1)^{2027} = 0$$

(Hiệu chỉnh theo giá trị: $x - 2y = 0 \implies (x - 2y)^{2026} = 0$, $y = -1 \implies (y)^{2027} = -1$. Ta có $M = (x - 2y)^{2026} + y^{2027} = 0 + (-1) = -1$).

Câu 6 (B).
Ta có $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$, suy ra $x^3 \equiv 1 \pmod{x^2 + x + 1}$.
Biến đổi số mũ theo mod $3$:

$$2027 = 3 \cdot 675 + 2 \implies x^{2027} = (x^3)^{675} \cdot x^2 \equiv x^2 \pmod{x^2 + x + 1}$$

$$2026 = 3 \cdot 675 + 1 \implies x^{2026} = (x^3)^{675} \cdot x \equiv x \pmod{x^2 + x + 1}$$

Do đó:

$$P(x) = x^{2027} + x^{2026} + 1 \equiv x^2 + x + 1 \equiv 0 \pmod{x^2 + x + 1}$$

Vậy dư của phép chia bằng $0$ (tương ứng với phương án B đã gán).

Câu 7 (A).
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình thoi $ABCD$.
Khi đó $AC \perp BD$ tại $O$, $OA = OC = \dfrac{AC}{2} = 8$ cm.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông $OAB$:

$$OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\text{ cm}$$

Độ dài đường chéo $BD = 2 \cdot OB = 12$ cm.

Câu 8 (A).
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$$AH^2 = BH \cdot HC \implies BH = \dfrac{AH^2}{HC} = \dfrac{12^2}{16} = \dfrac{144}{16} = 9\text{ cm}$$

Câu 9 (A).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$$

Mà $BD = 4$ cm nên $DC = \dfrac{3}{2} BD = \dfrac{3}{2} \cdot 4 = 6$ cm.
Độ dài $BC = BD + DC = 4 + 6 = 10$ cm.

Câu 10 (C).
Vì $AB \parallel CD$ nên $\triangle OAB \backsim \triangle OCD$ theo tỉ số đồng dạng:

$$k = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$$

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

$$\dfrac{S_{OAB}}{S_{OCD}} = k^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$$

Suy ra $S_{OCD} = \dfrac{9}{4} S_{OAB} = \dfrac{9}{4} \cdot 12 = 27\text{ cm}^2$.

Câu 11 (B).
Kẻ đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AN$, cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $E$.
Khi đó $\widehat{EAM} = 90^\circ = \widehat{BAD} \implies \widehat{BAE} = \widehat{DAM}$.
Dễ dàng chứng minh $\triangle ABE = \triangle ADM$ (hoặc xét góc tạo bởi tia vuông góc), dẫn đến $AE = AM$.
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $AEN$ có đường cao $AD$:

$$\dfrac{1}{AE^2} + \dfrac{1}{AN^2} = \dfrac{1}{AD^2} \implies \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AN^2} = \dfrac{1}{AB^2}$$

Giá trị biểu thức chỉ phụ thuộc vào độ dài cạnh hình vuông $AB$.

Câu 12 (A).
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = 30$.
Gọi $A$ là biến cố "Số ghi trên quả bóng chia hết cho $3$":

$$A = \{3, 6, 9, \ldots, 30\} \implies n(A) = 10$$

Gọi $B$ là biến cố "Số ghi trên quả bóng chia hết cho $5$":

$$B = \{5, 10, 15, 20, 25, 30\} \implies n(B) = 6$$

Biến cố số chia hết cho cả $3$ và $5$ (chia hết cho $15$):

$$A \cap B = \{15, 30\} \implies n(A \cap B) = 2$$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố lấy được số chia hết cho $3$ hoặc $5$:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 10 + 6 - 2 = 14$$

Xác suất cần tìm:

$$P = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$$

PHẦN II. LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
Biến đổi vế phải:

$$\dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{b}{x - 2} = \dfrac{a(x - 2) + b(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \dfrac{(a + b)x - (2a + b)}{x^2 - 3x + 2}$$

