Đề kiểm tra Giữa học kỳ I - Toán 11 - Năm học 2026–2027

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

D. $D = \mathbb{R}$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \sin x$ .

B. $y = \tan x$ .

C. $y = \cos x$ .

D. $y = \cot x$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 3 - 2\sin 2x$ trên $\mathbb{R}$ lần lượt là

A. $M = 3$ và $m = 1$ .

B. $M = 5$ và $m = 1$ .

C. $M = 5$ và $m = -5$ .

D. $M = 1$ và $m = -1$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Với mọi góc lượng giác $a$ , khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\cos 2a = \sin^2 a - \cos^2 a$ .

B. $\cos 2a = 1 - 2\cos^2 a$ .

C. $\cos 2a = 2\sin a \cos a$ .

D. $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ bằng

A. $3\pi$ .

B. $2\pi$ .

C. $\pi$ .

D. $4\pi$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 2n - 3$ với $n \in \mathbb{N}^*$ . Số hạng thứ $5$ của dãy số đã cho là

A. $u_5 = 5$ .

B. $u_5 = 13$ .

C. $u_5 = 9$ .

D. $u_5 = 7$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công sai $d = -3$ . Giá trị của $u_2$ bằng

A. $7$ .

B. $1$ .

C. $-12$ .

D. $-1$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. $1; 3; 5; 7; 9$ .

B. $2; 4; 6; 8; 10$ .

C. $2; 6; 18; 54; 162$ .

D. $1; 2; 4; 6; 8$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Một rạp hát có $15$ hàng ghế. Hàng thứ nhất có $20$ ghế, mỗi hàng ghế sau có nhiều hơn hàng ghế ngay trước nó $2$ ghế. Tổng số ghế của cả rạp hát đó là

A. $480$ .

B. $510$ .

C. $450$ .

D. $540$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày (đơn vị: phút) của $40$ học sinh khối $11$ thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[0; 20)$	$[20; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$
Số học sinh	$6$	$14$	$12$	$8$

Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. $41$ phút.

B. $40$ phút.

C. $42,5$ phút.

D. $39,5$ phút.

Câu 11 (0,25 điểm). Thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của $50$ cây giống trong vườn ươm sau một tháng được cho ở bảng sau:

Chiều cao (cm)	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$
Số cây	$5$	$12$	$18$	$10$	$5$

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. $[10; 15)$ .

B. $[15; 20)$ .

C. $[25; 30)$ .

D. $[20; 25)$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm học sinh được ghi lại ở bảng tần số ghép nhóm sau:

Điểm	$[4; 5)$	$[5; 6)$	$[6; 7)$	$[7; 8)$	$[8; 9)$
Số học sinh	$3$	$7$	$15$	$10$	$5$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. $[7; 8)$ .

B. $[5; 6)$ .

C. $[6; 7)$ .

D. $[8; 9)$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = 4\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$ xác định trên $\mathbb{R}$ .
a) Tập giá trị của hàm số $y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ là đoạn $[-1; 1]$ .
b) Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng $4$ .
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng $-3$ .
d) Hàm số $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

Câu 2 (1,0 điểm). Cho phương trình lượng giác $2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} = 0$ .
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3}$ .
b) Họ nghiệm của phương trình đã cho là $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ và $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
c) Trên đoạn $[0; 2\pi]$ , phương trình đã cho có $3$ nghiệm phân biệt.
d) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $[0; 4\pi]$ bằng $\dfrac{20\pi}{3}$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Anh Nam vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ với mức lương khởi điểm năm đầu tiên là $180$ triệu đồng/năm. Theo hợp đồng lao động, kể từ năm làm việc thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Nam được tăng thêm $15$ triệu đồng so với năm ngay trước đó. Gọi $u_n$ (triệu đồng) là tiền lương của anh Nam ở năm làm việc thứ $n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ ).
a) Dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 180$ và công sai $d = 15$ .
b) Tiền lương của anh Nam ở năm làm việc thứ $5$ là $255$ triệu đồng.
c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là $u_n = 15n + 165$ với $n \in \mathbb{N}^*$ .
d) Tổng số tiền lương anh Nam nhận được sau đúng $10$ năm làm việc liên tiếp tại công ty là $2\,475$ triệu đồng.

Câu 4 (1,0 điểm). Khảo sát quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của một nhóm $40$ người cao tuổi tại một khu dân cư, người ta thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

Quãng đường (km)	$[1; 2)$	$[2; 3)$	$[3; 4)$	$[4; 5)$	$[5; 6)$
Số người	$4$	$10$	$16$	$6$	$4$

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là $n = 40$ và nhóm chứa trung vị là $[2; 3)$ .
b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $M_o = 3,375$ .
c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $Q_1 = 2,6$ .
d) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $M_e = 3,5$ .

PHẦN III. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm). Cho $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ với $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Tính giá trị của $\cos \alpha$ , $\sin 2\alpha$ và $\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có các số hạng đều dương, thỏa mãn $\begin{cases} u_1 + u_3 = 20 \\ u_2 + u_4 = 60 \end{cases}$ .
a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân $(u_n)$ .
b) Tính tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó và cho biết số $4\,374$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân $(u_n)$ ?

