Đề kiểm tra giữa kì I Toán 11 - Đề số 4 (Chuẩn ma trận, nâng cao HSG/Olympic)

Số học sinh

9

23

12

6

Số học sinh

6

14

16

4

Số học sinh

6

12

18

10

4

Đáp án

B

C

C

A

D

B

C

B

A

C

D

A

Câu 1

a)

Đ

Do $-1 \le \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) \le 1 \Rightarrow -4 \le 4\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) \le 4 \Rightarrow 1 \le f(x) \le 9$.
Vậy tập giá trị của hàm số là $[1; 9]$.

b)

S

Hàm số $y = \cos(2x + \alpha)$ có chu kì $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \ne 2\pi$.

c)

Đ

$f(x) = 7 \Leftrightarrow \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi}{3} = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= k\pi \\ x &= -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \end{aligned}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).

d)

Đ

Đặt $t = 2x + \dfrac{\pi}{3}$. Khi $x \in [0; \pi] \Rightarrow t \in \left[\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{7\pi}{3}\right]$.
Phương trình trở thành $\cos t = \dfrac{m - 5}{4}$.
Trên vòng tròn lượng giác với cung $t \in \left[\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{7\pi}{3}\right]$, đường thẳng $X = \dfrac{m - 5}{4}$ cắt đường tròn tại đúng 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi $-1 < \dfrac{m - 5}{4} < 1$ và $\dfrac{m - 5}{4} \ne \dfrac{1}{2}$ (vì tại $X = 1/2$ có 3 nghiệm $t = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{7\pi}{3}$).
$\Leftrightarrow 1 < m < 9$ và $m \ne 7$. Do $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{2; 3; 4; 5; 6; 8\}$: có đúng $6$ giá trị nguyên.

Câu 2

a)

Đ

$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = 3u_n - 6 = 3(u_n - 2) = 3v_n$ và $v_1 = u_1 - 2 = 1$.
Do đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 = 1, q = 3$.

b)

Đ

$v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 3^{n-1} \Rightarrow u_n = 3^{n-1} + 2 \Rightarrow u_5 = 3^4 + 2 = 83$.

c)

Đ

$S_n = \sum_{k=1}^n u_k = \sum_{k=1}^n (3^{k-1} + 2) = \dfrac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} + 2n = \dfrac{3^n - 1}{2} + 2n$.

d)

S

$u_k - 2 = 3^{k-1}$. Khi đó $P_n = 3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2 \dots 3^{n-1} = 3^{0 + 1 + 2 + \dots + (n-1)} = 3^{\frac{n(n-1)}{2}} = 3^{\frac{n^2 - n}{2}} \ne 3^{n^2 - n}$.

Câu 1

20,5

Cỡ mẫu $n = 40$. Vị trí tứ phân vị thứ ba là $\dfrac{3n}{4} = 30$.
Tần số tích lũy: $C_1 = 6, C_2 = 20, C_3 = 36$. Do đó nhóm chứa $Q_3$ là $[18; 22)$.
$Q_3 = 18 + \dfrac{30 - 20}{16} \cdot (22 - 18) = 18 + 2,5 = 20,5$.

Câu 2

780

Áp dụng tính chất của cấp số cộng: $u_1 + u_{26} = u_6 + u_{21} = u_{11} + u_{16}$.
Suy ra $3(u_1 + u_{26}) = 180 \Rightarrow u_1 + u_{26} = 60$.
Tổng 26 số hạng đầu: $S_{26} = \dfrac{26(u_1 + u_{26})}{2} = 13 \times 60 = 780$.

Câu 3

32

Ta có $u_4 + u_5 + u_6 = q^3(u_1 + u_2 + u_3) \Leftrightarrow 112 = 14q^3 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2$.
$u_1 + u_2 + u_3 = u_1(1 + q + q^2) = 7u_1 = 14 \Rightarrow u_1 = 2$.
Vậy số hạng thứ năm: $u_5 = u_1 q^4 = 2 \cdot 2^4 = 32$.

Câu 4

6

Độ sâu đảm bảo an toàn: $h(t) \ge 50 \Leftrightarrow 35 - 30\cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right) \ge 50 \Leftrightarrow \cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right) \le -\dfrac{1}{2}$.
Trong 1 vòng quay ($t \in [0; 6]$): $\dfrac{\pi t}{3} \in [0; 2\pi] \Rightarrow \dfrac{2\pi}{3} \le \dfrac{\pi t}{3} \le \dfrac{4\pi}{3} \Leftrightarrow 2 \le t \le 4$.
Thời gian ngắm cảnh trong mỗi vòng là $4 - 2 = 2$ phút.
Trong 3 vòng đầu ($18$ phút), tổng thời gian là $3 \times 2 = 6$ phút.

