Đề ôn tập giữa học kì 1 toán 11

Đáp án

A

C

D

B

C

B

Đáp án

A

D

B

D

A

C

1

$\cos\dfrac{5\pi}{6}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

2

Vì $\alpha$ thuộc góc phần tư III nên $\cos\alpha<0$. Do đó $\cos\alpha=-\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{4}{5}$, suy ra $\tan\alpha=\dfrac{-3/5}{-4/5}=\dfrac{3}{4}$.

3

Công thức cộng: $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.

4

Từ $\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a$ và $\cos^2a=1-\sin^2a$, suy ra $\cos 2a=1-2\sin^2a$.

5

Với mọi $x\in\mathbb{R}$, $-1\leq\sin x\leq1$; hàm số nhận mọi giá trị trong đoạn $[-1;1]$.

6

$\tan x$ xác định khi $\cos x\ne0$, tức là $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

7

Hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên $(0;\pi)$. Trên khoảng ở phương án D, hàm số tăng rồi giảm nên không nghịch biến trên cả khoảng.

8

$\sin2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ hoặc $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Trên $[0;2\pi)$ có bốn nghiệm $\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{4\pi}{3}$.

9

Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng.

10

Theo định nghĩa, hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong một mặt phẳng. Điều kiện không có điểm chung chưa đủ vì hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung.

11

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

12

Đây là định lí về điều kiện đủ để đường thẳng song song với mặt phẳng. Điều kiện “$a$ không nằm trong $(\alpha)$” là cần thiết khi áp dụng định lí này.

Đáp án

Đ

S

Đ

S

Đ

S

Đ

S

1a

Thay $x=\dfrac{\pi}{6}$ được $\cos2x=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$. Khẳng định đúng.

1b

$\cos2x=\dfrac12\Leftrightarrow2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Công thức đã nêu sai.

1c

Trên $[0;\pi]$, hai nghiệm là $\dfrac{\pi}{6}$ và $\dfrac{5\pi}{6}$. Khẳng định đúng.

1d

Trên $[-\pi;\pi]$, bốn nghiệm là $-\dfrac{5\pi}{6},-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}$. Khẳng định sai.

2a

Trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AB$. Vì $AB\subset(ABCD)$ và $M\notin(ABCD)$ nên $MN\parallel(ABCD)$.

2b

Gọi $O=AC\cap BD$ và $J=MP\cap SO$. Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$, còn $M,P$ là trung điểm $SA,SC$ nên $SO$ cắt $MP$ tại trung điểm $J$ của $SO$. Vì $SO\subset(SBD)$ nên $MP$ cắt $(SBD)$ tại $J$. Khẳng định sai.

2c

$(SMN)=(SAB)$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$, lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AB,CD$. Vì vậy giao tuyến là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$.

2d

Trong tam giác $SAD$, $MQ\parallel AD$. Do $AD\parallel BC$ nên $MQ\parallel BC$. Lại có $BC\subset(SBC)$ và $M\notin(SBC)$, suy ra $MQ\parallel(SBC)$. Khẳng định sai.

1

Đáp án: $-1$.
Vì $-1\leq\sin x\leq1$ nên $-5\leq2\sin x-3\leq-1$. Dấu bằng ở cận trên xảy ra khi $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Vậy giá trị lớn nhất là $-1$.

0,5

2

Đáp án: $2$.
$\sin x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Điều kiện $0\leq x\leq4\pi$ cho $k=0,1$. Hai nghiệm là $\dfrac{3\pi}{2}$ và $\dfrac{7\pi}{2}$.

0,5

3

Đáp án: $2$.
$\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1\Leftrightarrow2x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.
Điều kiện $0\leq x<\pi$ cho $k=0,1$. Hai nghiệm là $\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}$.

0,5

4

Đáp án: $6$.
Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường qua $N$ song song với $AB$ cắt $SA$ tại $P_0$. Vì $(SAB)\cap(SAC)=SA$ nên $P=P_0$, tức là $P\in SA$.
Trong tam giác $SAB$, $\dfrac{NP}{AB}=\dfrac{SN}{SB}=\dfrac23$. Do đó $NP=\dfrac23\cdot9=6$.

