Đề ôn tập giữa kì I môn Toán 10 - THPT Nam Trực (Mã đề 001)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?

Câu 2. Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 2 > 0$" là mệnh đề nào dưới đây?

Câu 3. Cho $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 3\}$, $B = \{0; 1; 2; 3\}$. Tập $A \cap B$ bằng

Câu 4. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$: "$2x - 1 > 0$". Với $x$ là số tự nhiên, mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 5. Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề?

Câu 6. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x^2 - 5x + 3 = 0\}$.

Câu 7. Cho tam giác $ABC$ có $a = 4$, $b = 3$, $\widehat{C} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $c$.

Câu 8. Cho tập $A = \{0; 2; 4; 6; 8\}$, $B = \{3; 4; 5; 6; 7\}$. Tập $A \setminus B$ là

Câu 9. Giá trị biểu thức $\cos^2 30^\circ - 2\tan 60^\circ \cdot \cot 60^\circ$ bằng

Câu 10. Điểm $M(0; -3)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

Câu 11. Miền nghiệm của bất phương trình $2x - y \leq 4$ là nửa mặt phẳng nào sau đây (kể cả bờ)?

Câu 12. Cho số tự nhiên $n$. Xét mệnh đề: "Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 4 thì $n$ chia hết cho 2." Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho ba tập hợp $A = [-5; 1]$, $B = (-3; 2)$, $C = [2; +\infty)$. Khi đó:
a) $A = \{x \in \mathbb{Q} \mid -5 \leq x \leq 1\}$.
b) $B \cup C = (-3; +\infty)$.
c) $A \cap B \cap C = \varnothing$.
d) $\mathbb{R} \setminus B = (-\infty; -3) \cup [2; +\infty)$.

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ có $b = 7$, $c = 5$, $\widehat{A} = 120^\circ$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Khi đó:
a) $a = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
b) $a = 7$.
c) $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$.
d) $S = 35\sqrt{3}$.

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1. Cho tam giác $ABC$ có $a = 10$, $\widehat{A} = 30^\circ$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Câu 2. Tính giá trị biểu thức

$$A = \sin(180^\circ - \alpha)\sin\alpha - \cos(180^\circ - \alpha)\cos\alpha - 500.$$

Câu 3. Cho hai tập hợp $A = [m - 3; m + 2]$, $B = (-3; 5)$ với $m \in \mathbb{R}$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ để $A \cap B \neq \varnothing$.

Câu 4. Một cửa hàng ăn vặt bán trà sữa và bánh ngọt. Mỗi ly trà sữa lãi 8 nghìn đồng, mỗi cái bánh ngọt lãi 6 nghìn đồng. Giả sử cửa hàng bán $x$ ly trà sữa và $y$ cái bánh ngọt trong một ngày, với $x, y$ là các số nguyên không âm.
Do nguồn nguyên liệu có hạn, tổng số trà sữa và bánh ngọt bán ra không vượt quá 80 sản phẩm. Cửa hàng muốn thu được số lãi lớn hơn 480 nghìn đồng trong một ngày.
Bất phương trình biểu thị điều kiện về số lãi có dạng $ax + by > c$, trong đó $a, b, c$ là các số nguyên dương. Khi đó, giá trị $T = a + b + c$ bằng bao nhiêu?

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1. Cho hai tập hợp:

$$A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ là ước của } 18\}, \quad B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ là ước của } 27\}.$$

Hãy xác định $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$.

Câu 2. Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện; một chiếc ghế cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có 3 nhân công, bộ phận hoàn thiện có 4 nhân công. Biết một công nhân làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày.
Biết thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của xưởng và lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn. Giả sử trong một ngày xưởng cần sản xuất $x$ chiếc bàn và $y$ chiếc ghế.
a) Viết hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán.
b) Biết một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn, bao nhiêu chiếc ghế để thu được tiền lãi cao nhất?

