Đề kiểm tra giữa học kỳ I Toán 8 (20 trắc nghiệm + tự luận)

Đáp án

B

C

B

A

B

C

D

A

A

B

Đáp án

A

C

A

B

C

A

A

C

B

B

Bài 1
(1,5 điểm)

a

Thực hiện phép tính: $2x^2 y(3xy - x^2 + 5y)$ (0,5 điểm)

0,5

$= 2x^2 y \cdot 3xy - 2x^2 y \cdot x^2 + 2x^2 y \cdot 5y$

0,25

$= 6x^3 y^2 - 2x^4 y + 10x^2 y^2$

0,25

b

Thực hiện phép tính: $(2x - 3)(x + 2) - 2x(x - 1)$ (0,5 điểm)

0,5

$= (2x^2 + 4x - 3x - 6) - (2x^2 - 2x)$
$= 2x^2 + x - 6 - 2x^2 + 2x$

0,25

$= 3x - 6$

0,25

c

Thực hiện phép tính: $(15x^3 y^4 - 20x^4 y^3 + 25x^2 y^2) : 5x^2 y^2$ (0,5 điểm)

0,5

$= 15x^3 y^4 : 5x^2 y^2 - 20x^4 y^3 : 5x^2 y^2 + 25x^2 y^2 : 5x^2 y^2$

0,25

$= 3xy^2 - 4x^2 y + 5$

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

a

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^2 - 2xy + y^2 - 9$ (0,5 điểm)

0,5

$= (x^2 - 2xy + y^2) - 9 = (x - y)^2 - 3^2$

0,25

$= (x - y - 3)(x - y + 3)$

0,25

b

Tìm $x$, biết: $x(x - 3) + 2x - 6 = 0$ (0,5 điểm)

0,5

$x(x - 3) + 2(x - 3) = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$

0,25

Suy ra $x - 3 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$
$\Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -2$
Vậy $x \in \{3; -2\}$.

0,25

Bài 3
(2,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang cân (0,75 điểm)

0,75

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \dfrac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$.
Lại có $AM = AN$ nên $\triangle AMN$ cân tại $A \Rightarrow \widehat{AMN} = \dfrac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$.

0,25

Do đó $\widehat{AMN} = \widehat{B}$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $MN \parallel BC$.
Suy ra tứ giác $BMNC$ là hình thang.

0,25

Hình thang $BMNC$ có $\widehat{B} = \widehat{C}$ (do $\triangle ABC$ cân tại $A$) nên $BMNC$ là hình thang cân.

0,25

b

Chứng minh $BH = CK$ (0,75 điểm)

0,75

Ta có $AB = AC$ và $AM = AN \Rightarrow AB - AM = AC - AN$, hay $BM = CN$.

0,25

Xét $\triangle BMH$ vuông tại $H$ và $\triangle CNK$ vuông tại $K$ có:
+ $BM = CN$ (chứng minh trên)
+ $\widehat{B} = \widehat{C}$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$)

0,25

Do đó $\triangle BMH = \triangle CNK$ (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra $BH = CK$ (hai cạnh tương ứng).

0,25

c

Tính các góc của hình thang cân $BMNC$ khi $\widehat{A} = 40^\circ$ (0,5 điểm)

0,5

Khi $\widehat{A} = 40^\circ$, ta có: $\widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

0,25

Vì $MN \parallel BC$ nên $\widehat{BMN} + \widehat{B} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía)
$\Rightarrow \widehat{BMN} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Vì $BMNC$ là hình thang cân nên $\widehat{CNM} = \widehat{BMN} = 110^\circ$.
Vậy các góc của hình thang là: $\widehat{B} = \widehat{C} = 70^\circ$; $\widehat{BMN} = \widehat{CNM} = 110^\circ$.

0,25

Bài 4
(0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = 2x^2 + 2y^2 - xy$ biết $x + y = 1$ (0,5 điểm)

0,5

Từ $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$. Thay vào biểu thức $P$, ta được:
$P = 2x^2 + 2(1 - x)^2 - x(1 - x)$
$P = 2x^2 + 2(x^2 - 2x + 1) - x + x^2$
$P = 5x^2 - 5x + 2$

0,25

Ta có:
$P = 5\left(x^2 - x + \dfrac{1}{4}\right) + 2 - \dfrac{5}{4} = 5\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}$.
Vì $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $P \ge \dfrac{3}{4}$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $x - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\dfrac{3}{4}$ khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.

0,25