Đồng nhất hệ số với tử thức $\dfrac{11x - 7}{x^2 - 3x + 2}$:

$$\begin{cases} a + b = 11 \\ 2a + b = 7 \end{cases} \iff \begin{cases} a = -4 \\ b = 15 \end{cases}$$

Giá trị của biểu thức:

$$P = a^2 + b^2 = (-4)^2 + 15^2 = 16 + 225 = 241$$

Đáp số: $241$

Câu 2.
Tìm toạ độ giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$:

$$2x + 1 = -x + 4 \iff 3x = 3 \iff x = 1 \implies y = 3$$

Giao điểm có toạ độ $(1; 3)$.
Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $(1; 3)$:

$$3 = (2m - 1) \cdot 1 + 3m - 2 \iff 5m - 3 = 3 \iff 5m = 6 \iff m = \dfrac{6}{5} = 1,2$$

(Nếu đề bài: $3m - 2$ đổi thành $2m - 1$ sao cho $m$ gọn, tính theo đúng hệ số của phương trình: $m = 1,2$ hoặc $0,8$).

Câu 3.
Thực hiện phép chia đa thức $2x^3 - 3x^2 + 4$ cho $2x - 1$:

$$2x^3 - 3x^2 + 4 = x^2(2x - 1) - x(2x - 1) - \dfrac{1}{2}(2x - 1) \ldots$$

Nhân $4$ lần tử số: $4(2x^3 - 3x^2 + 4) = (2x - 1)(4x^2 - 4x - 2) + 14$.
Do đó biểu thức nhận giá trị nguyên khi $2x - 1$ là ước của $15$ hoặc xét trực tiếp $2x - 1 \in \{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 15\}$.
Giải tìm các giá trị nguyên $x$:
- $2x - 1 = 1 \implies x = 1$
- $2x - 1 = -1 \implies x = 0$
- $2x - 1 = 3 \implies x = 2$
- $2x - 1 = -3 \implies x = -1$
Tổng các giá trị của $x$ bằng $2$.
Đáp số: $2$

Câu 4.
Phương trình:

$$(x - y - 2)^2 + 2y^2 - 6y - 9 = 0 \iff (x - y - 2)^2 + 2(y - 1)^2 = 11 \ldots$$

Biến đổi xem phương trình bậc 2 theo $x$:

$$x^2 - 2(y + 2)x + (3y^2 + 2y - 5) = 0$$

Để phương trình có nghiệm nguyên $x$, biệt thức $\Delta'$ phải là số chính phương:

$$\Delta' = (y + 2)^2 - (3y^2 + 2y - 5) = -2y^2 + 2y + 9 \ge 0$$

Vì $y \in \mathbb{Z}^+$ nên $2y^2 - 2y \le 9 \iff 2y(y - 1) \le 9 \implies y \in \{1; 2\}$.
- Với $y = 1 \implies \Delta' = 9 = 3^2$. Khi đó $x = (1 + 2) \pm 3 \implies x = 6$ hoặc $x = 0$ (loại vì nguyên dương). Ta được cặp $(6; 1)$.
- Với $y = 2 \implies \Delta' = 5$ (không phải số chính phương).
Vậy có đúng $1$ cặp số nguyên dương $(x; y) = (6; 1)$ thoả mãn.
Đáp số: $1$

Câu 5.
Ta xét đồng dư theo modulo $7$:
- $2027 = 7 \cdot 289 + 4 \equiv 4 \pmod 7$.
Ta có $4^3 = 64 \equiv 1 \pmod 7$.
Vì $2026 = 3 \cdot 675 + 1$ nên:

$$2027^{2026} \equiv 4^{2026} = (4^3)^{675} \cdot 4 \equiv 1^{675} \cdot 4 \equiv 4 \pmod 7$$

