ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10: QUY TẮC ĐẾM

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 21. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1. Một tiệm ăn sáng phục vụ thực khách gồm $5$ món bánh mì, $4$ món bún và $3$ món phở khác nhau. Một khách hàng muốn chọn đúng một món ăn để dùng bữa sáng. Hỏi thực khách đó có bao nhiêu cách chọn?

Câu 2. Bạn An dự định đi từ Hà Nội về quê ở Nam Định vào dịp cuối tuần. Để di chuyển, An có thể chọn một trong $4$ hãng xe khách chất lượng cao, $2$ chuyến tàu hoả trong ngày hoặc $3$ dịch vụ xe limousine đón tận nơi. Hỏi An có bao nhiêu lựa chọn về phương tiện di chuyển?

Câu 3. Thực đơn giải khát của một quán trà gồm $6$ loại nước ép trái cây và $5$ loại bánh ngọt ăn kèm. Một bạn trẻ muốn đặt một combo gồm đúng $1$ loại nước ép và $1$ loại bánh ngọt. Số cách lựa chọn combo là:

Câu 4. Bạn Nam chuẩn bị trang phục đi dự tiệc sinh nhật. Trong tủ đồ của Nam có $4$ chiếc áo sơ mi màu sắc khác nhau và $3$ chiếc quần âu khác màu. Một bộ trang phục hoàn chỉnh gồm $1$ chiếc áo sơ mi kết hợp với $1$ chiếc quần âu. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ trang phục?

Câu 5. Một đoàn xe vận chuyển hàng hóa xuất phát từ kho hàng $A$ đến siêu thị $D$, trên hành trình phải đi qua hai trạm trung chuyển $B$ và $C$. Biết rằng từ $A$ đến $B$ có $3$ tuyến đường, từ $B$ đến $C$ có $4$ tuyến đường và từ $C$ đến $D$ có $2$ tuyến đường độc lập. Hỏi tài xế có bao nhiêu lộ trình di chuyển khác nhau từ $A$ đến $D$?

Câu 6. Một vali du lịch sử dụng ổ khóa bảo mật gồm $3$ vòng xoay số. Mỗi vòng xoay được đánh các chữ số từ $0$ đến $9$. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu mật mã khóa vali gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau?

Câu 7. Một siêu thị quy định mã số tủ gửi đồ của khách hàng gồm $3$ ký tự: ký tự đầu tiên là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh (gồm $26$ chữ cái từ A đến Z), theo sau là $2$ chữ số (từ $0$ đến $9$, các chữ số có thể giống nhau). Hỏi siêu thị có thể tạo ra tối đa bao nhiêu mã tủ gửi đồ khác nhau?

Câu 8. Tổ học tập của lớp 10A có $8$ học sinh. Trong buổi sinh hoạt lớp, giáo viên chủ nhiệm muốn phân công $1$ bạn làm tổ trưởng và $1$ bạn làm tổ phó (mỗi bạn chỉ giữ đúng một nhiệm vụ). Hỏi có bao nhiêu cách phân công nhiệm vụ cho hai bạn?

Câu 9. Trên giá sách cá nhân của bạn Minh có $5$ cuốn tiểu thuyết văn học, $4$ cuốn sách kỹ năng sống và $3$ cuốn sách lịch sử (các cuốn sách đều khác nhau). Minh muốn chọn ra $2$ cuốn sách thuộc $2$ thể loại khác nhau để đọc vào hai ngày cuối tuần. Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn?

Câu 10. Để cấp thẻ thành viên cho khách hàng thân thiết, một cửa hàng thời trang phát hành thẻ có mã số gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập hợp $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Hỏi có bao nhiêu mã thẻ thành viên là số chẵn?

Câu 11. Một nhà ăn học đường thiết kế thực đơn cơm trưa theo phần. Mỗi phần ăn gồm $1$ món chính (chọn trong $4$ món mặn), $1$ món rau (chọn trong $3$ loại rau xào/luộc), $1$ món canh (chọn trong $2$ loại canh) và $1$ món tráng miệng (chọn trong $3$ loại quả). Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn một bữa trưa đầy đủ?

Câu 12. Một nhóm gồm $4$ bạn học sinh: An, Bình, Chi và Dũng xếp thành một hàng dọc tại quầy vé của rạp chiếu phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng sao cho bạn An luôn đứng ở vị trí đầu tiên của hàng?

Câu 13. Một bảng hiệu quảng cáo gồm $3$ khung hình chữ nhật đặt liên tiếp nhau theo hàng ngang. Người thợ sơn có $4$ hộp sơn với các màu khác nhau: Đỏ, Xanh, Vàng, Trắng. Để bảng hiệu bắt mắt, người thợ quy định mỗi ô sơn một màu và hai ô nằm cạnh nhau không được sơn cùng màu. Hỏi người thợ có bao nhiêu cách sơn bảng hiệu?

