ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN 11 - ĐỊNH DẠNG TN THPT 2025

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

KIỂM TRA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn: TOÁN – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 101

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian ta được

A. $\dfrac{2\pi}{3}$ .

B. $\dfrac{5\pi}{6}$ .

C. $\dfrac{3\pi}{4}$ .

D. $\dfrac{7\pi}{6}$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha > 0$ .

B. $\cos \alpha > 0$ .

C. $\tan \alpha > 0$ .

D. $\cot \alpha > 0$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Công thức nào sau đây là công thức nhân đôi đúng với mọi góc $\alpha$ ?

A. $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ .

B. $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha$ .

C. $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ .

D. $\sin 2\alpha = \sin \alpha \cos \alpha$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Rút gọn biểu thức $P = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) - \sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ ta được

A. $P = \sqrt{2}\sin x$ .

B. $P = \sqrt{2}\cos x$ .

C. $P = -\sqrt{2}\sin x$ .

D. $P = 2\cos x$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

B. $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ .

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

D. $D = \mathbb{R}$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn trên tập xác định của nó?

A. $y = \sin x$ .

B. $y = \cos x$ .

C. $y = \tan x$ .

D. $y = \cot x$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\cos x = 1$ là

A. $x = k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

B. $x = \pi + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

C. $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

D. $x = k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là

A. $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

B. $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

C. $x = \pm \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

D. $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ . Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua cả ba điểm đó?

A. $1$ .

B. $2$ .

C. $3$ .

D. Vô số.

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ cùng song song với đường thẳng $c$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a$ và $b$ song song với nhau.

B. $a$ và $b$ chéo nhau.

C. $a$ và $b$ cắt nhau.

D. $a$ và $b$ trùng nhau.

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

[Hình vẽ]

A. $MN \parallel (BCD)$ .

B. $MN \subset (BCD)$ .

C. $MN$ cắt $(BCD)$ .

D. $MN$ chéo với $BC$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng $a$ không có điểm chung với mặt phẳng $(\alpha)$ .

B. Đường thẳng $a$ có đúng một điểm chung với mặt phẳng $(\alpha)$ .

C. Đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ .

D. Đường thẳng $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ .

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho biểu thức $A = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ và góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$ với $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0$ .
a) Giá trị của $\sin \alpha$ bằng $-\dfrac{4}{5}$ .
b) Giá trị của $\tan \alpha$ bằng $\dfrac{4}{3}$ .
c) Biểu thức khai triển của $A$ là $A = \dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x$ .
d) Khi $x = \alpha$ , giá trị của biểu thức $A$ bằng $\dfrac{3 - 4\sqrt{3}}{10}$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$ .
b) Hàm số $f(x)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì tuần hoàn bằng $2\pi$ .
c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3$ .
d) Phương trình $f(x) = 2$ có nghiệm thuộc khoảng $(0; \pi)$ là $x = \dfrac{\pi}{4}$ và $x = \dfrac{7\pi}{12}$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình lượng giác: $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0 \quad (*)$ .
a) Phương trình $(*)$ tương đương với $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$ .
b) Phương trình $(*)$ có nghiệm là $x = k2\pi$ hoặc $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .
c) Trên đoạn $[0; 2\pi]$ , phương trình $(*)$ có tất cả $4$ nghiệm phân biệt.
d) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $(*)$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ bằng $4\pi$ .

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$ .

[Hình vẽ]

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ .
b) Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ .
c) Giao điểm của đường thẳng $SO$ với mặt phẳng $(CMN)$ là điểm $P$ nằm trên đoạn $SO$ thỏa mãn $\dfrac{SP}{SO} = \dfrac{1}{2}$ .
d) Mặt phẳng $(CMN)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là một hình thang.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \sin 2\alpha$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-5; 5]$ để phương trình $\sin x - 2m + 1 = 0$ có nghiệm.

Câu 3 (0,5 điểm). Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ ở vĩ độ $40^\circ$ Bắc trong ngày thứ $t$ của năm được cho bởi hàm số:

$d(t) = 3\sin\left[\dfrac{\pi}{182}(t - 80)\right] + 12$

với $t \in \mathbb{Z}$ và $1 \le t \le 365$ . Trong một năm, ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ bao nhiêu?

Câu 4 (0,5 điểm). Tìm số nghiệm của phương trình $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ trên khoảng $(0; 2\pi)$ .

Câu 5 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ gấp đôi đáy bé $CD$ ( $AB = 2CD$ ). Gọi $M$ là một điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM = 2MC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với hai đường thẳng $SA, CD$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt cạnh $SB$ tại điểm $N$ . Tính tỉ số $\dfrac{SN}{SB}$ .

Câu 6 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành diện tích $48\text{ cm}^2$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SB$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$ cắt các cạnh $SA, SC, SD$ lần lượt tại $A', C', D'$ . Tính diện tích của tứ giác $A'MC'D'$ (theo đơn vị $\text{cm}^2$ ).

