Đề kiểm tra Toán 11 (lượng giác – cấp số cộng – thống kê) trang 1

PHẦN I. TRẢ LỜI ĐÚNG - SAI

Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 4u_n + 9 \end{cases}$, $\forall n \ge 1$. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Công thức của số hạng tổng quát là $u_n = 4.3^{n-1} - 2$;

b) Số hạng thứ hai $u_2 = 17$;

c) Tổng 10 số hạng đầu của dãy số đã cho là $S_{10} = 1747595$;

d) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số giảm.

Câu 2. Cho các hàm số sau $f(x) = \sin x$ và $g(x) = \cos 2x$. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hàm số $g(x) = \cos 2x$ có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng;

b) Hàm số $f(x) = \sin x$ đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$;

c) Đồ thị hai hàm số $f(x) = \sin x$ và $g(x) = \cos 2x$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc khoảng $(0; \pi)$;

d) Tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình $f(x) = g(x)$ là $\dfrac{-\pi}{6}$.

Câu 3. Cho hàm số $y = \sin x + \sqrt{3}\cos x + 1$. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hàm số có tập xác định là $D = \mathbb{R}$.
b) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T = \pi$.
c) Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số là $2 + \sqrt{3}$.

Câu 4. Hằng ngày mặt trời chiếu sáng, bóng của một tòa nhà cao $20$ m in trên mặt đất, độ dài của bóng tòa nhà này được mô hình hóa bởi hàm số $S(t) = 20\left|\cos\dfrac{\pi t}{12}\right|$ (m), $t$ là số giờ tính từ 6 giờ sáng.
a) Hàm số $S(t)$ tuần hoàn với chu kì $T = 24$ giờ.
b) Độ dài lớn nhất của bóng tòa nhà là $10$ m.
c) Lúc 10 giờ sáng, bóng tòa nhà dài $10\sqrt{3}$ m.
d) Trong một ngày, từ 6 giờ sáng đến 6 giờ tối, có 1 thời điểm mà bóng tòa nhà có độ dài bằng $10$ m.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Câu 1. Cho $\cos x = \dfrac{1}{3}$. Tính $\cos 2x$.

Câu 2. Tính tổng các giá trị của $m$ để phương trình $(2\cos x - 1)(\sin 2x - m) = 0$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left(-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3. Litva là một nước trong liên minh Châu Âu, đã gia nhập khu vực đồng tiền chung Châu Âu thông qua việc sử dụng đồng Euro vào ngày 01 tháng 01 năm 2015. Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước Litva quyết định dùng 122550 đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình kim tự tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có 4901 đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi 100 đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng?

Câu 4. Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu $L$ (tính theo đơn vị mét) của mực nước trong kênh theo thời gian $t$ (giờ) được cho bởi công thức: $L = 3\sin\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) + 14$. Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là $t = \frac{a}{b}$ (giờ) với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của $a \cdot b$.

Câu 5. Cho phương trình $\cos 3x = 2m^2 - 3m + 1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình có nghiệm?

Câu 6. Cho hai điểm $A, B$ thuộc đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[0; \pi]$. Các điểm $C, D$ thuộc trục $Ox$ thỏa mãn $ABCD$ là hình chữ nhật và $CD = \dfrac{\pi}{3}$. Độ dài cạnh $BC$ là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 7. Tổng các nghiệm của phương trình $\sin x - \cos 2x = 0$ trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ có dạng $-\dfrac{a\pi}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}^+$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $a+b$ bằng

Câu 8. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng thứ 6 là 96, số hạng thứ 3 là 12. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân này.

Câu 9. Sự thay đổi chiều cao của mực nước tại một cảng biển trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm được mô tả bằng đồ thị dưới đây.

Biết chiều cao của mực nước $h$ (m) theo thời gian $t$ (h) $(0 \le t \le 24)$ được cho bởi công thức $h(t) = a + b\cos\left(\dfrac{\pi}{12}t - \dfrac{\pi}{6}\right)$ với $a, b$ là các số thực dương cho trước. Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11 m.

Câu 10. Trong cuộc tổng điều tra dân số năm 2019, tỷ lệ tăng dân số mỗi năm của tỉnh $A$ giai đoạn 2009 – 2019 là 0,5%. Do thực hiện các chính sách về dân số nên tỉnh $A$ dự kiến tỷ lệ tăng dân số mỗi năm trong giai đoạn năm 2020 – 2030 chỉ còn lại là 0,35%. Theo thống kê, số dân tỉnh $A$ năm 2024 nhiều hơn năm 2016 là 65966 người. Hỏi số dân tỉnh $A$ năm 2030 khoảng bao nhiêu?

Câu 11. Cho $\tan x = 2$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{\sin x - 5\cos x}{\sin x + \cos x}$.

Câu 12. Biết $\cos x \cdot \cos(60^\circ - x) \cdot \cos(60^\circ + x) = k \cdot \cos 3x$ với $k \in \mathbb{R}$. Giá trị của $\sin(k\pi)$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 13. Bạn Bình định xếp một hình tháp bởi các mảnh ghép tam giác (xem hình vẽ minh họa). Tầng dưới cùng Bình xếp 35 hình và tầng tiếp theo ít hơn tầng dưới nó 2 hình. Bình xếp cho đến khi không xếp lên được nữa. Hỏi Bình cần bao nhiêu mảnh ghép hình tam giác để xếp xong tháp?

Câu 14. Giải phương trình: $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.

Câu 15. Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để ngắm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất 12 m tại một góc ngắm $\alpha$ (góc hợp bởi phương bắn và phương ngang). Nếu vận động viên tăng góc ngắm đó lên hai lần thì bắn trúng mục tiêu cách mặt đất 25 m. Hỏi vị trí vận động viên nằm cách bức tường bao nhiêu mét?

Câu 16. Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $u_4 + u_{97} = 124$. Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$ đã cho bằng bao nhiêu?

Câu 17. Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng bị hao mòn 10% so với giá trị của năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của máy photocopy đó sau 8 năm kể từ khi mua (đơn vị triệu đồng và làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 18. Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của con kênh tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức:

$$h = \dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}\right) + 3, \quad 0 \le t < 24.$$

Mực nước của kênh cao nhất khi $t$ bằng bao nhiêu?

Câu 19.
a) Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = -\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính $\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
b) Có hai tòa nhà cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là $HK = 10$ m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí $C$. Gọi $A, B$ lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được.

Biết $CK = 17$ m, $AH = 4$ m, $BH = 14$ m. Tính $\tan\widehat{ACB}$.

Câu 20. Một nhà hát có 1050 ghế và lên kế hoạch cải tạo các hàng ghế theo thiết kế: hàng ghế đầu tiên có 20 ghế, mỗi hàng ghế sau có thêm 2 ghế và cứ tiếp tục theo quy luật đó. Nếu hàng ghế cuối cùng được sắp xếp sao cho phù hợp với quy luật trên thì hàng chứa được số ghế nhiều nhất. Hỏi nhà hát phải mua thêm ít nhất bao nhiêu ghế để sắp xếp theo quy luật trên.

Câu 21. Người ta dùng các que diêm có độ dài bằng nhau để xếp thành các hình tam giác đều, biết cạnh của tam giác đều ở hình thứ $n+1$ gấp đôi cạnh của tam giác đều ở hình thứ $n$ (với $n$ là số nguyên dương) như hình vẽ dưới đây.

Để xếp hình thứ 5 thì cần dùng bao nhiêu que diêm?