Đề ôn tập Toán 11: Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân (Định dạng TN THPT 2025)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$ với mọi $n \ge 1$. Số hạng thứ ba $u_3$ của dãy số bằng

Câu 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$. Số hạng thứ hai $u_2$ của cấp số cộng bằng

Câu 3. Trong các dãy số $(u_n)$ cho dưới đây với $n \in \mathbb{N}^*$, dãy số nào là dãy số tăng?

Câu 4. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng thứ tư $u_4$ của cấp số nhân là

Câu 5. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -5$ và công sai $d = 3$. Công thức của số hạng tổng quát $u_n$ ($n \ge 1$) là

Câu 6. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 4$ và công sai $d = 5$. Tổng của 10 số hạng đầu tiên $S_{10}$ bằng

Câu 7. Ba số $x - 1;\ 2x;\ 5x - 2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của $x$ bằng

Câu 8. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ hai $u_2 = 6$ và số hạng thứ năm $u_5 = 48$. Công bội $q$ của cấp số nhân bằng

Câu 9. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$. Tổng 6 số hạng đầu tiên $S_6$ của cấp số nhân bằng

Câu 10. Trong các dãy số $(u_n)$ sau đây ($n \ge 1$), dãy số nào bị chặn trên bởi số $2$?

Câu 11. Một hội trường có 15 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 18 chiếc ghế, mỗi hàng sau có nhiều hơn hàng liền trước nó 2 chiếc ghế. Số ghế ở hàng thứ 15 là

Câu 12. Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất cố định $6\%$/năm. Sau $n$ năm ($n \ge 1$), số tiền cả gốc và lãi (đơn vị: triệu đồng) mà người đó nhận được là $A_n = 50 \cdot (1 + 0{,}06)^n$. Dãy số $(A_n)$ là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi hệ thức truy hồi: $u_1 = 2$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 1}{2}$ với mọi $n \ge 1$. Xét dãy số $(v_n)$ với $v_n = u_n - 1$ với mọi $n \ge 1$.
a) Số hạng thứ hai của dãy số là $u_2 = \dfrac{3}{2}$.
b) Dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q = 2$.
c) Số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là $u_n = 1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$.
d) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng và bị chặn.

Câu 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ thoả mãn hệ điều kiện: $\begin{cases} u_2 + u_5 = 14 \\ u_4 + u_7 = 22 \end{cases}$.
a) Công sai của cấp số cộng đã cho bằng $d = 2$.
b) Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $u_1 = 3$.
c) Số $100$ là số hạng thứ $50$ của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{20} = 400$.

Câu 3. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có các số hạng đều dương và thoả mãn hệ điều kiện: $\begin{cases} u_4 - u_2 = 36 \\ u_5 - u_3 = 72 \end{cases}$.
a) Công bội của cấp số nhân bằng $q = 2$.
b) Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $u_1 = 4$.
c) Số hạng thứ sáu của cấp số nhân là $u_6 = 192$.
d) Tồn tại một số nguyên dương $n$ để tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đạt $S_n = 380$.

Câu 4. Anh Nam ký hợp đồng lao động làm việc cho một công ty công nghệ trong thời hạn 5 năm (tương ứng với 20 quý). Mức lương khởi điểm ở quý thứ nhất của anh là 12 triệu đồng/tháng. Kể từ quý thứ hai trở đi, cứ sau mỗi quý thì mức lương mỗi tháng của anh Nam lại được tăng thêm 500.000 đồng (tức $0{,}5$ triệu đồng). Gọi $u_n$ là mức lương mỗi tháng của anh Nam ở quý thứ $n$ ($1 \le n \le 20$, đơn vị: triệu đồng).
a) Dãy số $(u_n)$ biểu thị mức lương tháng ở quý thứ $n$ là một cấp số cộng có công sai $d = 0{,}5$ triệu đồng.
b) Ở quý thứ 8 (cuối năm thứ 2), mức lương mỗi tháng của anh Nam là 15 triệu đồng.
c) Vào tháng cuối cùng của năm thứ 5 làm việc (thuộc quý thứ 20), mức lương tháng của anh Nam đạt 21,5 triệu đồng.
d) Tổng số tiền lương anh Nam nhận được trong toàn bộ 5 năm làm việc tại công ty là 1 005 triệu đồng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -35$ và công sai $d = 4$. Hỏi số $85$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng này?

Câu 2. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên có hai chữ số và chia hết cho 3.

Câu 3. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Biết rằng tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $S_n = 2186$. Tìm giá trị của số tự nhiên $n$.

