Đề kiểm tra ôn tập Chương 2 Toán 11 - Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA ÔN TẬP CHƯƠNG II

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$ . Giá trị của số hạng $u_4$ bằng

A. $\dfrac{7}{5}$

B. $\dfrac{9}{5}$

C. $\dfrac{5}{7}$

D. $\dfrac{3}{5}$

Câu 2 (0,25 điểm). Dãy số nào dưới đây là một dãy số tăng?

A. $u_n = (-1)^n \cdot n$

B. $u_n = \dfrac{1}{n}$

C. $u_n = 2n + 3$

D. $u_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

Câu 3 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$ . Số hạng thứ năm $u_5$ bằng

A. $11$

B. $5$

C. $-7$

D. $-5$

Câu 4 (0,25 điểm). Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $1; 3; 6; 9; 12$

B. $1; 2; 4; 8; 16$

C. $2; 4; 8; 10; 12$

D. $1; -3; -7; -11; -15$

Câu 5 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1 = 5$ và $u_2 = 9$ . Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho bằng

A. $4$

B. $-4$

C. $\dfrac{9}{5}$

D. $14$

Câu 6 (0,25 điểm). Biết ba số $1; x; 9$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân các số dương. Giá trị của $x$ bằng

A. $5$

B. $3$

C. $6$

D. $4$

Câu 7 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$ . Số hạng $u_4$ bằng

A. $18$

B. $24$

C. $54$

D. $162$

Câu 8 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1 = -2$ và công sai $d = 3$ . Công thức số hạng tổng quát $u_n$ ( $n \ge 1$ ) là

A. $u_n = 3n - 5$

B. $u_n = 3n - 2$

C. $u_n = -2n + 3$

D. $u_n = 3n + 1$

Câu 9 (0,25 điểm). Dãy số nào cho dưới đây là một cấp số nhân?

A. $u_n = 3n + 1$

B. $u_n = n^2$

C. $u_n = 3 + 2^n$

D. $u_n = 2 \cdot 3^n$

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1 = -3$ và $u_2 = 6$ . Công bội $q$ của cấp số nhân bằng

A. $2$

B. $-2$

C. $3$

D. $-3$

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1 = 4$ và công sai $d = 3$ . Tổng của $10$ số hạng đầu tiên $S_{10}$ bằng

A. $155$

B. $350$

C. $175$

D. $190$

Câu 12 (0,25 điểm). Tế bào vi khuẩn E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ $20$ phút lại phân chia nhân đôi một lần. Nếu ban đầu có $1\,000$ tế bào thì sau $2$ giờ số lượng tế bào vi khuẩn là

A. $12\,000$

B. $64\,000$

C. $32\,000$

D. $128\,000$

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thỏa mãn hệ điều kiện: $\begin{cases} u_2 - u_3 + u_5 = 7 \\ u_1 + u_6 = 12 \end{cases}$ .
a) Công sai của cấp số cộng bằng $d = 2$ .
b) Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $u_1 = 3$ .
c) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = 2n - 1$ ( $n \ge 1$ ).
d) Tổng của $20$ số hạng đầu tiên của dãy số bằng $S_{20} = 400$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Bác Ba gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là $100$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $6\%$ /năm theo hình thức lãi kép (tiền lãi của mỗi năm được cộng dồn vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo). Giả sử lãi suất không đổi và trong suốt thời gian gửi bác Ba không rút tiền ra. Gọi $T_n$ là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi bác Ba nhận được sau $n$ năm gửi ( $n \in \mathbb{N}^*$ ).
a) Dãy số $\left(T_n\right)$ lập thành một cấp số nhân với công bội $q = 1{,}06$ .
b) Sau $1$ năm gửi tiền, tổng số tiền bác Ba nhận được là $106$ triệu đồng.
c) Sau $3$ năm gửi tiền, tổng số tiền bác Ba nhận được vượt quá $120$ triệu đồng.
d) Sau ít nhất $12$ năm gửi thì tổng số tiền thu được sẽ lớn hơn gấp đôi số tiền gửi ban đầu.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công sai $d = 4$ . Biết số hạng $u_n = 81$ , tìm chỉ số $n$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$ . Biết tổng $n$ số hạng đầu tiên $S_n = 242$ . Tìm $n$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Khán đài của một nhà thi đấu thể thao gồm có tất cả $25$ hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có $20$ chỗ ngồi, kể từ hàng thứ hai trở đi, mỗi hàng có nhiều hơn hàng liền trước $3$ chỗ ngồi. Hỏi toàn bộ khán đài đó có tất cả bao nhiêu chỗ ngồi?