Câu 14. Một cơ quan lắp đặt hệ thống điện thoại bàn nội bộ gồm $4$ chữ số. Ban giám đốc quy định số điện thoại nội bộ của các phòng ban phải bắt đầu bằng chữ số $8$ và chữ số tận cùng phải là một chữ số lẻ. Hỏi cơ quan này có thể thiết lập tối đa bao nhiêu số điện thoại nội bộ?

Câu 15. Ứng dụng ngân hàng số yêu cầu người dùng thiết lập mã PIN giao dịch gồm $4$ chữ số. Hỏi có bao nhiêu mã PIN thỏa mãn điều kiện: không chứa chữ số $0$ và các chữ số không được trùng lặp?

Câu 16. Trong buổi biểu diễn văn nghệ chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam, câu lạc bộ âm nhạc chuẩn bị $4$ tiết mục hát đơn ca, $3$ tiết mục múa dân gian và $2$ vở kịch ngắn. Ban tổ chức muốn xếp lịch biểu diễn liên tiếp gồm đúng $3$ tiết mục: mở đầu là một tiết mục đơn ca, tiếp theo là một tiết mục múa, và kết thúc bằng một vở kịch ngắn. Số cách xếp chương trình biểu diễn là:

Câu 17. Giữa hai hòn đảo du lịch $X$ và $Y$ có $5$ cây cầu vượt biển nối liền. Một du khách muốn lái xe đi từ đảo $X$ sang đảo $Y$ tham quan rồi sau đó quay trở lại đảo $X$, nhưng không muốn đi qua cây cầu đã đi ở lượt đi. Hỏi du khách đó có bao nhiêu cách lựa chọn đường đi khứ hồi?

Câu 18. Bốn đội bóng đá phong trào lọt vào vòng bán kết của một giải đấu. Ban tổ chức sẽ tiến hành thi đấu để phân định các vị trí: Đội vô địch (Hạng Nhất), Đội Á quân (Hạng Nhì) và Đội Hạng Ba. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra cho ba thứ hạng cao nhất này?

Câu 19. Một cửa hàng trà sữa cho phép khách hàng tự thiết kế món đồ uống theo ý thích: chọn $1$ trong $3$ kích cỡ ly (nhỏ, vừa, lớn), chọn $1$ trong $4$ vị trà nền (hồng trà, lục trà, ô long, trà sen) và chọn đúng $1$ loại topping (trong danh sách $5$ loại topping có sẵn). Hỏi khách hàng có bao nhiêu cách để tạo ra một ly trà sữa?

Câu 20. Lớp 10B có $15$ học sinh nam và $10$ học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần cử ra một ban đại diện gồm đúng $2$ học sinh đi dự Đại hội Đoàn trường, trong đó yêu cầu phải có cả học sinh nam và học sinh nữ. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Câu 21. Một người dùng máy tính muốn tự lắp ráp một thùng máy (PC). Người đó cần chọn: $1$ bo mạch chủ (trong $3$ mẫu tương thích), $1$ bộ vi xử lý CPU (trong $4$ mẫu cùng socket), $1$ thanh RAM (trong $3$ dòng phù hợp) và $1$ vỏ máy tính (trong $5$ kiểu dáng có sẵn). Hỏi người đó có thể tạo ra bao nhiêu cấu hình máy tính khác nhau?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Một chuyên gia kinh tế có kế hoạch đi công tác từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh trong ngày Thứ Hai, sau đó từ TP. Hồ Chí Minh bay sang Singapore vào ngày Thứ Tư cùng tuần. Qua tra cứu thông tin chuyến bay:
- Trong ngày Thứ Hai, từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh có $5$ chuyến bay của Hãng Hàng không Vietnam Airlines, $4$ chuyến của Vietjet Air và $3$ chuyến của Bamboo Airways.
- Trong ngày Thứ Tư, từ TP. Hồ Chí Minh sang Singapore có $4$ chuyến bay thẳng và $2$ chuyến bay quá cảnh qua Kuala Lumpur.
a) Chuyên gia có $12$ cách chọn một chuyến bay từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh trong ngày Thứ Hai.
b) Chuyên gia có $6$ cách chọn một chuyến bay từ TP. Hồ Chí Minh sang Singapore trong ngày Thứ Tư.
c) Số lộ trình bay trọn gói gồm $1$ chuyến chặng Hà Nội – TP. Hồ Chí Minh và $1$ chuyến chặng TP. Hồ Chí Minh – Singapore là $18$ cách.
d) Nếu chuyên gia quyết định chỉ đi các chuyến bay của Vietnam Airlines ở chặng thứ nhất và chỉ chọn chuyến bay thẳng ở chặng thứ hai thì có tất cả $20$ lịch trình di chuyển khác nhau.