Câu 4. Cho một hình vuông $C_1$ có độ dài cạnh bằng $8\text{ cm}$. Người ta nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông $C_1$ để tạo thành hình vuông thứ hai $C_2$. Tiếp tục nối các trung điểm bốn cạnh của $C_2$ để tạo thành hình vuông thứ ba $C_3$, và cứ tiếp tục quá trình như vậy. Tính tổng diện tích của 5 hình vuông đầu tiên $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ (đơn vị: $\text{cm}^2$).

Câu 5. Một người nông dân trồng một vườn cam trên khu đất có dạng hình tam giác: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 3 cây, hàng thứ ba trồng 5 cây,... và cứ như thế số cây ở mỗi hàng sau nhiều hơn hàng liền trước 2 cây. Biết rằng hàng cuối cùng có đúng 49 cây cam. Hỏi vườn cam đó có tất cả bao nhiêu cây?

Câu 6. Một người gửi tiết kiệm số tiền 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất cố định $6\%$/năm theo hình thức lãi kép hàng năm. Giả sử lãi suất không đổi trong suốt thời gian gửi, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi vượt quá 300 triệu đồng?

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

A. BẢNG ĐÁP ÁN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm
- Đúng 3 ý: 0,50 điểm
- Đúng 4 ý: 1,00 điểm

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN II

Câu 1.
- a) Ta có $u_1 = 2 \implies u_2 = \dfrac{u_1 + 1}{2} = \dfrac{2 + 1}{2} = \dfrac{3}{2}$. (Đúng)
- b) Xét $v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = \dfrac{u_n + 1}{2} - 1 = \dfrac{u_n - 1}{2} = \dfrac{1}{2} v_n$. Do đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 = u_1 - 1 = 1$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$. Khẳng định $q = 2$ là sai. (Sai)
- c) Vì $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 = 1, q = \dfrac{1}{2}$ nên $v_n = 1 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \implies u_n = 1 + v_n = 1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$. (Đúng)
- d) Xét $u_{n+1} - u_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^n < 0$ với mọi $n \ge 1 \implies (u_n)$ là dãy số giảm. Khẳng định dãy tăng là sai. (Sai)

Câu 2.
- a) Gọi $u_1$ và $d$ lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 14 \\ (u_1 + 3d) + (u_1 + 6d) = 22 \end{cases} \iff \begin{cases} 2u_1 + 5d = 14 \\ 2u_1 + 9d = 22 \end{cases} \iff \begin{cases} 4d = 8 \\ 2u_1 + 5d = 14 \end{cases} \iff \begin{cases} d = 2 \\ u_1 = 2 \end{cases}$.
Do đó công sai $d = 2$. (Đúng)
- b) Số hạng đầu $u_1 = 2 \ne 3$. (Sai)
- c) Số hạng tổng quát $u_n = u_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)\cdot 2 = 2n$.
Xét $u_n = 100 \iff 2n = 100 \iff n = 50$. Vậy 100 là số hạng thứ 50. (Đúng)
- d) Tổng 20 số hạng đầu: $S_{20} = \dfrac{20}{2} \cdot [2u_1 + 19d] = 10 \cdot [2\cdot 2 + 19\cdot 2] = 10 \cdot 42 = 420 \ne 400$. (Sai)

Câu 3.
- a) Gọi $u_1 > 0$ và công bội $q > 0$ của cấp số nhân.
Ta có hệ: $\begin{cases} u_1 q^3 - u_1 q = 36 \\ u_1 q^4 - u_1 q^2 = 72 \end{cases} \iff \begin{cases} u_1 q (q^2 - 1) = 36 \\ u_1 q^2 (q^2 - 1) = 72 \end{cases}$.
Chia vế cho vế ta được: $\dfrac{u_1 q^2 (q^2 - 1)}{u_1 q (q^2 - 1)} = \dfrac{72}{36} \implies q = 2$. (Đúng)
- b) Thay $q = 2$ vào phương trình thứ nhất: $u_1 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = 36 \implies 6 u_1 = 36 \implies u_1 = 6 \ne 4$. (Sai)
- c) Số hạng thứ sáu: $u_6 = u_1 \cdot q^5 = 6 \cdot 2^5 = 6 \cdot 32 = 192$. (Đúng)
- d) Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n = u_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1} = 6 \cdot \dfrac{2^n - 1}{2 - 1} = 6(2^n - 1)$.
Phương trình $6(2^n - 1) = 380 \iff 2^n - 1 = \dfrac{190}{3} \iff 2^n = \dfrac{193}{3}$ (không có nghiệm nguyên dương $n$). Do đó không tồn tại $n$. (Sai)

