Đề kiểm tra trắc nghiệm Toán 11 - Chủ đề Hàm số mũ và Hàm số lôgarit

PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (20 câu – 10,0 điểm)

Câu 1 (0,5 điểm). Cho $a$ là số thực dương. Biểu thức $P = \sqrt[3]{a^2}$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

Câu 2 (0,5 điểm). Cho các số thực dương $a, x, y$ với $a \ne 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3 (0,5 điểm). Cho số thực $a > 0$ và $a \ne 1$. Giá trị của biểu thức $\log_a(a^3)$ bằng

Câu 4 (0,5 điểm). Với số thực $a > 0$ tùy ý, biểu thức $a^2 \cdot a^5$ bằng

Câu 5 (0,5 điểm). Tập xác định $D$ của hàm số $y = \log_3(x - 2)$ là

Câu 6 (0,5 điểm). Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$?

Câu 7 (0,5 điểm). Nghiệm của phương trình $3^x = 9$ là

Câu 8 (0,5 điểm). Nghiệm của phương trình $\log_2 x = 4$ là

Câu 9 (0,5 điểm). Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{a^{-\frac{1}{6}}}$ với $a > 0$, ta được kết quả là

Câu 10 (0,5 điểm). Đặt $a = \log_2 3$. Khi đó giá trị của $\log_4 18$ được biểu diễn theo $a$ là

Câu 11 (0,5 điểm). Tập xác định $D$ của hàm số $y = \log_2(x^2 - 4x + 3)$ là

Câu 12 (0,5 điểm). Đồ thị hàm số nào sau đây đi qua điểm $M(1; 2)$ và nhận trục hoành $Ox$ làm đường tiệm cận ngang?

Câu 13 (0,5 điểm). Nghiệm của phương trình $2^{2x - 1} = 8$ là

Câu 14 (0,5 điểm). Nghiệm của phương trình $\log_3(2x + 1) = \log_3(x + 4)$ là

Câu 15 (0,5 điểm). Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \ge 4$ là

Câu 16 (0,5 điểm). Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{0,3}(x - 1) > 0$ là

Câu 17 (0,5 điểm). Tổng các nghiệm của phương trình $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ bằng

Câu 18 (0,5 điểm). Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_2(x^2 - 3x) \le 2$ là

Câu 19 (0,5 điểm). Một người gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất $6\%$/năm (lãi suất không thay đổi qua các năm). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhiều hơn $150$ triệu đồng?

Câu 20 (0,5 điểm). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-5; 5]$ để phương trình $\log_2^2 x - 2\log_2 x + m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.
Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ với $a > 0$. Do đó $\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$.
Chọn D.

Câu 2.
Với $a > 0, a \ne 1$ và $x, y > 0$, theo quy tắc tính lôgarit của một thương ta có: $\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$.
Chọn C.

Câu 3.
Áp dụng công thức $\log_a(a^\alpha) = \alpha$, ta có $\log_a(a^3) = 3$.
Chọn A.

Câu 4.
Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7$.
Chọn B.

Câu 5.
Hàm số $y = \log_3(x - 2)$ xác định khi và chỉ khi $x - 2 > 0 \iff x > 2$.
Vậy tập xác định là $D = (2; +\infty)$.
Chọn A.

Câu 6.
Hàm số $y = \log_a x$ đồng biến trên $(0; +\infty)$ khi và chỉ khi cơ số $a > 1$.
Vì $\sqrt{3} \approx 1,732 > 1$ nên hàm số $y = \log_{\sqrt{3}} x$ đồng biến trên $(0; +\infty)$.
Chọn C.

Câu 7.
Ta có $3^x = 9 \iff 3^x = 3^2 \iff x = 2$.
Chọn D.

Câu 8.
Theo định nghĩa lôgarit: $\log_2 x = 4 \iff x = 2^4 = 16$.
Chọn C.

Câu 9.
Biến đổi biểu thức:

$$P = \dfrac{a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{-\frac{1}{6}}} = \dfrac{a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}}{a^{-\frac{1}{6}}} = \dfrac{a^{\frac{5}{6}}}{a^{-\frac{1}{6}}} = a^{\frac{5}{6} - \left(-\frac{1}{6}\right)} = a^1 = a.$$

Chọn B.