0,5

1
(1,0 điểm)

a

Rút gọn $A=\sin\left(a+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(a-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

0,5

Áp dụng công thức cộng:
$A=\sin a\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos a\sin\dfrac{\pi}{3}$
$\quad+\sin a\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos a\sin\dfrac{\pi}{3}$.

0,25

$A=2\sin a\cos\dfrac{\pi}{3}=\sin a$.

0,25

b

Tính $\sin2a$ khi $\cos a=\dfrac35$, $0<a<\dfrac{\pi}{2}$.

0,5

Vì $\sin a>0$ nên $\sin a=\sqrt{1-\cos^2a}=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45$.

0,25

$\sin2a=2\sin a\cos a=2\cdot\dfrac45\cdot\dfrac35=\dfrac{24}{25}$.

0,25

2
(1,0 điểm)

Giải $\sqrt3\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=3$ trên $[0;\pi]$.

1,0

Điều kiện: $2x-\dfrac{\pi}{6}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, tức là $x\ne\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.
Phương trình tương đương $\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$.

0,25

$2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

0,25

Suy ra $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$. Các giá trị này đều thỏa điều kiện xác định.

0,25

Với $x\in[0;\pi]$, ta có $-\dfrac12\leq k\leq\dfrac32$, nên $k=0,1$. Vậy tập nghiệm là $\left\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right\}$.

0,25

3
(1,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Chứng minh $MN\parallel(SCD)$.

0,5

Trong tam giác $SAB$, $M,N$ là trung điểm của $SA,SB$ nên $MN\parallel AB$. Mà $AB\parallel CD$ nên $MN\parallel CD$.

0,25

Có $CD\subset(SCD)$ và $M\notin(SCD)$, suy ra $MN\parallel(SCD)$.

0,25

b

Chứng minh $SC\parallel(MNE)$.

0,5

[Hình vẽ]

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm $AC$. Trong tam giác $ADC$, $E,O$ là trung điểm $AD,AC$ nên $EO\parallel DC\parallel MN$. Đường thẳng qua $E$ song song với $MN$ nằm trong $(MNE)$, do đó $O\in(MNE)$.

0,25

Trong tam giác $SAC$, $MO$ là đường trung bình nên $MO\parallel SC$. Hai mặt phẳng $(MNE)$ và $(SAB)$ phân biệt vì $E\notin(SAB)$, có giao tuyến $MN$; do $S\notin MN$ nên $S\notin(MNE)$. Vậy $SC$ không nằm trong $(MNE)$. Kết hợp $MO\subset(MNE)$ và $SC\parallel MO$, suy ra $SC\parallel(MNE)$.

0,25

Đáp án

B

D

A

C

D

A

Đáp án

C

B

C

A

D

B

1

Hàm cos là hàm chẵn nên $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$.

2

Vì $\alpha$ thuộc góc phần tư II nên $\cos\alpha<0$. Do đó $\cos\alpha=-\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=-\dfrac{12}{13}$, suy ra $\tan\alpha=\dfrac{5/13}{-12/13}=-\dfrac5{12}$.

3

Công thức hiệu: $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

4

Theo công thức nhân đôi, $\sin2a=2\sin a\cos a$.

5

Hàm số $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$, tức là số dương nhỏ nhất $T$ thỏa $\cos(x+T)=\cos x$ với mọi $x$ là $T=2\pi$.

6

$\cot x$ xác định khi $\sin x\ne0$, tức là $x\ne k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

7

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$. Trên khoảng ở phương án A, hàm số nghịch biến; trên mỗi khoảng ở B và D, hàm số đổi chiều biến thiên.

8

$\cos2x=0\Leftrightarrow2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$. Trên $[0;2\pi)$ có bốn nghiệm $\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}$.

9

Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì có duy nhất một đường thẳng chung, gọi là giao tuyến.

10

Theo định nghĩa, hai đường thẳng không đồng phẳng là hai đường thẳng chéo nhau.

11

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau, nên $a\parallel b$.