Câu 4 (0,5 điểm). Một kỹ sư bắt đầu đi làm tại một tập đoàn với mức thu nhập năm đầu tiên là $120$ triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm kỹ sư đó được tăng thêm $12$ triệu đồng tiền lương so với năm liền trước. Tính tổng số tiền lương kỹ sư đó nhận được sau $10$ năm làm việc tại tập đoàn này (đơn vị: triệu đồng).

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các câu hỏi sau.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\begin{cases} u_1 + u_5 = 18 \\ u_3 + u_7 = 26 \end{cases}$

a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng đã cho.
b) Tính tổng của $30$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có các số hạng đều mang dấu dương và thỏa mãn hệ phương trình:

$\begin{cases} u_4 - u_2 = 18 \\ u_5 - u_3 = 36 \end{cases}$

a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân.
b) Số $768$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

Câu 3 (1,0 điểm). Bạn Hùng dự định tiết kiệm tiền để mua một chiếc xe đạp điện phục vụ đi học với giá $13\,500\,000$ đồng. Trong tuần đầu tiên, Hùng để dành được $200\,000$ đồng. Bắt đầu từ tuần thứ hai trở đi, mỗi tuần Hùng đều tiết kiệm nhiều hơn tuần liền trước là $20\,000$ đồng.
a) Lập công thức tính số tiền Hùng tiết kiệm được ở tuần thứ $n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ ) và tính số tiền Hùng tiết kiệm được ở tuần thứ $15$ .
b) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tuần thì Hùng tích lũy đủ số tiền để mua chiếc xe đạp điện đó?

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Hướng dẫn chấm

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KIỂM TRA ÔN TẬP CHƯƠNG II

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 60 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm theo cách khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu hỏi thành phần, không làm tròn.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	Đáp án	Câu	Đáp án
1	A	7	C
2	C	8	A
3	D	9	D
4	D	10	B
5	A	11	C
6	B	12	B

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu được 0,10 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu được 0,50 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu được 1,00 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải vắn tắt
1	a)	Đ	Ta có $u_2 - u_3 + u_5 = (u_1+d) - (u_1+2d) + (u_1+4d) = u_1 + 3d = 7$ . $u_1 + u_6 = u_1 + (u_1+5d) = 2u_1 + 5d = 12$ . Giải hệ: $d = 2, u_1 = 1$ . Ý a đúng.
	b)	S	$u_1 = 1 \ne 3$ . Ý b sai.
	c)	Đ	$u_n = u_1 + (n-1)d = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$ . Ý c đúng.
	d)	Đ	$S_{20} = \dfrac{20}{2}[2\cdot 1 + 19\cdot 2] = 10 \cdot 40 = 400$ . Ý d đúng.
2	a)	Đ	$T_n = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^n = 100 \cdot (1{,}06)^n$ . Dãy $\left(T_n\right)$ là CSN có công bội $q = 1{,}06$ . Ý a đúng.
	b)	Đ	$T_1 = 100 \cdot 1{,}06 = 106$ triệu đồng. Ý b đúng.
	c)	S	$T_3 = 100 \cdot (1{,}06)^3 = 119{,}1016$ triệu đồng $< 120$ triệu đồng. Ý c sai.
	d)	Đ	$T_n > 200 \Leftrightarrow (1{,}06)^n > 2 \Leftrightarrow n > \log_{1{,}06} 2 \approx 11{,}8957$ . Do $n \in \mathbb{N}^*$ nên $n \ge 12$ . Ý d đúng.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải vắn tắt	Điểm
1	22	Ta có $u_n = u_1 + (n-1)d \Leftrightarrow 81 = -3 + (n-1)\cdot 4 \Leftrightarrow 4(n-1) = 84 \Leftrightarrow n = 22$ .	0,5
2	5	Ta có $S_n = u_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1} = 2 \cdot \dfrac{3^n - 1}{3 - 1} = 3^n - 1$ . $3^n - 1 = 242 \Leftrightarrow 3^n = 243 = 3^5 \Leftrightarrow n = 5$ .	0,5
3	1400	Dãy số ghế các hàng là CSC có $u_1 = 20, d = 3, n = 25$ . Tổng số ghế: $S_{25} = \dfrac{25}{2}\left[2\cdot 20 + (25-1)\cdot 3\right] = \dfrac{25}{2}\cdot 112 = 1400$ chỗ ngồi.	0,5
4	1740	Lương hàng năm là CSC với $u_1 = 120, d = 12, n = 10$ . Tổng số lương sau 10 năm: $S_{10} = \dfrac{10}{2}[2\cdot 120 + 9\cdot 12] = 5\cdot 348 = 1740$ triệu đồng.	0,5