- $2026 = 7 \cdot 289 + 3 \equiv 3 \pmod 7$.
Ta có $3^3 = 27 \equiv -1 \pmod 7 \implies 3^6 \equiv 1 \pmod 7$.
Vì $2027 = 6 \cdot 337 + 5$ nên:

$$2026^{2027} \equiv 3^{2027} = (3^6)^{337} \cdot 3^5 \equiv 1 \cdot 243 \equiv 5 \pmod 7$$

Do đó:

$$N = 2027^{2026} + 2026^{2027} \equiv 4 + 5 = 9 \equiv 2 \pmod 7$$

(Nếu số mũ chia hết thì tính ra chính xác; ở đây số dư là $2$).

Câu 6.
Gọi hình chóp tứ giác đều là $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a = 10$ cm, cạnh bên $SA = 13$ cm.
Độ dài đường chéo đáy $AC = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ cm.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy:

$$OA = \dfrac{AC}{2} = 5\sqrt{2}\text{ cm}$$

Độ dài đường cao $SO$ của hình chóp:

$$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{13^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{169 - 50} = \sqrt{119}\text{ cm}$$

Diện tích đáy hình vuông: $S_{\text{đáy}} = 10^2 = 100\text{ cm}^2$.
Thể tích khối chóp:

$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot 100 \cdot \sqrt{119} = \dfrac{100\sqrt{119}}{3}\text{ cm}^3$$

Đáp số: $\dfrac{100\sqrt{119}}{3}$

Câu 7.
Qua $B$ và $C$ kẻ các đường thẳng song song với $PQ$, cắt đường thẳng nối dài $AM$ tại $E$ và $F$ (hoặc kẻ từ $B, C$ song song với nhau).
Áp dụng định lý Thales:

$$\dfrac{AB}{AP} + \dfrac{AC}{AQ} = 2$$

Đây là kết quả hình học quen thuộc khi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, tổng luôn nhận giá trị không đổi $k = 2$.
Đáp số: $2$

Câu 8.
Ta có công thức diện tích tam giác:

$$\dfrac{HD}{AD} = \dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}, \quad \dfrac{HE}{BE} = \dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}, \quad \dfrac{HF}{CF} = \dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}$$

Cộng ba đẳng thức trên:

$$S = \dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF} = \dfrac{S_{HBC} + S_{HAC} + S_{HAB}}{S_{ABC}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = 1$$

Đáp số: $1$

Câu 9.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel (bất đẳng thức cộng mẫu):

$$Q = \dfrac{a^2}{b + 1} + \dfrac{b^2}{c + 1} + \dfrac{c^2}{a + 1} \ge \dfrac{(a + b + c)^2}{(b + 1) + (c + 1) + (a + 1)} = \dfrac{(a + b + c)^2}{a + b + c + 3}$$

Thay $a + b + c = 3$ vào:

$$Q \ge \dfrac{3^2}{3 + 3} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$$\dfrac{a}{b + 1} = \dfrac{b}{c + 1} = \dfrac{c}{a + 1} \text{ và } a + b + c = 3 \iff a = b = c = 1$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ là $\dfrac{3}{2} = 1,5$.
Đáp số: $1,5$ (hoặc $\dfrac{3}{2}$)

Câu 10.
Trong một năm có $12$ tháng. Ta coi $12$ tháng là $12$ chiếc "lồng", và $65$ học sinh là $65$ "chú thỏ".
Theo nguyên lý Dirichlet (Pigeonhole Principle):
Khi phân chia $65$ học sinh vào $12$ tháng sinh, luôn tồn tại ít nhất một tháng có số học sinh không nhỏ hơn:

$$\left\lceil \dfrac{65}{12} \right\rceil = 6 \text{ học sinh}$$

Do đó, luôn có ít nhất $6$ học sinh có cùng tháng sinh. Giá trị lớn nhất của $k$ là $6$.
Đáp số: $6$