Câu 3. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng theo tuyến $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$, trong đó:

$$AB = BC = 6\text{ km}, \quad CD = 8\text{ km}, \quad \widehat{ABC} = 120^\circ, \quad \widehat{BCD} = 150^\circ.$$

Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi vào mùa mưa bão, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ $A$ tới $D$. Tính độ dài đoạn đường $AD$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN TÓM TẮT

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án

Phần II. Trắc nghiệm đúng - sai

Phần III. Trả lời ngắn

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN

Câu 1.
Mệnh đề sai là A. Với một tập hợp $A$ bất kỳ, $A$ là tập hợp nên không thể khẳng định $A \in A$.
Các mệnh đề $\varnothing \subset A$, $A \subset A$ và $A \neq \{A\}$ đều đúng.
Chọn A.

Câu 2.
Phủ định của mệnh đề "$\forall x \in \mathbb{R}, P(x)$" là "$\exists x \in \mathbb{R}, \overline{P(x)}$".
Phủ định của bất đẳng thức $x^2 - x + 2 > 0$ là $x^2 - x + 2 \leq 0$.
Do đó mệnh đề phủ định là: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 2 \leq 0$".
Chọn B.

Câu 3.
Vì $x \in \mathbb{N}$ nên $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 3\} = \{0; 1; 2; 3\}$.
Tập $B = \{0; 1; 2; 3\}$. Do đó $A \cap B = \{0; 1; 2; 3\}$.
Chọn D.

Câu 4.
Với $x = 1$, ta có $2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$ nên mệnh đề $P(1)$ đúng.
Các giá trị $x = 0$ cho $2(0) - 1 = -1 \ngtr 0$; $x = -1, -2$ không phải là số tự nhiên.
Chọn A.

Câu 5.
Mệnh đề là một câu khẳng định có giá trị đúng hoặc sai rõ ràng.
Câu "Quảng Ninh là một tỉnh của Việt Nam" là một khẳng định đúng, do đó là một mệnh đề. Các câu còn lại là câu cảm thán hoặc câu hỏi.
Chọn C.

Câu 6.
Phương trình $2x^2 - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow (2x - 3)(x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = \dfrac{3}{2}$.
Cả hai nghiệm đều là số thực, vậy $X = \left\{1; \dfrac{3}{2}\right\}$.
Chọn D.

Câu 7.
Theo định lí côsin:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 16 + 9 - 24 \cdot \dfrac{1}{2} = 13.$$

Vì $c > 0$ nên $c = \sqrt{13}$.
Chọn A.

Câu 8.
Tập hiệu $A \setminus B$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.
Ta loại bỏ các phần tử $4, 6$ khỏi $A$, thu được $A \setminus B = \{0; 2; 8\}$.
Chọn B.

Câu 9.
Ta có $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos^2 30^\circ = \dfrac{3}{4}$, và $\tan 60^\circ \cdot \cot 60^\circ = 1$.
Do đó:

$$\cos^2 30^\circ - 2\tan 60^\circ \cot 60^\circ = \dfrac{3}{4} - 2 = -\dfrac{5}{4}.$$

Chọn A.

Câu 10.
Thay tọa độ điểm $M(0; -3)$ vào các biểu thức:
- $2x - y = 2(0) - (-3) = 3$.
- $2x + 5y = 2(0) + 5(-3) = -15$.
- $12x + 8 = 12(0) + 8 = 8$.

Ở hệ phương trình B:

$$\begin{cases} 3 \leq 3 \\ -15 \leq 8 \end{cases} \quad \text{(luôn đúng)}.$$

Do đó điểm $M(0; -3)$ thuộc miền nghiệm của hệ B.
Chọn B.

Câu 11.
Bất phương trình $2x - y \leq 4 \Leftrightarrow y \geq 2x - 4$.
Đường biên là đường thẳng $y = 2x - 4$.
Thay tọa độ gốc tọa độ $O(0; 0)$ vào bất phương trình: $2(0) - 0 = 0 \leq 4$ (mệnh đề đúng).
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $y = 2x - 4$, có chứa điểm $O(0; 0)$.
Chọn A.

