Đề kiểm tra Toán 11 - Lượng giác, Dãy số và Thống kê

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ

TỔ TOÁN – TIN HỌC

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ MÔN TOÁN – LỚP 11

Năm học: 2024 – 2025

Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây về mối liên hệ giữa đơn vị độ và đơn vị radian là đúng?

A. $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}$ .

B. $1^\circ = 180\pi\text{ rad}$ .

C. $1\text{ rad} = \left(\dfrac{\pi}{180}\right)^\circ$ .

D. $\pi^\circ = 180\text{ rad}$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ và $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ . Giá trị của $\cos\alpha$ bằng

A. $\dfrac{4}{5}$ .

B. $-\dfrac{4}{5}$ .

C. $\dfrac{16}{25}$ .

D. $-\dfrac{16}{25}$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Trong các đẳng thức lượng giác sau, đẳng thức nào sai?

A. $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ .

B. $\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$ .

C. $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ .

D. $\sin 2a = 2\sin a - 2\cos a$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Mệnh đề nào sau đây về tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số lượng giác là đúng?

A. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ .

B. Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ .

C. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ .

D. Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Với mọi số thực $m$ thỏa mãn $|m| \le 1$ , phương trình $\cos x = m$ có công thức nghiệm là (với $\cos\alpha = m$ )

A. $\left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$ .

B. $\left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$ .

C. $x = \alpha + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

D. $\left[\begin{array}{l} x = \alpha + k\pi \\ x = -\alpha + k\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là

A. $x = k2\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

B. $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z})$ .

C. $x = k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

D. $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ( $k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$ với mọi $n \ge 1$ . Số hạng thứ ba $u_3$ của dãy số bằng

A. $\dfrac{5}{4}$ .

B. $\dfrac{3}{4}$ .

C. $1$ .

D. $\dfrac{7}{4}$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

A. $1; 3; 9; 27$ .

B. $2; 4; 6; 8$ .

C. $1; 2; 4; 7$ .

D. $1; -1; 1; -1$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và số hạng thứ tư $u_4 = 12$ . Công sai $d$ của cấp số cộng đó bằng

A. $d = 4$ .

B. $d = 9$ .

C. $d = 3$ .

D. $d = -3$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \ne 0$ . Công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ ( $n \ge 2$ ) là

A. $u_n = u_1 + (n - 1)q$ .

B. $u_n = u_1 \cdot q^n$ .

C. $u_n = u_1 \cdot q^{n - 1}$ .

D. $u_n = u_1 \cdot q^{n + 1}$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày của một số học sinh khối 11, ta thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[30; 60)$	$[60; 90)$	$[90; 120)$	$[120; 150)$
Số học sinh	$8$	$15$	$12$	$5$

Mẫu số liệu ghép nhóm trên gồm bao nhiêu nhóm?

A. $4$ nhóm.

B. $5$ nhóm.

C. $40$ nhóm.

D. $30$ nhóm.

Câu 12 (0,25 điểm). Giá trị đại diện của nhóm số liệu $[40; 60)$ là

A. $20$ .

B. $50$ .

C. $45$ .

D. $55$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho phương trình lượng giác $2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3} = 0$ .
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
b) Phương trình có một họ nghiệm là $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
c) Phương trình có họ nghiệm thứ hai là $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
d) Trên khoảng $(0; \pi)$ , phương trình đã cho có đúng $2$ nghiệm phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q$ thoả mãn hệ phương trình:

$\begin{cases} u_1 + u_3 = 10 \\ u_2 + u_4 = 20 \end{cases}$

a) Hệ phương trình đã cho có thể viết lại dưới dạng $\begin{cases} u_1(1 + q^2) = 10 \\ u_1 q(1 + q^2) = 20 \end{cases}$ .
b) Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 2$ .
c) Số hạng thứ năm của cấp số nhân là $u_5 = 16$ .
d) Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng $S_6 = 126$ .

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN)

(Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	B	D	C	B	C	A	B	C	C	A	B

B. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI PHẦN II (TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI)

Quy tắc tính điểm: 1 ý đúng được 0,1 điểm; 2 ý đúng được 0,25 điểm; 3 ý đúng được 0,5 điểm; 4 ý đúng được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án	Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1	a)	ĐÚNG	Phương trình $2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
	b)	ĐÚNG	Vì $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3}$ , ta có: • $2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
	c)	ĐÚNG	Họ nghiệm còn lại là: • $2x - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
	d)	ĐÚNG	Xét các nghiệm trên khoảng $(0; \pi)$ : • Với $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ : vì $x \in (0; \pi)$ nên chọn $k = 0 \Rightarrow x_1 = \dfrac{\pi}{3}$ . • Với $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ : vì $x \in (0; \pi)$ nên chọn $k = 0 \Rightarrow x_2 = \dfrac{\pi}{2}$ . Vậy có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng $(0; \pi)$ là $x = \dfrac{\pi}{3}$ và $x = \dfrac{\pi}{2}$ .
Câu 2	a)	ĐÚNG	Ta có $u_3 = u_1 q^2$ , $u_2 = u_1 q$ , $u_4 = u_1 q^3$ . Do đó hệ trở thành $\begin{cases} u_1 + u_1 q^2 = 10 \\ u_1 q + u_1 q^3 = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q^2) = 10 \\ u_1 q(1 + q^2) = 20 \end{cases}$ .
	b)	ĐÚNG	Lấy phương trình dưới chia phương trình trên vế theo vế: $\dfrac{u_1 q(1 + q^2)}{u_1(1 + q^2)} = \dfrac{20}{10} \Rightarrow q = 2$ . Thay $q = 2$ vào phương trình đầu: $u_1(1 + 2^2) = 10 \Leftrightarrow 5u_1 = 10 \Leftrightarrow u_1 = 2$ .
	c)	SAI	Số hạng thứ năm là: $u_5 = u_1 \cdot q^4 = 2 \cdot 2^4 = 2 \cdot 16 = 32 \ne 16$ .
	d)	ĐÚNG	Tổng của 6 số hạng đầu tiên là: $S_6 = \dfrac{u_1(1 - q^6)}{1 - q} = \dfrac{2(1 - 2^6)}{1 - 2} = \dfrac{2(1 - 64)}{-1} = 2 \cdot 63 = 126$ .

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN)

B. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI PHẦN II (TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI)

Đề cùng môn Toán, lớp 11