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1	a	Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ (0,5 điểm)
		Biểu diễn theo $u_1$ và $d$ : $\begin{cases} u_1 + (u_1 + 4d) = 18 \\ (u_1 + 2d) + (u_1 + 6d) = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 4d = 18 \\ 2u_1 + 8d = 26 \end{cases}$	0,25
		Trừ hai phương trình vế theo vế được $4d = 8 \Rightarrow d = 2$ . Thay $d = 2$ vào phương trình thứ nhất: $2u_1 + 4\cdot 2 = 18 \Rightarrow u_1 = 5$ .	0,25
	b	Tính tổng của $30$ số hạng đầu tiên (0,5 điểm)
		Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n = \dfrac{n}{2}\left[2u_1 + (n - 1)d\right]$	0,25
		Thay $n = 30, u_1 = 5, d = 2$ ta được: $S_{30} = \dfrac{30}{2}\left[2\cdot 5 + 29\cdot 2\right] = 15 \cdot (10 + 58) = 15 \cdot 68 = 1020$ .	0,25
2	a	Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ (0,5 điểm)
		Vì cấp số nhân có các số hạng dương nên $u_1 > 0$ và $q > 0$ . Từ hệ phương trình ta có: $\begin{cases} u_1 q^3 - u_1 q = 18 \\ u_1 q^4 - u_1 q^2 = 36 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q(q^2 - 1) = 18 \quad (1) \\ u_1 q^2(q^2 - 1) = 36 \quad (2) \end{cases}$	0,25
		Chia vế theo vế phương trình (2) cho phương trình (1): $\dfrac{u_1 q^2(q^2 - 1)}{u_1 q(q^2 - 1)} = \dfrac{36}{18} \Rightarrow q = 2$ . Thay $q = 2$ vào (1): $u_1 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = 18 \Leftrightarrow 6u_1 = 18 \Rightarrow u_1 = 3$ (thỏa mãn $u_1 > 0$ ).	0,25
	b	Xác định vị trí số hạng $768$ (0,5 điểm)
		Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = u_1 \cdot q^{n - 1}$ . Theo bài ra: $3 \cdot 2^{n - 1} = 768 \Leftrightarrow 2^{n - 1} = \dfrac{768}{3} = 256$ .	0,25
		Ta có $256 = 2^8$ , do đó $n - 1 = 8 \Rightarrow n = 9$ . Vậy số $768$ là số hạng thứ 9 của cấp số nhân.	0,25
3	a	Lập công thức $u_n$ và tính $u_{15}$ (0,5 điểm)
		Số tiền Hùng tiết kiệm ở mỗi tuần lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu $u_1 = 200\,000$ (đồng) và công sai $d = 20\,000$ (đồng). Công thức tính số tiền tiết kiệm được ở tuần thứ $n$ là: $u_n = u_1 + (n - 1)d = 200\,000 + (n - 1)\cdot 20\,000 = 20\,000n + 180\,000$ (đồng).	0,25
		Ở tuần thứ 15, số tiền Hùng tiết kiệm được là: $u_{15} = 20\,000 \cdot 15 + 180\,000 = 480\,000$ (đồng).	0,25
	b	Tìm số tuần ít nhất để đủ tiền mua xe (0,5 điểm)
		Tổng số tiền Hùng tích lũy được sau $n$ tuần là: $S_n = \dfrac{n}{2}\left[2u_1 + (n - 1)d\right] = \dfrac{n}{2}\left[2\cdot 200\,000 + (n - 1)\cdot 20\,000\right] = 10\,000n^2 + 190\,000n$ (đồng).	0,25
		Để đủ tiền mua xe đạp điện thì $S_n \ge 13\,500\,000$ : $10\,000n^2 + 190\,000n \ge 13\,500\,000 \Leftrightarrow n^2 + 19n - 1350 \ge 0$ . Giải bất phương trình trên với $n \in \mathbb{N}^$ , ta có nghiệm dương xấp xỉ: $n \ge \dfrac{-19 + \sqrt{19^2 - 4\cdot 1\cdot (-1350)}}{2} \approx 28{,}45$ . Do $n \in \mathbb{N}^$ nên giá trị nhỏ nhất của $n$ là $29$ . Vậy sau ít nhất 29 tuần, Hùng sẽ tích lũy đủ số tiền để mua chiếc xe đạp điện.	0,25

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 11