Câu 12.
Mệnh đề ban đầu có dạng: "Nếu $P$ thì $Q$" với $P$: "$n$ chia hết cho 4" và $Q$: "$n$ chia hết cho 2".
Mệnh đề đảo là: "Nếu $Q$ thì $P$", tức là: "Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 2 thì $n$ chia hết cho 4."
Chọn A.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI

Câu 1.
Cho ba tập hợp $A = [-5; 1]$, $B = (-3; 2)$, $C = [2; +\infty)$.
a) Sai. Vì đoạn $[-5; 1]$ chứa tất cả các số thực $x$ thỏa mãn $-5 \leq x \leq 1$, bao gồm cả các số vô tỉ, không chỉ riêng tập số hữu tỉ $\mathbb{Q}$.
b) Đúng. Tập $B = (-3; 2)$ và $C = [2; +\infty)$ nối tiếp nhau tại $2$, trong đó $2 \in C$ nên hợp của hai tập là $(-3; +\infty)$.
c) Đúng. Vì $B = (-3; 2)$ và $C = [2; +\infty)$ không có phần tử chung nên $B \cap C = \varnothing$, dẫn tới $A \cap B \cap C = \varnothing$.
d) Sai. Phần bù của $B = (-3; 2)$ trong $\mathbb{R}$ là $\mathbb{R} \setminus B = (-\infty; -3] \cup [2; +\infty)$ (phải lấy cả điểm $-3$).

Câu 2.
Cho tam giác $ABC$ có $b = 7$, $c = 5$, $\widehat{A} = 120^\circ$.
a) Sai. Định lí côsin đúng là $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
b) Sai. Ta có:

$$a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 49 + 25 - 70 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 74 + 35 = 109 \Rightarrow a = \sqrt{109} \neq 7.$$

c) Đúng. Công thức tính diện tích theo hai cạnh và góc xen giữa là $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$.
d) Sai. Thay số ta được:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = \dfrac{35}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{35\sqrt{3}}{4} \neq 35\sqrt{3}.$$

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{10}{2\sin 30^\circ} = \dfrac{10}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = 10.$$

Đáp số: $10$.

Câu 2.
Ta có $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ và $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$.
Biểu thức trở thành:

$$A = \sin\alpha \cdot \sin\alpha - (-\cos\alpha)\cos\alpha - 500 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 500 = 1 - 500 = -499.$$

Đáp số: $-499$.

Câu 3.
Để $A \cap B \neq \varnothing$ với $A = [m - 3; m + 2]$ và $B = (-3; 5)$, điều kiện cần và đủ là:

$$\begin{cases} m + 2 > -3 \\ m - 3 < 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > -5 \\ m < 8 \end{cases} \Leftrightarrow -5 < m < 8.$$

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$.
Tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ là:

$$S = (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 5 + 6 + 7 = 18.$$

Đáp số: $18$.

Câu 4.
Số tiền lãi từ việc bán $x$ ly trà sữa là $8x$ (nghìn đồng).
Số tiền lãi từ việc bán $y$ cái bánh ngọt là $6y$ (nghìn đồng).
Để tổng số tiền lãi lớn hơn 480 nghìn đồng, bất phương trình biểu thị là:

$$8x + 6y > 480.$$

So sánh với dạng $ax + by > c$, ta có $a = 8, b = 6, c = 480$.
Giá trị $T = a + b + c = 8 + 6 + 480 = 494$.
Đáp số: $494$.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1.
Tập hợp các ước tự nhiên của 18 là:

$$A = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}.$$

Tập hợp các ước tự nhiên của 27 là:

$$B = \{1; 3; 9; 27\}.$$

Từ đó ta xác định được:
- Giao của hai tập hợp: $A \cap B = \{1; 3; 9\}$.
- Hợp của hai tập hợp: $A \cup B = \{1; 2; 3; 6; 9; 18; 27\}$.
- Hiệu của $A$ và $B$: $A \setminus B = \{2; 6; 18\}$.
- Hiệu của $B$ và $A$: $B \setminus A = \{27\}$.