Câu 10.
Ta có:

$$\log_4 18 = \dfrac{1}{2}\log_2 18 = \dfrac{1}{2}\log_2(2 \cdot 3^2) = \dfrac{1}{2}\left(\log_2 2 + 2\log_2 3\right) = \dfrac{1 + 2a}{2}.$$

Chọn D.

Câu 11.
Hàm số xác định khi $x^2 - 4x + 3 > 0 \iff x < 1$ hoặc $x > 3$.
Vậy tập xác định là $D = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.
Chọn C.

Câu 12.
Hàm số mũ $y = 2^x$ có:
- Đi qua điểm $M(1; 2)$ vì $2^1 = 2$.
- $\lim_{x \to -\infty} 2^x = 0$ nên đồ thị nhận trục hoành $Ox$ ($y = 0$) làm tiệm cận ngang.
Chọn B.

Câu 13.
Phương trình tương đương với:

$$2^{2x - 1} = 2^3 \iff 2x - 1 = 3 \iff 2x = 4 \iff x = 2.$$

Chọn C.

Câu 14.
Điều kiện xác định: $x > -\dfrac{1}{2}$.
Khi đó:

$$\log_3(2x + 1) = \log_3(x + 4) \iff 2x + 1 = x + 4 \iff x = 3\text{ (thỏa mãn)}.$$

Chọn A.

Câu 15.
Ta có:

$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \ge 4 \iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^x \ge \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}.$$

Do cơ số $0 < \dfrac{1}{2} < 1$ nên bất phương trình đổi chiều: $x \le -2$.
Tập nghiệm là $S = (-\infty; -2]$.
Chọn A.

Câu 16.
Điều kiện xác định: $x - 1 > 0 \iff x > 1$.
Vì cơ số $0 < 0,3 < 1$ nên:

$$\log_{0,3}(x - 1) > 0 \iff x - 1 < 0,3^0 \iff x - 1 < 1 \iff x < 2.$$

Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm là $(1; 2)$.
Chọn A.

Câu 17.
Phương trình viết lại: $(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.
Đặt $t = 2^x$ ($t > 0$), ta được phương trình:

$$t^2 - 5t + 4 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 4 \end{array}\right. \text{ (đều thỏa mãn)}.$$

- Với $t = 1 \implies 2^x = 1 \iff x_1 = 0$.
- Với $t = 4 \implies 2^x = 4 \iff x_2 = 2$.
Tổng các nghiệm là $x_1 + x_2 = 0 + 2 = 2$.
Chọn C.

Câu 18.
Bất phương trình tương đương:

$$\begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ x^2 - 3x \le 2^2 \end{cases} \iff \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x > 3 \\ x < 0 \end{array}\right. \\ x^2 - 3x - 4 \le 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x > 3 \\ x < 0 \end{array}\right. \\ -1 \le x \le 4 \end{cases} \iff x \in [-1; 0) \cup (3; 4].$$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \{-1; 4\}$. Vậy có đúng $2$ nghiệm nguyên.
Chọn D.

Câu 19.
Áp dụng công thức lãi kép: $T = A(1 + r)^n$, với $A = 100$ triệu đồng, $r = 6\% = 0,06$.
Theo đề bài:

$$100(1 + 0,06)^n > 150 \iff 1,06^n > 1,5 \iff n > \log_{1,06}(1,5) \approx 6,96.$$

Vì số năm $n$ là số nguyên nên sau ít nhất $7$ năm người đó nhận được số tiền lớn hơn $150$ triệu đồng.
Chọn B.

Câu 20.
Đặt $t = \log_2 x$. Với mỗi giá trị của $t \in \mathbb{R}$ cho đúng một giá trị của $x = 2^t > 0$.
Phương trình trở thành: $t^2 - 2t + m - 3 = 0$.
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình ẩn $t$ phải có 2 nghiệm phân biệt:

$$\Delta' > 0 \iff (-1)^2 - 1 \cdot (m - 3) > 0 \iff 1 - m + 3 > 0 \iff 4 - m > 0 \iff m < 4.$$

Vì $m \in [-5; 5]$ và $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $3 - (-5) + 1 = 9$.
Chọn B.