Câu 4.
- a) Mức lương mỗi tháng ở các quý:
Quý 1: $u_1 = 12$ triệu đồng;
Quý 2: $u_2 = 12 + 0{,}5 = 12{,}5$ triệu đồng;
...
Mỗi quý tăng đều $0{,}5$ triệu đồng, do đó dãy $(u_n)$ là cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = 12$, công sai $d = 0{,}5$. (Đúng)
- b) Mức lương tháng ở quý 8: $u_8 = u_1 + 7d = 12 + 7 \cdot 0{,}5 = 15{,}5$ triệu đồng $\ne 15$ triệu đồng. (Sai)
- c) Quý thứ 20 (quý cuối cùng của năm thứ 5): $u_{20} = u_1 + 19d = 12 + 19 \cdot 0{,}5 = 21{,}5$ triệu đồng. (Đúng)
- d) Mỗi quý gồm 3 tháng, nên tiền lương nhận được ở quý thứ $n$ là $3 \cdot u_n$.
Tổng tiền lương trong 20 quý (5 năm) là:
$T = 3 \cdot (u_1 + u_2 + \dots + u_{20}) = 3 \cdot S_{20}$.
Trong đó $S_{20} = \dfrac{20}{2}[2u_1 + 19d] = 10 \cdot [2\cdot 12 + 19\cdot 0{,}5] = 10 \cdot 33{,}5 = 335$ triệu đồng.
Suy ra $T = 3 \cdot 335 = 1005$ triệu đồng. (Đúng)

PHẦN III

Câu 1.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n - 1)d$.
Theo đề bài: $85 = -35 + (n - 1)\cdot 4 \iff 4(n - 1) = 120 \iff n - 1 = 30 \iff n = 31$.
Đáp án: 31.

Câu 2.
Các số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3 lập thành cấp số cộng: $12, 15, 18, \dots, 99$.
- Số hạng đầu $u_1 = 12$, công sai $d = 3$, số hạng cuối $u_n = 99$.
- Số các số hạng: $n = \dfrac{99 - 12}{3} + 1 = 30$.
- Tổng cần tìm: $S = \dfrac{30 \cdot (12 + 99)}{2} = 15 \cdot 111 = 1665$.
Đáp án: 1665.

Câu 3.
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $S_n = u_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.
Thay số: $2186 = 2 \cdot \dfrac{3^n - 1}{3 - 1} \iff 3^n - 1 = 2186 \iff 3^n = 2187$.
Vì $3^7 = 2187$ nên $n = 7$.
Đáp án: 7.

Câu 4.
- Diện tích hình vuông $C_1$ là $S_1 = 8^2 = 64\text{ cm}^2$.
- Hình vuông $C_2$ có 4 đỉnh là trung điểm các cạnh của $C_1$, do đó cạnh của $C_2$ bằng $\sqrt{\left(\dfrac{8}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}\text{ cm}$.
Diện tích $C_2$ là $S_2 = (4\sqrt{2})^2 = 32\text{ cm}^2 = \dfrac{1}{2} S_1$.
- Tương tự, diện tích mỗi hình vuông sau bằng một nửa diện tích hình vuông liền trước:
$S_1 = 64,\ S_2 = 32,\ S_3 = 16,\ S_4 = 8,\ S_5 = 4$.
- Tổng diện tích của 5 hình vuông đầu tiên là:
$S = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 = 124\text{ cm}^2$.
Đáp án: 124.

Câu 5.
Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có $u_1 = 1$ và công sai $d = 2$.
Hàng cuối cùng có 49 cây nên:
$u_n = 49 \iff 1 + (n - 1)\cdot 2 = 49 \iff 2n - 1 = 49 \iff 2n = 50 \iff n = 25$ (hàng).
Tổng số cây cam trong vườn là:
$S_{25} = \dfrac{25 \cdot (u_1 + u_{25})}{2} = \dfrac{25 \cdot (1 + 49)}{2} = 25 \cdot 25 = 625$ (cây).
Đáp án: 625.

Câu 6.
Số tiền cả gốc lẫn lãi sau $n$ năm là $A_n = 200 \cdot (1 + 0{,}06)^n = 200 \cdot (1{,}06)^n$ (triệu đồng).
Để số tiền vượt quá 300 triệu đồng:
$200 \cdot (1{,}06)^n > 300 \iff 1{,}06^n > 1{,}5 \iff n > \log_{1{,}06}(1{,}5) \approx 6{,}958$.
Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên giá trị nhỏ nhất của $n$ là 7.
Vậy sau ít nhất 7 năm thì số tiền cả gốc và lãi vượt quá 300 triệu đồng.
Đáp án: 7.