Câu 2. Một sàn thương mại điện tử tạo mã vận đơn tự động cho các kiện hàng. Mỗi mã vận đơn gồm $4$ ký tự: $2$ ký tự đầu tiên là hai chữ cái in hoa lấy từ tập hợp $\{A, B, C, D, E\}$, hai ký tự tiếp theo là hai chữ số lấy từ tập hợp $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
a) Nếu các chữ cái và các chữ số đều có thể lặp lại, sàn thương mại điện tử có thể tạo ra tối đa $900$ mã vận đơn khác nhau.
b) Nếu quy định hai chữ cái phải khác nhau và hai chữ số phải khác nhau, số mã vận đơn có thể tạo ra là $600$ mã.
c) Số mã vận đơn có hai chữ cái khác nhau và kết thúc bằng một chữ số chẵn (các chữ số có thể trùng nhau) là $360$ mã.
d) Có đúng $120$ mã vận đơn bắt đầu bằng chữ cái $A$, trong đó hai chữ cái khác nhau và hai chữ số đều là số lẻ đôi một khác nhau.

Câu 3. Đội thanh niên tình nguyện xung kích của một trường THPT gồm $6$ học sinh nam và $8$ học sinh nữ. Đoàn trường cần phân công nhân lực tham gia chiến dịch tình nguyện:
a) Có $14$ cách chọn ra $1$ học sinh đại diện đội đọc lời phát động chiến dịch.
b) Có $48$ cách chọn ra một cặp gồm $1$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ để làm nhóm phụ trách truyền thông.
c) Có $288$ cách chọn ra $1$ bạn nam làm đội trưởng, $1$ bạn nữ làm đội phó và $1$ bạn nam nữa làm ủy viên thường trực.
d) Đoàn trường cần chọn ra $2$ học sinh đi dự tập huấn công tác tình nguyện cấp Thành phố. Số cách chọn sao cho trong $2$ bạn được chọn có ít nhất $1$ bạn nữ là $76$ cách.

Câu 4. Một trung tâm hội nghị tiệc cưới đưa ra gói thực đơn chuẩn gồm $5$ món: $1$ món khai vị nguội, $1$ món khai vị nóng, $1$ món chính hải sản, $1$ món chính gia cầm và $1$ món tráng miệng. Danh sách món ăn có sẵn của nhà hàng gồm:
- $3$ món khai vị nguội khác nhau;
- $4$ món khai vị nóng khác nhau;
- $5$ món chính hải sản khác nhau;
- $4$ món chính gia cầm khác nhau;
- $3$ món tráng miệng gồm: Chè hạt sen, Bánh flan và Kem tươi.
a) Số cách chọn đúng $1$ món tráng miệng cho bữa tiệc là $3$ cách.
b) Số thực đơn tiệc cưới gồm đủ $5$ món theo cơ cấu quy định là $720$ thực đơn.
c) Nếu gia đình không muốn chọn món "Kem tươi" trong danh mục tráng miệng thì số thực đơn có thể chọn sẽ giảm đi $240$ thực đơn.
d) Giả sử nhà hàng có chương trình: nếu bàn tiệc chọn món chính hải sản là "Tôm hùm nướng phô mai" thì sẽ được tặng gói trang trí hoa tươi. Số thực đơn tiệc cưới hợp lệ có món "Tôm hùm nướng phô mai" là $180$ thực đơn.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 8. Viết kết quả tính toán vào ô tương ứng.

Câu 1. Một công ty xe khách liên tỉnh phát hành vé điện tử cho hành khách. Mỗi vé được gán một mã định danh gồm $5$ ký tự: $2$ ký tự đầu là hai chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh (từ A đến Z, gồm $26$ chữ cái, các chữ cái có thể giống nhau), $3$ ký tự tiếp theo là ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Hỏi công ty có thể phát hành tối đa bao nhiêu mã vé khác nhau?

Câu 2. Một gia đình gồm $5$ thành viên (bố, mẹ và $3$ người con) cùng đi du lịch trên một chiếc xe ô tô $7$ chỗ (gồm $1$ ghế lái và $6$ ghế hành khách). Biết rằng trong gia đình chỉ có bố và mẹ là có giấy phép lái xe. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho $5$ thành viên trên chiếc xe đó sao cho luôn có người lái xe?

Câu 3. Một bệnh viện đa khoa có ca trực cấp cứu ban đêm gồm $6$ bác sĩ và $8$ điều dưỡng. Ban giám đốc cần phân công nhiệm vụ cụ thể cho ca trực gồm: $1$ bác sĩ trực chính (trưởng ca), $1$ bác sĩ trực phụ và $2$ điều dưỡng phụ trách hai khu bệnh nhân $A$, $B$ riêng biệt (mỗi khu $1$ điều dưỡng). Hỏi có bao nhiêu cách phân công nhân sự cho ca trực?

Câu 4. Một hệ thống ngân hàng trực tuyến tạo mã OTP xác thực giao dịch gồm $4$ chữ số gửi về điện thoại khách hàng (các chữ số có thể từ $0$ đến $9$). Hỏi có bao nhiêu mã OTP mà chữ số đầu tiên là chữ số lẻ và trong mã có ít nhất một chữ số $0$?

