Đề kiểm tra giữa học kỳ I Toán 11 KNTT theo ma trận

TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH

TỔ TOÁN - TIN

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 - 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Đổi góc có số đo $60^\circ$ sang đơn vị radian ta được

A. $\dfrac{\pi}{3}$ .

B. $\dfrac{\pi}{6}$ .

C. $\dfrac{\pi}{2}$ .

D. $\dfrac{\pi}{4}$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha > 0$ .

B. $\cos \alpha < 0$ .

C. $\tan \alpha < 0$ .

D. $\cot \alpha < 0$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ .

B. $\sin(a + b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ .

C. $\sin(a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ .

D. $\sin(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ .

B. $\cos 2\alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$ .

C. $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha + 1$ .

D. $\cos 2\alpha = 1 - 2\cos^2 \alpha$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

B. $D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \}$ .

C. $D = \mathbb{R}$ .

D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là

A. $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

B. $x = k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

C. $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

D. $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Phương trình $\cos x = \dfrac{1}{2}$ có tất cả các nghiệm là

A. $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

B. $x = \pm \dfrac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

C. $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

D. $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 2n + 1$ với $n \in \mathbb{N}^*$ . Số hạng $u_3$ bằng

A. $7$ .

B. $5$ .

C. $9$ .

D. $6$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 2$ . Giá trị của $u_2$ bằng

A. $5$ .

B. $6$ .

C. $1$ .

D. $-1$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua ba điểm phân biệt tùy ý xác định duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua bốn điểm phân biệt tùy ý xác định duy nhất một mặt phẳng.

D. Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tứ diện $ABCD$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$ là

A. Đường thẳng $AB$ .

B. Đường thẳng $CD$ .

C. Điểm $A$ .

D. Đoạn thẳng $BC$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Cho đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ , đường thẳng $c$ phân biệt cắt đường thẳng $a$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là

A. $a$ và $b$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. $a$ và $b$ chéo nhau.

C. $a$ và $b$ trùng nhau.

D. $a$ và $b$ có một điểm chung.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (1,5 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ .
a) Điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha$ trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II.
b) Giá trị của $\cos \alpha$ mang dấu dương.
c) $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$ .
d) $\sin 2\alpha = -\dfrac{24}{25}$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \dfrac{n}{n + 1}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ .
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{5}{6}$ .
b) Số hạng thứ mười của dãy số là $u_{10} = \dfrac{10}{11}$ .
c) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số giảm.
d) Dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số $1$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $SC$ .
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$ .
b) Đường thẳng $SO$ nằm trong mặt phẳng $(SBD)$ .
c) Giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ là giao điểm của $AM$ và $SO$ .
d) Mặt phẳng $(ABM)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là một tam giác.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 2$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Một rạp hát có 15 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 20 ghế, mỗi hàng ghế sau có nhiều hơn hàng ghế ngay trước nó 3 ghế. Hỏi rạp hát đó có tất cả bao nhiêu ghế?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (4,5 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các câu hỏi sau.

Câu 1 (1,0 điểm). Rút gọn biểu thức sau:

$A = \dfrac{\sin 2x + \sin 4x}{\cos 2x + \cos 4x}$

Câu 2 (1,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ và $AB = 2CD$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA$ và $SB$ .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ .
b) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $CD$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Một bác thợ xây muốn thiết kế một bức tường gạch dạng hình thang có đáy rộng. Hàng gạch dưới cùng cần đặt 80 viên gạch, mỗi hàng gạch phía trên tiếp theo đều giảm đi 2 viên gạch so với hàng ngay dưới nó. Biết rằng hàng trên cùng chỉ có 2 viên gạch.
a) Bức tường đó có tất cả bao nhiêu hàng gạch?
b) Tính tổng số viên gạch cần dùng để xây bức tường đó.

Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình lượng giác sau:

$\sin 3x - \sqrt{3}\cos 3x = \sqrt{2}$

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM

1. PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm - Mỗi câu 0,25 điểm)

Câu	Đáp án	Câu	Đáp án	Câu	Đáp án	Câu	Đáp án
1	A	4	A	7	A	10	A
2	A	5	A	8	A	11	A
3	A	6	A	9	A	12	A

2. PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (1,5 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; Đúng 2 ý: 0,25 điểm; Đúng 3 ý: 0,35 điểm; Đúng 4 ý: 0,5 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
1	a)	Đ	2	c)	S
	b)	S	2	d)	Đ
	c)	Đ	3	a)	Đ
	d)	Đ		b)	Đ
2	a)	Đ		c)	Đ
2	b)	Đ		d)	S

3. PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu	Đáp án
1	5
2	615

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT VÀ BAREM ĐIỂM TỰ LUẬN

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1		Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac{\sin 2x + \sin 4x}{\cos 2x + \cos 4x}$ (1,0 điểm)
		Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin 4x + \sin 2x = 2\sin\left(\dfrac{4x + 2x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{4x - 2x}{2}\right) = 2\sin 3x\cos x$	0,25
		$\cos 4x + \cos 2x = 2\cos\left(\dfrac{4x + 2x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{4x - 2x}{2}\right) = 2\cos 3x\cos x$	0,25
		Thay vào biểu thức $A$ , ta có: $A = \dfrac{2\sin 3x\cos x}{2\cos 3x\cos x}$	0,25
		Rút gọn phân thức: $A = \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x$ (với điều kiện mẫu số xác định).	0,25
2		Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang... (1,5 điểm)
		[Hình vẽ]
	a)	Tìm giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ (0,75 điểm)
		Ta có điểm $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ .	0,25
		Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$ , vì $ABCD$ là hình thang ( $AB \parallel CD, AB \ne CD$ ) nên hai đường thẳng $AD$ và $BC$ không song song, cắt nhau tại một điểm $E$ .	0,25
		Vì $E \in AD \subset (SAD)$ và $E \in BC \subset (SBC)$ nên $E$ là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến cần tìm là đường thẳng $SE$ .	0,25
	b)	Chứng minh đường thẳng $MN$ song song với $CD$ (0,75 điểm)
		Xét tam giác $SAB$ , ta có $M$ là trung điểm $SA$ và $N$ là trung điểm $SB$ . Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ .	0,25
		Suy ra $MN \parallel AB$ .	0,25
		Mặt khác theo giả thiết đáy $ABCD$ là hình thang nên $AB \parallel CD$ . Từ đó suy ra $MN \parallel CD$ .	0,25
3		Bài toán thực tiễn về cấp số cộng (1,0 điểm)
	a)	Tính số hàng gạch của bức tường (0,5 điểm)
		Số lượng viên gạch ở mỗi hàng (kể từ hàng dưới cùng lên trên) lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 80$ và công sai $d = -2$ .	0,25
		Hàng trên cùng có 2 viên gạch ứng với số hạng thứ $n$ : $u_n = u_1 + (n - 1)d \iff 2 = 80 + (n - 1)(-2) \iff 2(n - 1) = 78 \iff n = 40$ . Vậy bức tường có tất cả 40 hàng gạch.	0,25
	b)	Tính tổng số viên gạch cần dùng (0,5 điểm)
		Tổng số viên gạch cần dùng là tổng của 40 số hạng đầu của cấp số cộng:	0,25
		$S_{40} = \dfrac{40 \cdot (u_1 + u_{40})}{2} = \dfrac{40 \cdot (80 + 2)}{2} = 20 \cdot 82 = 1640$ (viên gạch).	0,25
4		Giải phương trình: $\sin 3x - \sqrt{3}\cos 3x = \sqrt{2}$ (1,0 điểm)
		Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được: $\dfrac{1}{2}\sin 3x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 3x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$	0,25
		Phương trình tương đương: $\sin 3x \cos\dfrac{\pi}{3} - \cos 3x \sin\dfrac{\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{4}$ $\iff \sin\left(3x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{4}$	0,25
		Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $\left[\begin{array}{l} 3x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ 3x - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$	0,25
		$\iff \left[\begin{array}{l} 3x = \dfrac{7\pi}{12} + k2\pi \\ 3x = \dfrac{13\pi}{12} + k2\pi \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{7\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ x = \dfrac{13\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$ . Vậy phương trình có họ nghiệm $x = \dfrac{7\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3}$ và $x = \dfrac{13\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).	0,25