Câu 3 (1,0 điểm). Để đánh giá thời gian hoàn thành một sản phẩm (đơn vị: phút) của các công nhân trong một phân xưởng, người quản lý đã khảo sát ngẫu nhiên $60$ công nhân và thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$	$[35; 40)$
Số công nhân	$6$	$15$	$24$	$10$	$5$

a) Tìm trung vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
b) Ban quản lý phân xưởng muốn khen thưởng $25\%$ số công nhân có thời gian hoàn thành sản phẩm nhanh nhất (tức là thời gian hoàn thành sản phẩm ít nhất). Hãy ước lượng thời gian hoàn thành sản phẩm tối đa để một công nhân nằm trong diện được khen thưởng.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Hướng dẫn chấm chính thức

KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Giám khảo chấm đúng theo đáp án và thang điểm đã quy định.
- Đối với phần tự luận, nếu học sinh làm theo cách khác nhưng lập luận chặt chẽ và ra kết quả đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của cả ba phần, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp án	A	C	B	D	A	D

Câu	7	8	9	10	11	12
Đáp án	B	C	B	A	D	C

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm.
- Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu	1a	1b	1c	1d	2a	2b	2c	2d
Đáp án	Đ	S	Đ	S	Đ	Đ	S	Đ

Câu	3a	3b	3c	3d	4a	4b	4c	4d
Đáp án	Đ	S	Đ	Đ	S	Đ	Đ	S

PHẦN III. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu	Ý	Nội dung	Điểm
Câu 1 (1,0 điểm)		Cho $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ với $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Tính $\cos \alpha$ , $\sin 2\alpha$ và $\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)$	1,0
		Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$ .	0,25
		Ta có $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = -\dfrac{4}{5}$ .	0,25
		Áp dụng công thức nhân đôi: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}$ .	0,25
		Áp dụng công thức cộng: $\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos \alpha \cos\dfrac{\pi}{3} - \sin \alpha \sin\dfrac{\pi}{3} = \left(-\dfrac{4}{5}\right) \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{-4 - 3\sqrt{3}}{10}$ .	0,25
Câu 2 (1,0 điểm)	a	Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân $(u_n)$	0,5
		Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $(u_n)$ . Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $\begin{cases} u_1 + u_1 q^2 = 20 \\ u_1 q + u_1 q^3 = 60 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q^2) = 20 \quad (1) \\ u_1 q(1 + q^2) = 60 \quad (2) \end{cases}$	0,25
		Lấy $(2)$ chia cho $(1)$ vế theo vế, ta được $q = \dfrac{60}{20} = 3$ . Thay $q = 3$ vào $(1)$ , ta có $u_1(1 + 3^2) = 20 \Leftrightarrow u_1 = 2$ (thỏa mãn các số hạng đều dương).	0,25
	b	Tính tổng $10$ số hạng đầu tiên và tìm vị trí của số hạng $4\,374$	0,5
		Tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: $S_{10} = \dfrac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \dfrac{2(1 - 3^{10})}{1 - 3} = 3^{10} - 1 = 59\,048$ .	0,25
		Xét $u_n = 4\,374 \Leftrightarrow u_1 \cdot q^{n-1} = 4\,374 \Leftrightarrow 2 \cdot 3^{n-1} = 4\,374 \Leftrightarrow 3^{n-1} = 2\,187 = 3^7 \Leftrightarrow n = 8$ . Vậy số $4\,374$ là số hạng thứ $8$ của cấp số nhân $(u_n)$ .	0,25
Câu 3 (1,0 điểm)	a	Tìm trung vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm	0,5
		Cỡ mẫu là $n = 60$ . Ta có $\dfrac{n}{2} = 30$ ; tần số tích lũy của nhóm $[20; 25)$ là $6 + 15 = 21 < 30$ và của nhóm $[25; 30)$ là $21 + 24 = 45 \ge 30$ nên nhóm chứa trung vị là $[25; 30)$ . Trung vị của mẫu số liệu là: $M_e = 25 + \dfrac{30 - 21}{24} \cdot (30 - 25) = 26,875 \approx 26,88$ (phút).	0,25
		Nhóm có tần số lớn nhất là $[25; 30)$ với tần số bằng $24$ nên nhóm chứa mốt là $[25; 30)$ . Mốt của mẫu số liệu là: $M_o = 25 + \dfrac{24 - 15}{(24 - 15) + (24 - 10)} \cdot (30 - 25) = 25 + \dfrac{45}{23} \approx 26,96$ (phút).	0,25
	b	Ước lượng thời gian hoàn thành sản phẩm tối đa để được khen thưởng	0,5
		Để xác định ngưỡng thời gian của $25\%$ số công nhân hoàn thành sản phẩm nhanh nhất (thời gian hoàn thành ít nhất), ta cần tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm.	0,25
		Ta có $\dfrac{n}{4} = 15$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[20; 25)$ (vì $6 < 15 \le 21$ ). Khi đó $Q_1 = 20 + \dfrac{15 - 6}{15} \cdot (25 - 20) = 23$ (phút). Vậy công nhân có thời gian hoàn thành sản phẩm tối đa là $23$ phút sẽ nằm trong diện được khen thưởng.	0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 11