Câu 5. Một công ty du lịch thiết kế hành trình khám phá di sản miền Trung qua ba tỉnh thành: Thừa Thiên Huế, Đà Nẵng và Quảng Nam. Tại Huế có $4$ điểm di tích, tại Đà Nẵng có $5$ điểm du lịch sinh thái và tại Quảng Nam có $3$ điểm di sản văn hóa. Trưởng đoàn muốn xây dựng một tour du lịch bằng cách chọn ở mỗi địa phương đúng $2$ điểm tham quan khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các điểm tham quan để tạo nên một hành trình du lịch?

Câu 6. Một khách sạn ven biển có $3$ tầng dành cho khách lưu trú, mỗi tầng có các phòng được đánh số bằng $3$ chữ số dạng $\overline{abc}$, trong đó chữ số $a$ biểu thị số tầng ($a \in \{1, 2, 3\}$), $b$ và $c$ là các chữ số lấy từ tập hợp $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ sao cho hai chữ số $b$ và $c$ không đồng thời bằng $0$ (tức là không tồn tại phòng có dạng $\overline{a00}$) và số phòng phải là một số chẵn. Hỏi khách sạn có thể đánh số cho tối đa bao nhiêu phòng nghỉ?

Câu 7. Một ngọn hải đăng ngoài khơi có một cột đèn tín hiệu thẳng đứng gồm $5$ vị trí lắp đèn từ trên xuống dưới. Mỗi vị trí có thể phát sáng bằng một bóng đèn màu Đỏ, hoặc một bóng đèn màu Xanh, hoặc tắt đèn (không phát sáng). Một tín hiệu hàng hải được coi là hợp lệ nếu có ít nhất một vị trí bật đèn sáng. Hỏi ngọn hải đăng có thể phát ra bao nhiêu tín hiệu hàng hải hợp lệ khác nhau?

Câu 8. Câu lạc bộ thể thao của một trường THPT chuẩn bị tham dự giải cờ vua giao hữu. Đội tuyển dự nguồn gồm $10$ học sinh khối 10, $8$ học sinh khối 11 và $6$ học sinh khối 12. Huấn luyện viên cần chọn ra một đội hình gồm $3$ kỳ thủ thuộc ba khối lớp khác nhau (mỗi khối lớp đúng $1$ học sinh) và phân công $3$ bạn này ngồi vào $3$ bàn thi đấu đối kháng (Bàn 1, Bàn 2, Bàn 3). Hỏi có tất cả bao nhiêu cách lập và phân công đội thi đấu?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.
Đáp án: B
Lời giải:
Khách hàng chọn đúng một món ăn sáng trong các món đã cho.
Hành động này gồm các phương án loại trừ lẫn nhau:
- Chọn 1 món bánh mì: có $5$ cách.
- Chọn 1 món bún: có $4$ cách.
- Chọn 1 món phở: có $3$ cách.
Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn là: $5 + 4 + 3 = 12$ cách.

Câu 2.
Đáp án: A
Lời giải:
An chọn đúng một phương tiện để về quê. Các lựa chọn này không trùng nhau:
- Xe khách: có $4$ cách.
- Tàu hoả: có $2$ cách.
- Xe limousine: có $3$ cách.
Theo quy tắc cộng, số cách chọn là: $4 + 2 + 3 = 9$ cách.

Câu 3.
Đáp án: C
Lời giải:
Việc chọn một combo gồm hai công đoạn liên tiếp:
- Công đoạn 1: Chọn $1$ loại nước ép có $6$ cách.
- Công đoạn 2: Chọn $1$ loại bánh ngọt có $5$ cách.
Theo quy tắc nhân, số combo có thể chọn là: $6 \times 5 = 30$ cách.

Câu 4.
Đáp án: D
Lời giải:
Để có một bộ trang phục, Nam thực hiện hai hành động liên tiếp:
- Chọn $1$ chiếc áo sơ mi: có $4$ cách.
- Chọn $1$ chiếc quần âu: có $3$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một bộ trang phục là: $4 \times 3 = 12$ cách.

Câu 5.
Đáp án: B
Lời giải:
Hành trình từ $A$ đến $D$ gồm ba chặng đường liên tiếp:
- Đi từ $A$ đến $B$: có $3$ cách.
- Đi từ $B$ đến $C$: có $4$ cách.
- Đi từ $C$ đến $D$: có $2$ cách.
Theo quy tắc nhân, số lộ trình khác nhau từ $A$ đến $D$ là: $3 \times 4 \times 2 = 24$ lộ trình.

Câu 6.
Đáp án: C
Lời giải:
Mã khóa vali có dạng $\overline{abc}$ với $a, b, c \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ và $a, b, c$ đôi một khác nhau (chú ý chữ số đầu $a$ có thể bằng $0$):
- Vòng xoay thứ nhất ($a$): có $10$ cách chọn.
- Vòng xoay thứ hai ($b$): khác $a$ nên có $9$ cách chọn.
- Vòng xoay thứ ba ($c$): khác $a$ và $b$ nên có $8$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số mã khóa vali là: $10 \times 9 \times 8 = 720$ mã.