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

A. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	B	A	A	B	A	B	A	A	A	A	A	A

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm theo quy định của Bộ GD&ĐT:
- Đúng 1 ý: 0,10 điểm
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm
- Đúng 3 ý: 0,50 điểm
- Đúng 4 ý: 1,00 điểm

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải tóm tắt
Câu 1	a)	Đ	Vì $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}$ .
	b)	S	$\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{-4/5}{3/5} = -\dfrac{4}{3} \ne \dfrac{4}{3}$ .
	c)	Đ	$A = \cos x \cos\dfrac{\pi}{3} + \sin x \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x$ .
	d)	Đ	$A(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{5}\right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(-\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{3 - 4\sqrt{3}}{10}$ .
Câu 2	a)	Đ	Biểu thức $2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ .
	b)	S	Chu kì tuần hoàn của hàm số là $T = \dfrac{2\pi}{\|2\|} = \pi \ne 2\pi$ .
	c)	Đ	Vì $-1 \le \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) \le 1 \Rightarrow \max f(x) = 2(1) + 1 = 3$ .
	d)	Đ	$f(x) = 2 \Leftrightarrow \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$ . Suy ra $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ . Trên $(0;\pi)$ , các nghiệm là $\dfrac{\pi}{6}$ và $\dfrac{\pi}{2}$ , mệnh đề ghi $\dfrac{\pi}{4}$ và $\dfrac{7\pi}{12}$ là Sai.
Câu 3	a)	Đ	Ta có $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ , thay vào phương trình ta được $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$ .
	b)	Đ	Phương trình có nghiệm $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$ hoặc $\cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ .
	c)	Đ	Trên $[0; 2\pi]$ : - $x = k2\pi \Rightarrow x = 0, x = 2\pi$ (2 nghiệm). - $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3}, x = \dfrac{5\pi}{3}$ (2 nghiệm). Tổng cộng có $4$ nghiệm phân biệt.
	d)	Đ	Tổng các nghiệm là: $0 + 2\pi + \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{5\pi}{3} = 4\pi$ .
Câu 4	a)	Đ	Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AB \parallel CD$ , do đó giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung $S$ và song song với $AB, CD$ .
	b)	Đ	Trong $\triangle SAD$ , $MN$ là đường trung bình nên $MN \parallel AD$ . Do $AD \subset (ABCD)$ và $MN \not\subset (ABCD)$ nên $MN \parallel (ABCD)$ .
	c)	S	Gọi $I = MN \cap SO$ . Vì $MN$ là đường trung bình của $\triangle SAD$ nên $I$ là trung điểm của $SO$ . Trong mặt phẳng $(SBD)$ , nối $CI$ cắt $SO$ tại $I$ , do đó $P \equiv I$ , suy ra $\dfrac{SP}{SO} = \dfrac{1}{2}$ . Khẳng định này là Đúng.
	d)	Đ	Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(CMN)$ là tứ giác $CMNE$ . Vì $MN \parallel AD \parallel BC$ nên thiết diện $CMNE$ có hai cạnh đối song song, do đó là một hình thang.

(Lưu ý đính chính: Câu 2 ý d) là Sai; Câu 4 ý c) là Đúng).

Bảng tổng hợp Đúng/Sai Phần II:

Câu	a)	b)	c)	d)
Câu 1	Đ	S	Đ	Đ
Câu 2	Đ	S	Đ	S
Câu 3	Đ	Đ	Đ	Đ
Câu 4	Đ	Đ	Đ	Đ

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm)

Câu	Đáp án	Lời giải tóm tắt	Điểm
Câu 1	0,25	Bình phương hai vế: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \sin 2\alpha = \dfrac{5}{4} - 1 = 0,25$ .	0,5
Câu 2	1	$\sin x = 2m - 1$ . Phương trình có nghiệm khi $-1 \le 2m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 2m \le 2 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1$ . Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{0; 1\}$ (có $2$ giá trị nguyên). Đáp án: 2.	0,5
Câu 3	171	Số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất khi $\sin\left[\dfrac{\pi}{182}(t - 80)\right] = 1$ . Suy ra $\dfrac{\pi}{182}(t - 80) = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow t - 80 = 91 + k364 \Rightarrow t = 171 + k364$ . Vì $1 \le t \le 365 \Rightarrow t = 171$ .	0,5
Câu 4	4	$\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{5\pi}{6} \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{3} = \pm \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$ . • $2x = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{12} + k\pi$ . Trên $(0; 2\pi)$ có 2 nghiệm: $\dfrac{7\pi}{12}; \dfrac{19\pi}{12}$ . • $2x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ . Trên $(0; 2\pi)$ có 2 nghiệm: $\dfrac{3\pi}{4}; \dfrac{7\pi}{4}$ . Vậy có tất cả 4 nghiệm.	0,5
Câu 5	0,67	Vì $(\alpha) \parallel SA$ và $(\alpha)$ đi qua $M$ thuộc $SC$ nên trong mặt phẳng $(SBC)$ , từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ cắt $SB$ tại $N$ . Theo định lí Thalès trong $\triangle SBC$ , ta có $\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SM}{SC} = \dfrac{2}{3} \approx 0,67$ .	0,5
Câu 6	12	Vì $(\alpha) \parallel (ABCD)$ nên thiết diện $A'MC'D'$ đồng dạng với đáy $ABCD$ . $M$ là trung điểm $SB$ nên tỉ số đồng dạng là $k = \dfrac{SM}{SB} = \dfrac{1}{2}$ . Do đó, diện tích thiết diện là $S_{A'MC'D'} = k^2 \cdot S_{ABCD} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot 48 = 12\text{ cm}^2$ .	0,5