12

Áp dụng định lí: đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy thì song song với mặt phẳng.

Đáp án

S

Đ

S

Đ

Đ

S

Đ

S

1a

Với $x=\dfrac{\pi}{8}$, $\sin2x=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\ne-\dfrac{\sqrt2}{2}$. Khẳng định sai.

1b

$\sin2x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\Leftrightarrow2x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ hoặc $2x=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi$.
Suy ra $x=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{8}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Khẳng định đúng.

1c

Trên $[0;2\pi)$, bốn nghiệm là $\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8},\dfrac{13\pi}{8},\dfrac{15\pi}{8}$. Khẳng định sai.

1d

Trên $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$, hai nghiệm là $-\dfrac{3\pi}{8}$ và $-\dfrac{\pi}{8}$. Khẳng định đúng.

2a

Trong tam giác $ABC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset(BCD)$ và $M\notin(BCD)$ nên $MN\parallel(BCD)$.

2b

$P\in AD\subset(ACD)$, trong khi $M\notin(ACD)$, nên $MP$ cắt $(ACD)$ tại $P$. Khẳng định sai.

2c

Hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(BCD)$ phân biệt, có điểm chung $D$, lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MN,BC$. Vì thế giao tuyến đi qua $D$ và song song với $BC$.

2d

$BC\parallel MN$ và $MN\subset(MNP)$. Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABC)$ phân biệt vì $P\notin(ABC)$, giao nhau theo $MN$. Do $B\notin MN$ nên $B\notin(MNP)$. Suy ra $BC\parallel(MNP)$, không cắt $(MNP)$. Khẳng định sai.

1

Đáp án: $-1$.
Vì $-1\leq\cos x\leq1$ nên $-1\leq3\cos x+2\leq5$. Dấu bằng ở cận dưới xảy ra khi $x=\pi+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $-1$.

0,5

2

Đáp án: $5$.
$\cot x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Điều kiện $0\leq x\leq5\pi$ cho $-\dfrac12\leq k\leq\dfrac92$, nên $k=0,1,2,3,4$. Có $5$ nghiệm.

0,5

3

Đáp án: $2$.
$\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1\Leftrightarrow2x-\dfrac{\pi}{3}=2k\pi$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Điều kiện $-\pi\leq x\leq\pi$ cho $-\dfrac76\leq k\leq\dfrac56$, nên $k=-1,0$. Có $2$ nghiệm.

0,5

4

Đáp án: $9$.
Trong mặt phẳng $(SBC)$, đường qua $N$ song song với $BC$ cắt $SC$ tại $P_0$. Vì $(SBC)\cap(SAC)=SC$ nên $P=P_0$, tức là $P\in SC$.
Trong tam giác $SBC$, $\dfrac{NP}{BC}=\dfrac{SN}{SB}=\dfrac34$. Do đó $NP=\dfrac34\cdot12=9$.

0,5

1
(1,0 điểm)

a

Rút gọn $B=\cos\left(a+\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos\left(a-\dfrac{\pi}{6}\right)$.

0,5

Áp dụng công thức cộng:
$B=\cos a\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin a\sin\dfrac{\pi}{6}$
$\quad+\cos a\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin a\sin\dfrac{\pi}{6}$.

0,25

$B=2\cos a\cos\dfrac{\pi}{6}=\sqrt3\cos a$.

0,25

b

Tính $\sin2a$ khi $\sin a=\dfrac5{13}$, $\dfrac{\pi}{2}<a<\pi$.

0,5

Vì $\cos a<0$ nên $\cos a=-\sqrt{1-\sin^2a}=-\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=-\dfrac{12}{13}$.

0,25

$\sin2a=2\sin a\cos a=2\cdot\dfrac5{13}\cdot\left(-\dfrac{12}{13}\right)=-\dfrac{120}{169}$.

0,25

2
(1,0 điểm)

Giải $2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$ trên $[0;\pi]$.

1,0

Phương trình xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$ và tương đương $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

0,25

Trường hợp thứ nhất:
$2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

0,25

Trường hợp thứ hai:
$2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.