Câu 7.
Đáp án: A
Lời giải:
Mã tủ gồm $3$ ký tự dạng $X d_1 d_2$:
- Ký tự $X$ là chữ cái in hoa tiếng Anh: có $26$ cách chọn.
- Ký tự $d_1$ là chữ số: có $10$ cách chọn (từ $0$ đến $9$).
- Ký tự $d_2$ là chữ số (có thể giống $d_1$): có $10$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số mã tủ tối đa là: $26 \times 10 \times 10 = 2600$ mã.

Câu 8.
Đáp án: B
Lời giải:
Việc phân công gồm hai công đoạn:
- Chọn $1$ bạn làm tổ trưởng: có $8$ cách chọn.
- Chọn $1$ bạn trong $7$ bạn còn lại làm tổ phó: có $7$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số cách phân công là: $8 \times 7 = 56$ cách.

Câu 9.
Đáp án: D
Lời giải:
Minh chọn $2$ cuốn sách thuộc $2$ thể loại khác nhau, có $3$ trường hợp xảy ra:
- Trường hợp 1: Chọn $1$ cuốn tiểu thuyết và $1$ cuốn kỹ năng sống: có $5 \times 4 = 20$ cách.
- Trường hợp 2: Chọn $1$ cuốn tiểu thuyết và $1$ cuốn lịch sử: có $5 \times 3 = 15$ cách.
- Trường hợp 3: Chọn $1$ cuốn kỹ năng sống và $1$ cuốn lịch sử: có $4 \times 3 = 12$ cách.
Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn là: $20 + 15 + 12 = 47$ cách.

Câu 10.
Đáp án: A
Lời giải:
Gọi mã thẻ là số chẵn có dạng $\overline{abc}$ với $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ và $a, b, c$ đôi một khác nhau:
- Do số này chẵn nên chữ số tận cùng $c \in \{2, 4\}$: có $2$ cách chọn.
- Chữ số $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{c\}$: có $4$ cách chọn.
- Chữ số $b \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{a, c\}$: có $3$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số mã thẻ thỏa mãn là: $2 \times 4 \times 3 = 24$ mã.

Câu 11.
Đáp án: C
Lời giải:
Việc chọn một bữa trưa gồm $4$ công đoạn liên tiếp:
- Chọn món chính: có $4$ cách.
- Chọn món rau: có $3$ cách.
- Chọn món canh: có $2$ cách.
- Chọn món tráng miệng: có $3$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: $4 \times 3 \times 2 \times 3 = 72$ cách.

Câu 12.
Đáp án: D
Lời giải:
Hàng dọc gồm $4$ vị trí:
- Vị trí thứ 1: bạn An đứng đầu nên có $1$ cách chọn.
- Vị trí thứ 2: chọn $1$ trong $3$ bạn còn lại nên có $3$ cách chọn.
- Vị trí thứ 3: chọn $1$ trong $2$ bạn còn lại nên có $2$ cách chọn.
- Vị trí thứ 4: có $1$ cách chọn cho bạn cuối cùng.
Theo quy tắc nhân, số cách xếp hàng là: $1 \times 3 \times 2 \times 1 = 6$ cách.

Câu 13.
Đáp án: B
Lời giải:
Sơn $3$ ô liên tiếp từ trái sang phải:
- Ô thứ nhất: có $4$ cách chọn màu sơn.
- Ô thứ hai: phải khác màu ô thứ nhất nên có $4 - 1 = 3$ cách chọn.
- Ô thứ ba: phải khác màu ô thứ hai nên có $4 - 1 = 3$ cách chọn (có thể trùng màu ô thứ nhất).
Theo quy tắc nhân, số cách sơn là: $4 \times 3 \times 3 = 36$ cách.

Câu 14.
Đáp án: A
Lời giải:
Số điện thoại có dạng $\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}$:
- Chữ số đầu $d_1 = 8$: có $1$ cách chọn.
- Chữ số tận cùng $d_4$ là chữ số lẻ ($d_4 \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$): có $5$ cách chọn.
- Chữ số thứ hai $d_2 \in \{0, 1, \dots, 9\}$: có $10$ cách chọn.
- Chữ số thứ ba $d_3 \in \{0, 1, \dots, 9\}$: có $10$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số điện thoại nội bộ tối đa là: $1 \times 10 \times 10 \times 5 = 500$ số.

Câu 15.
Đáp án: C
Lời giải:
Mã PIN gồm $4$ chữ số khác nhau lấy từ tập $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ (gồm $9$ chữ số):
- Chữ số thứ nhất: có $9$ cách chọn.
- Chữ số thứ hai: có $8$ cách chọn.
- Chữ số thứ ba: có $7$ cách chọn.
- Chữ số thứ tư: có $6$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số mã PIN thỏa mãn là: $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$ mã.

