Đề ôn tập Giữa học kỳ I Toán 8

1

B

6

B

11

C

16

B

2

C

7

A

12

A

17

C

3

B

8

C

13

D

18

C

4

A

9

B

14

A

19

B

5

A

10

A

15

B

20

C

Bài 1

Rút gọn và tính giá trị biểu thức (1,5 điểm)

a

$A = (x - 3)(x + 3) - (x - 2)^2 = x^2 - 9 - (x^2 - 4x + 4)$

0,25

$A = x^2 - 9 - x^2 + 4x - 4 = 4x - 13$

0,25

$B = (2x + 1)^2 - 4x(x + 1) = 4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 4x$

0,25

$B = 1$

0,25

b

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào biểu thức $A = 4x - 13$:

0,25

$A = 4 \cdot \dfrac{1}{2} - 13 = 2 - 13 = -11$. Vậy tại $x = \dfrac{1}{2}$ thì $A = -11$.

0,25

Bài 2

Tìm $x$ (1,0 điểm)

a

$x(x - 2) + 3(x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 3) = 0$

0,25

$\Leftrightarrow x - 2 = 0$ hoặc $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -3$.
Vậy $x \in \{2; -3\}$.

0,25

b

$(2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0 \Leftrightarrow [(2x - 1) - (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = 0$

0,25

$\Leftrightarrow (x - 4)(3x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = -\dfrac{2}{3}$.
Vậy $x \in \left\{4; -\dfrac{2}{3}\right\}$.

0,25

Bài 3

Bài toán hình học (2,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Ta có $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{DAE} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.
Theo giả thiết $MD \perp AB$ tại $D \Rightarrow \widehat{ADM} = 90^\circ$.
Và $ME \perp AC$ tại $E \Rightarrow \widehat{AEM} = 90^\circ$.

0,5

Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông: $\widehat{DAE} = \widehat{ADM} = \widehat{AEM} = 90^\circ$, do đó $ADME$ là hình chữ nhật.

0,25

b

Ta có $MD \perp AB$ và $AC \perp AB \Rightarrow MD \parallel AC$ (hay $MD \parallel AE$).
Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MD$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.
Suy ra $D$ là trung điểm của $AB$, hay $BD = DA$.

0,25

Vì $ADME$ là hình chữ nhật nên $ME \parallel AD$ và $ME = AD$.
Do đó $ME \parallel BD$ và $ME = BD$.
Tứ giác $BDEM$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên $BDEM$ là hình bình hành.

0,5

c

Ta có $MD \parallel AC$, mà $AC \perp AB$ và $MD$ qua trung điểm $M$ của $BC$ nên $MD \parallel AC$. Lại có $D, E$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$, do đó $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC \Rightarrow DE \parallel BC$ hay $DE \parallel HM$.
Tứ giác $DHME$ có $DE \parallel HM$ nên là hình thang.

0,25

Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$, $HD$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$ nên $HD = \dfrac{1}{2}AB = AD$.
Mặt khác, trong hình chữ nhật $ADME$, ta có $ME = AD$.
Suy ra $HD = ME$.
Hình thang $DHME$ có hai đường chéo/cạnh bên $HD = ME$ nên $DHME$ là hình thang cân.

0,25

Bài 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (0,5 điểm)

Ta biến đổi biểu thức $P$:
$P = x^2 - 4xy + 5y^2 - 6y + 2026$
$P = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 - 6y + 9) + 2017$
$P = (x - 2y)^2 + (y - 3)^2 + 2017$.

0,25

Vì $(x - 2y)^2 \ge 0$ và $(y - 3)^2 \ge 0$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$
nên $P \ge 2017$ với mọi $x, y$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $\begin{cases} y - 3 = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 3 \\ x = 6 \end{cases}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2017$, đạt được khi $x = 6$ và $y = 3$.

0,25