Bài 1
(1,5 điểm)

a

Giải phương trình lượng giác: $\sin 3x + \sqrt{3}\cos 3x = 2\cos 2x$

0,5

Chia cả hai vế của phương trình cho $2$:
$\dfrac{1}{2}\sin 3x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 3x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin\left(3x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos 2x$

0,25

Biến đổi: $\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - 2x\right)$
$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 3x + \dfrac{\pi}{3} &= \dfrac{\pi}{2} - 2x + k2\pi \\ 3x + \dfrac{\pi}{3} &= \pi - \left(\dfrac{\pi}{2} - 2x\right) + k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{30} + k\dfrac{2\pi}{5} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).

0,25

b

Chứng minh đẳng thức: $\dfrac{\sin 5x - \sin 3x + \sin x}{\cos 5x - \cos 3x + \cos x} = \tan 3x$

0,5

Nhóm các số hạng ở tử số và mẫu số:
$\text{Tử số} = (\sin 5x + \sin x) - \sin 3x = 2\sin 3x \cos 2x - \sin 3x = \sin 3x(2\cos 2x - 1)$

0,25

$\text{Mẫu số} = (\cos 5x + \cos x) - \cos 3x = 2\cos 3x \cos 2x - \cos 3x = \cos 3x(2\cos 2x - 1)$
Do đó: $\dfrac{\text{Tử số}}{\text{Mẫu số}} = \dfrac{\sin 3x(2\cos 2x - 1)}{\cos 3x(2\cos 2x - 1)} = \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x$ (đpcm).

0,25

c

Tính giá trị của biểu thức $P = \tan 2\alpha$

0,5

Ta có: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \dfrac{1}{25} \Leftrightarrow 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{25} \Rightarrow \sin 2\alpha = -\dfrac{24}{25}$.

0,25

Do $-\dfrac{\pi}{4} < \alpha < 0 \Rightarrow -\dfrac{\pi}{2} < 2\alpha < 0 \Rightarrow \cos 2\alpha > 0$.
$\cos 2\alpha = \sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{24}{25}\right)^2} = \dfrac{7}{25}$.
Suy ra $P = \tan 2\alpha = \dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \dfrac{-24/25}{7/25} = -\dfrac{24}{7}$.

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

a

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng

0,5

Vì $(u_n)$ là cấp số cộng nên $u_2 + u_6 = 2u_4 \Rightarrow u_2 + u_4 + u_6 = 3u_4 = 36 \Rightarrow u_4 = 12$.
Khi đó $u_2 = 12 - 2d$ và $u_6 = 12 + 2d$.

0,25

Thay vào phương trình thứ hai:
$(12 - 2d)^2 + 12^2 + (12 + 2d)^2 = 464 \Leftrightarrow 2(144 + 4d^2) + 144 = 464 \Leftrightarrow 8d^2 = 32 \Rightarrow d^2 = 4$.
Vì $d > 0$ nên $d = 2$.
Suy ra số hạng đầu: $u_1 = u_4 - 3d = 12 - 3 \times 2 = 6$.

0,25

b

Bài toán thực tế số ngày giải toán vượt quá 400 bài

0,5

Số bài Nam giải mỗi ngày lập thành cấp số cộng có $u_1 = 5$ và công sai $d = 2$.
Tổng số bài sau $n$ ngày: $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2} = \dfrac{n[10 + 2(n - 1)]}{2} = n(n + 4) = n^2 + 4n$.

0,25

Yêu cầu bài toán: $S_n > 400 \Leftrightarrow n^2 + 4n - 400 > 0$.
Xét tam thức $n^2 + 4n - 400 = 0 \Rightarrow n = -2 + \sqrt{404} \approx 18,1$ (do $n > 0$).
Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $n \ge 19$.
Thử lại: $S_{18} = 18 \times 22 = 396 \le 400$, $S_{19} = 19 \times 23 = 437 > 400$.
Vậy đến hết ngày thứ $19$, tổng số bài giải được vượt quá $400$ bài.

0,25

Bài 3
(0,5 điểm)

Tính điểm thi trung bình của $50$ học sinh

0,5

Xác định giá trị đại diện của các nhóm:
Nhóm $[10; 12)$ có đại diện $c_1 = 11$, tần số $m_1 = 6$.
Nhóm $[12; 14)$ có đại diện $c_2 = 13$, tần số $m_2 = 12$.
Nhóm $[14; 16)$ có đại diện $c_3 = 15$, tần số $m_3 = 18$.
Nhóm $[16; 18)$ có đại diện $c_4 = 17$, tần số $m_4 = 10$.
Nhóm $[18; 20]$ có đại diện $c_5 = 19$, tần số $m_5 = 4$.

0,25

Điểm thi trung bình:
$\bar{x} = \dfrac{6 \times 11 + 12 \times 13 + 18 \times 15 + 10 \times 17 + 4 \times 19}{50} = \dfrac{66 + 156 + 270 + 170 + 76}{50} = \dfrac{738}{50} = 14,76$.
Vậy điểm thi trung bình của $50$ học sinh là $14,76$ điểm.

0,25