Câu 2.
a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số chiếc bàn và số chiếc ghế xưởng sản xuất trong một ngày ($x, y \in \mathbb{N}$).
- Bộ phận lắp ráp có 3 nhân công, mỗi người làm không quá 8 giờ nên tổng thời gian lắp ráp không vượt quá: $3 \times 8 = 24$ (giờ).
Thời gian lắp ráp là: $1,5x + y \leq 24$.
- Bộ phận hoàn thiện có 4 nhân công, tổng thời gian hoàn thiện không vượt quá: $4 \times 8 = 32$ (giờ).
Thời gian hoàn thiện là: $x + 2y \leq 32$.
- Lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn: $y \leq 3,5x$.
- Số sản phẩm luôn không âm: $x \geq 0, y \geq 0$.

Vậy hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán là:

$$\begin{cases} 1,5x + y \leq 24 \\ x + 2y \leq 32 \\ y \leq 3,5x \\ x \geq 0, \quad y \geq 0 \end{cases}$$

b) Tiền lãi thu được trong một ngày (đơn vị: nghìn đồng) là:

$$F(x; y) = 600x + 450y.$$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác tạo bởi các đỉnh: $O(0; 0)$, $A(16; 0)$, $B(8; 12)$, $C(4; 14)$.
- Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 0$.
- Tại $A(16; 0)$: $F(16; 0) = 600 \times 16 + 450 \times 0 = 9600$ (nghìn đồng).
- Tại $B(8; 12)$: $F(8; 12) = 600 \times 8 + 450 \times 12 = 4800 + 5400 = 10200$ (nghìn đồng).
- Tại $C(4; 14)$: $F(4; 14) = 600 \times 4 + 450 \times 14 = 2400 + 6300 = 8700$ (nghìn đồng).

So sánh các giá trị, tiền lãi lớn nhất đạt được là $10\,200$ nghìn đồng (tức $10\,200\,000$ đồng) khi sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế.

Câu 3.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ tại $B(0; 0)$ và điểm $C$ nằm trên tia $Ox$, suy ra tọa độ $C(6; 0)$.
Vì $AB = 6$ và $\widehat{ABC} = 120^\circ$, vectơ $\overrightarrow{BA}$ tạo với tia $Ox$ góc $120^\circ$, nên tọa độ đỉnh $A$ là:

$$A(6\cos 120^\circ; 6\sin 120^\circ) = \left(6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right); 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = (-3; 3\sqrt{3}).$$

Đoạn $CD = 8\text{ km}$, góc $\widehat{BCD} = 150^\circ$, theo chiều gấp khúc tuyến đường, đường thẳng $CD$ tạo với chiều dương trục $Ox$ góc $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Do đó tọa độ điểm $D$ là:

$$D(x_C + 8\cos 30^\circ; y_C + 8\sin 30^\circ) = \left(6 + 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 0 + 8 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = (6 + 4\sqrt{3}; 4).$$

Độ dài đường hầm $AD$ là khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $D$:

$$AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(6 + 4\sqrt{3} - (-3))^2 + (4 - 3\sqrt{3})^2} = \sqrt{(9 + 4\sqrt{3})^2 + (4 - 3\sqrt{3})^2}.$$

Khai triển:

$$(9 + 4\sqrt{3})^2 = 81 + 72\sqrt{3} + 48 = 129 + 72\sqrt{3}.$$

$$(4 - 3\sqrt{3})^2 = 16 - 24\sqrt{3} + 27 = 43 - 24\sqrt{3}.$$

Cộng lại:

$$AD^2 = (129 + 72\sqrt{3}) + (43 - 24\sqrt{3}) = 172 + 48\sqrt{3}.$$

Suy ra:

$$AD = \sqrt{172 + 48\sqrt{3}} \approx 15,97\text{ km}.$$

Vậy độ dài đường hầm xuyên núi nối thẳng từ $A$ tới $D$ xấp xỉ $15,97\text{ km}$.