Câu 16.
Đáp án: A
Lời giải:
Chương trình biểu diễn gồm $3$ tiết mục nối tiếp:
- Tiết mục 1 (hát đơn ca): có $4$ cách chọn.
- Tiết mục 2 (múa dân gian): có $3$ cách chọn.
- Tiết mục 3 (kịch ngắn): có $2$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là: $4 \times 3 \times 2 = 24$ cách.

Câu 17.
Đáp án: D
Lời giải:
Hành trình khứ hồi gồm hai lượt đi:
- Lượt đi từ $X$ sang $Y$: du khách có $5$ cây cầu để lựa chọn (có $5$ cách).
- Lượt về từ $Y$ về $X$: không đi lại cây cầu đã đi nên chỉ còn $5 - 1 = 4$ cây cầu (có $4$ cách).
Theo quy tắc nhân, số cách chọn đường đi khứ hồi là: $5 \times 4 = 20$ cách.

Câu 18.
Đáp án: B
Lời giải:
Việc xác định các vị trí dẫn đầu gồm ba bước:
- Chọn Đội vô địch (Hạng Nhất): có $4$ khả năng.
- Chọn Đội Á quân (Hạng Nhì): có $3$ khả năng.
- Chọn Đội Hạng Ba: có $2$ khả năng.
Theo quy tắc nhân, số kết quả có thể xảy ra là: $4 \times 3 \times 2 = 24$ khả năng.

Câu 19.
Đáp án: C
Lời giải:
Thiết kế một ly trà sữa gồm ba công đoạn độc lập:
- Chọn kích cỡ ly: có $3$ cách.
- Chọn vị trà: có $4$ cách.
- Chọn topping: có $5$ cách.
Theo quy tắc nhân, số loại ly trà sữa có thể tạo ra là: $3 \times 4 \times 5 = 60$ cách.

Câu 20.
Đáp án: A
Lời giải:
Chọn $2$ học sinh gồm đúng $1$ nam và $1$ nữ:
- Chọn $1$ học sinh nam từ $15$ nam: có $15$ cách.
- Chọn $1$ học sinh nữ từ $10$ nữ: có $10$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: $15 \times 10 = 150$ cách.

Câu 21.
Đáp án: D
Lời giải:
Cấu hình máy tính được tạo thành từ $4$ linh kiện nối tiếp:
- Chọn bo mạch chủ: có $3$ cách.
- Chọn CPU: có $4$ cách.
- Chọn RAM: có $3$ cách.
- Chọn vỏ case: có $5$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số cấu hình khác nhau là: $3 \times 4 \times 3 \times 5 = 180$ cấu hình.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1.
Lời giải:
a) Đúng. Chuyên gia chọn $1$ chuyến bay từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh trong ngày Thứ Hai: $5 + 4 + 3 = 12$ chuyến.
b) Đúng. Chọn $1$ chuyến bay từ TP. Hồ Chí Minh sang Singapore: $4 + 2 = 6$ chuyến.
c) Sai. Vì lộ trình trọn gói gồm hai chặng bay liên tiếp (chặng 1 và chặng 2), theo quy tắc nhân số cách chọn phải là $12 \times 6 = 72$ cách, không phải $18$.
d) Đúng. Nếu chỉ chọn chuyến của Vietnam Airlines ở chặng 1 (có $5$ cách) và chuyến bay thẳng ở chặng 2 (có $4$ cách), theo quy tắc nhân số lịch trình là: $5 \times 4 = 20$ cách.

Câu 2.
Lời giải:
Mã vận đơn có dạng $c_1 c_2 d_1 d_2$ với $c_1, c_2 \in \{A, B, C, D, E\}$ ($5$ phần tử) và $d_1, d_2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ phần tử).
a) Đúng. Khi các ký tự được phép lặp lại:
$c_1$ có $5$ cách, $c_2$ có $5$ cách; $d_1$ có $6$ cách, $d_2$ có $6$ cách.
Tổng số mã: $5 \times 5 \times 6 \times 6 = 900$ mã.
b) Đúng. Khi hai chữ cái khác nhau và hai chữ số khác nhau:
$c_1$ có $5$ cách, $c_2$ có $4$ cách; $d_1$ có $6$ cách, $d_2$ có $5$ cách.
Số mã: $5 \times 4 \times 6 \times 5 = 20 \times 30 = 600$ mã.
c) Đúng. Hai chữ cái khác nhau có $5 \times 4 = 20$ cách.
Ký tự chữ số thứ nhất $d_1$ có $6$ cách.
Ký tự chữ số thứ hai $d_2$ là số chẵn ($d_2 \in \{2, 4, 6\}$) nên có $3$ cách.
Số mã: $20 \times 6 \times 3 = 360$ mã.
d) Sai. Bắt đầu bằng chữ $A$ ($c_1$ có $1$ cách), chữ cái thứ hai khác $A$ ($c_2$ có $4$ cách).
Hai chữ số đều là số lẻ khác nhau lấy từ $\{1, 3, 5\}$: $d_1$ có $3$ cách, $d_2$ có $2$ cách.
Số mã thỏa mãn là: $1 \times 4 \times 3 \times 2 = 24$ mã (khẳng định ghi $120$ là sai).

Câu 3.
Lời giải:
Đội gồm $6$ nam và $8$ nữ (tổng cộng $14$ bạn).
a) Đúng. Chọn $1$ bạn đại diện trong $14$ bạn: có $6 + 8 = 14$ cách.
b) Đúng. Chọn một cặp $1$ nam và $1$ nữ: có $6 \times 8 = 48$ cách.
c) Sai. Phân công: $1$ nam làm đội trưởng (có $6$ cách), $1$ nữ làm đội phó (có $8$ cách), $1$ nam nữa làm ủy viên (chọn trong $5$ bạn nam còn lại, có $5$ cách).
Số cách phân công: $6 \times 8 \times 5 = 240$ cách (khẳng định ghi $288$ là sai).
d) Đúng. Tổng số cách chọn $2$ học sinh bất kỳ từ $14$ học sinh là: $\dfrac{14 \times 13}{2} = 91$ cách.
Số cách chọn $2$ học sinh đều là nam từ $6$ nam là: $\dfrac{6 \times 5}{2} = 15$ cách.
Số cách chọn $2$ học sinh có ít nhất một nữ là: $91 - 15 = 76$ cách.
(Hoặc chia 2 trường hợp: 1 nam 1 nữ ($6 \times 8 = 48$) + 2 nữ ($\dfrac{8 \times 7}{2} = 28$) $\rightarrow 48 + 28 = 76$ cách).

Câu 4.
Lời giải:
Nhà hàng có: $3$ món khai vị nguội, $4$ món khai vị nóng, $5$ món hải sản, $4$ món gia cầm, $3$ món tráng miệng.
a) Đúng. Chọn $1$ trong $3$ món tráng miệng có $3$ cách.
b) Đúng. Số thực đơn gồm đủ $5$ món là: $3 \times 4 \times 5 \times 4 \times 3 = 720$ thực đơn.
c) Đúng. Nếu không chọn "Kem tươi", danh mục tráng miệng còn $2$ món.
Số thực đơn mới là: $3 \times 4 \times 5 \times 4 \times 2 = 480$ thực đơn.
Số thực đơn giảm đi: $720 - 480 = 240$ thực đơn.
d) Sai. Nếu món chính hải sản cố định là "Tôm hùm nướng phô mai" (có $1$ cách chọn), số thực đơn thỏa mãn là:
$3 \times 4 \times 1 \times 4 \times 3 = 144$ thực đơn (khẳng định ghi $180$ là sai).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1.
Đáp án: 141960
Lời giải:
Mã vé có dạng $c_1 c_2 d_1 d_2 d_3$:
- Chọn $2$ chữ cái in hoa $c_1, c_2$ (từ $26$ chữ cái, có thể trùng nhau): có $26 \times 26 = 676$ cách.
- Chọn $3$ chữ số $d_1, d_2, d_3$ khác nhau từ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ($7$ phần tử):
+ $d_1$ có $7$ cách chọn.
+ $d_2$ có $6$ cách chọn.
+ $d_3$ có $5$ cách chọn.
Số cách chọn phần chữ số là: $7 \times 6 \times 5 = 210$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số mã vé công ty có thể phát hành là:

$$676 \times 210 = 141960$$

Câu 2.
Đáp án: 720
Lời giải:
Xe có $1$ ghế lái và $6$ ghế hành khách (tổng cộng $7$ vị trí ghế):
- Bước 1: Xếp người lái xe. Do chỉ có bố hoặc mẹ có bằng lái nên có $2$ cách chọn người ngồi vào ghế lái.
- Bước 2: Xếp $4$ thành viên còn lại vào $6$ ghế hành khách còn trống:
+ Người thứ nhất có $6$ cách chọn ghế.
+ Người thứ hai có $5$ cách chọn ghế.
+ Người thứ ba có $4$ cách chọn ghế.
+ Người thứ tư có $3$ cách chọn ghế.
Số cách xếp $4$ người vào ghế hành khách là: $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp chỗ là:

$$2 \times 360 = 720$$

Câu 3.
Đáp án: 1680
Lời giải:
Quy trình phân công gồm các công đoạn liên tiếp:
- Chọn bác sĩ trực chính (trưởng ca): có $6$ cách từ $6$ bác sĩ.
- Chọn bác sĩ trực phụ: có $5$ cách từ $5$ bác sĩ còn lại.
- Chọn điều dưỡng phụ trách khu $A$: có $8$ cách từ $8$ điều dưỡng.
- Chọn điều dưỡng phụ trách khu $B$: có $7$ cách từ $7$ điều dưỡng còn lại.
Theo quy tắc nhân, số cách phân công nhân sự cho ca trực là:

$$6 \times 5 \times 8 \times 7 = 30 \times 56 = 1680$$

Câu 4.
Đáp án: 1355
Lời giải:
Mã OTP gồm $4$ chữ số dạng $\overline{a_1 a_2 a_3 a_4}$:
- Chữ số đầu tiên $a_1$ là chữ số lẻ ($a_1 \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$): có $5$ cách chọn.
- Mỗi chữ số $a_2, a_3, a_4$ đều có $10$ cách chọn (từ $0$ đến $9$).
Tổng số mã OTP có chữ số đầu tiên lẻ là:

$$5 \times 10 \times 10 \times 10 = 5000 \text{ mã}$$

- Ta đếm số mã OTP có chữ số đầu tiên lẻ nhưng không chứa chữ số 0 nào:
+ Chữ số $a_1$ có $5$ cách chọn.
+ Mỗi chữ số $a_2, a_3, a_4$ được chọn từ tập $\{1, 2, \dots, 9\}$ ($9$ chữ số): có $9 \times 9 \times 9 = 729$ cách.
Số mã không chứa số 0 là: $5 \times 729 = 3645$ mã.
- Vậy số mã OTP có chữ số đầu tiên lẻ và chứa ít nhất một chữ số 0 là:

$$5000 - 3645 = 1355$$

Câu 5.
Đáp án: 180
Lời giải:
Việc lựa chọn các điểm tham quan gồm ba công đoạn độc lập:
- Tại Huế: Chọn $2$ điểm từ $4$ điểm di tích. Số cách chọn là: $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ cách.
- Tại Đà Nẵng: Chọn $2$ điểm từ $5$ điểm du lịch. Số cách chọn là: $\dfrac{5 \times 4}{2} = 10$ cách.
- Tại Quảng Nam: Chọn $2$ điểm từ $3$ điểm di sản. Số cách chọn là: $\dfrac{3 \times 2}{2} = 3$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách tạo nên một hành trình du lịch là:

$$6 \times 10 \times 3 = 180$$

Câu 6.
Đáp án: 147
Lời giải:
Số phòng có dạng $\overline{abc}$:
- Chữ số $a \in \{1, 2, 3\}$: có $3$ cách chọn (chỉ số tầng).
- Xét các số phòng ở mỗi tầng (ứng với mỗi giá trị của $a$):
Cặp chữ số $(b, c)$ với $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$ và $c \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$ (do số phòng chẵn):
+ Số cách chọn $b$: có $10$ cách.
+ Số cách chọn $c$: có $5$ cách.
Số cặp $(b, c)$ chẵn là: $10 \times 5 = 50$ cặp.
Vì không có phòng dạng $\overline{a00}$ nên loại bỏ trường hợp $b = 0$ và $c = 0$ ($1$ trường hợp).
Do đó, mỗi tầng có: $50 - 1 = 49$ phòng chẵn.
- Vì khách sạn có $3$ tầng, tổng số phòng tối đa có thể đánh số là:

$$3 \times 49 = 147$$

Câu 7.
Đáp án: 242
Lời giải:
Cột tín hiệu có $5$ vị trí đèn. Tại mỗi vị trí có $3$ trạng thái có thể xảy ra:
- Bật đèn Đỏ.
- Bật đèn Xanh.
- Tắt đèn (không sáng).
Tổng số trạng thái có thể thiết lập trên cả $5$ vị trí là:

$$3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243 \text{ trạng thái}$$

Trong đó, có đúng $1$ trạng thái không phát ra tín hiệu (tất cả $5$ vị trí đều tắt đèn).
Tín hiệu hợp lệ đòi hỏi có ít nhất một đèn sáng, nên số tín hiệu hợp lệ là:

$$243 - 1 = 242$$

Câu 8.
Đáp án: 2880
Lời giải:
Quy trình thành lập và phân công đội thi đấu gồm hai bước:
- Bước 1: Chọn $3$ học sinh thuộc $3$ khối lớp khác nhau:
+ Chọn $1$ học sinh khối 10: có $10$ cách.
+ Chọn $1$ học sinh khối 11: có $8$ cách.
+ Chọn $1$ học sinh khối 12: có $6$ cách.
Số cách chọn $3$ học sinh là: $10 \times 8 \times 6 = 480$ cách.
- Bước 2: Phân công $3$ bạn đã chọn vào $3$ bàn thi đấu (Bàn 1, Bàn 2, Bàn 3):
+ Bàn 1 có $3$ cách chọn bạn ngồi.
+ Bàn 2 có $2$ cách chọn bạn ngồi.
+ Bàn 3 có $1$ cách chọn bạn ngồi.
Số cách phân công vào $3$ bàn là: $3 \times 2 \times 1 = 6$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số cách lập và phân công đội tuyển là:

$$480 \times 6 = 2880$$