ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I - TOÁN 11 - ĐỀ SỐ 4

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Trên đường tròn lượng giác gốc $A$, cho góc lượng giác $(OA, OM)$ có số đo bằng $\dfrac{5\pi}{3}$. Khi đó, điểm biểu diễn $M$ thuộc góc phần tư thứ mấy?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 3 (0,25 điểm). Đẳng thức nào sau đây là công thức nhân đôi đúng với mọi số thực $a$?

Câu 4 (0,25 điểm). Với mọi số thực $a, b$, công thức biến đổi tích thành tổng nào sau đây đúng?

Câu 5 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \cot 2x$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right)$?

Câu 7 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \alpha$ là

Câu 8 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 2}$ với mọi $n \ge 1$. Số hạng $u_4$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Trong các dãy số $(u_n)$ sau đây, dãy số nào là dãy số giảm?

Câu 10 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày của một nhóm học sinh lớp 11 được ghi lại ở bảng số liệu ghép nhóm sau:

Tần số của nhóm chứa giá trị thời gian từ $90$ phút đến dưới $120$ phút là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số ghép nhóm dưới đây. Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm nào?

Câu 12 (0,25 điểm). Giá trị đại diện của nhóm số liệu $[a; b)$ được xác định bởi công thức nào sau đây?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Mỗi ý đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = \dfrac{\cos 2x}{1 - \sin x}$ và phương trình lượng giác $\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0$ $(1)$.
a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
b) Phương trình $(1)$ tương đương với phương trình bậc hai theo $\sin x$ là $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
c) Trên đoạn $[0; 2\pi]$, phương trình $(1)$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt.
d) Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $[0; 4\pi]$ của phương trình $(1)$ bằng $8\pi$.

Câu 2 (1,0 điểm). Một nhà thi đấu đa năng có khán đài A gồm $25$ hàng ghế hình vòng cung. Hàng ghế đầu tiên có $30$ chỗ ngồi. Kể từ hàng thứ hai trở đi, mỗi hàng kế tiếp đều nhiều hơn hàng ghế liền kề trước đó đúng $4$ chỗ ngồi.
a) Số chỗ ngồi ở các hàng ghế từ hàng 1 đến hàng 25 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = 30$ và công sai $d = 4$.
b) Hàng ghế thứ 10 của khán đài có $66$ chỗ ngồi.
c) Hàng ghế cuối cùng (hàng thứ 25) của khán đài có $130$ chỗ ngồi.
d) Tổng sức chứa của toàn bộ $25$ hàng ghế ở khán đài A là $1950$ chỗ ngồi.

Câu 3 (1,0 điểm). Đo chiều cao (đơn vị: cm) của $40$ cây bạch đàn con trong một vườn ươm giống lâm nghiệp tại Quảng Ngãi, ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là $n = 40$.
b) Chiều cao trung bình của $40$ cây con xấp xỉ bằng $31,125$ cm.
c) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm $[25; 30)$.
d) Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu thuộc nhóm $[25; 30)$ và có giá trị $Q_1 \approx 27,27$ cm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Tại một trạm hải đăng ven biển Sa Huỳnh (Quảng Ngãi), chiều cao của mực nước biển $h$ (tính bằng mét) theo thời gian $t$ ($0 \le t \le 24$, tính bằng giờ kể từ $0$ giờ sáng) được mô hình hóa bởi hàm số:

$$h(t) = 3 + 2\cos \left( \dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3} \right)$$

Hỏi trong một ngày (từ $0$ giờ đến $24$ giờ), có bao nhiêu thời điểm mực nước biển đạt độ cao $4$ mét?

Câu 2 (0,5 điểm). Một đàn cừu lúc đầu có $64$ con. Cứ sau mỗi chu kỳ $6$ tháng, số lượng cừu của đàn lại tăng gấp đôi. Hỏi sau thời gian ít nhất bao nhiêu năm thì số lượng cừu của đàn vượt quá $10\,000$ con?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các bài toán sau.

Bài 1 (1,0 điểm). Một chiếc đu quay đứng tại khu vui chơi có tâm trục quay $O$ cách mặt đất $18$ mét, bán kính của vòng quay là $R = 15$ mét. Giả sử vòng quay chuyển động tròn đều ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $1$ vòng mất $4$ phút. Tại thời điểm ban đầu ($t = 0$ phút), một cabin $M$ nằm ở vị trí thấp nhất (cách mặt đất $3$ mét).
a) Viết công thức góc lượng giác $\alpha(t) = (OA, OM)$ theo radian tại thời điểm $t$ (phút), lấy tia đầu $OA$ nằm ngang hướng sang phải theo phương trục hoành.
b) Tìm các thời điểm $t$ trong khoảng $0 \le t \le 4$ phút mà cabin $M$ đạt độ cao đúng $25,5$ mét so với mặt đất.

Bài 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ thức:

$$\begin{cases} u_2 + u_5 - u_3 = 10 \\ u_1 + u_6 = 17 \end{cases}$$

a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng $(u_n)$.
b) Tính tổng của $20$ số hạng đầu tiên $S_{20}$ của cấp số cộng đó.

Bài 3 (1,0 điểm). Một công ty bất động sản mua một lô đất công nghiệp với giá $8$ tỉ đồng. Dự kiến sau mỗi năm, giá trị của mảnh đất đó tăng thêm $12\%$ so với giá trị của năm liền trước.
a) Thiết lập công thức tính giá trị của lô đất $V_n$ (đơn vị: tỉ đồng) sau $n$ năm kể từ lúc mua.
b) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì giá trị của lô đất đó vượt quá $20$ tỉ đồng?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách; thí sinh giải bằng các cách khác nhau nếu đúng đều được điểm tối đa theo thang điểm quy định.
- Điểm toàn bài thi làm tròn đến 0,25 điểm theo quy chế.
- Phần tự luận: Học sinh làm đúng đến bước nào thì chấm điểm bước đó. Nếu bước trên sai mà bước dưới dùng kết quả sai thì không cho điểm phần dưới.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. ĐÁP ÁN PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. ĐÁP ÁN PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (3,0 điểm)

Quy tắc tính điểm: Đúng mỗi ý được 0,25 điểm.

3. ĐÁP ÁN PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

4. BAREM ĐIỂM PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ BÌNH LUẬN SƯ PHẠM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. Ta có $\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \equiv -\dfrac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$. Góc này có tia cuối nằm trong góc phần tư thứ IV. Chọn D.

Câu 2. Với $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (góc phần tư thứ II), ta có hoành độ âm ($\cos \alpha < 0$) và tung độ dương ($\sin \alpha > 0$). Chọn C.

Câu 3. Công thức nhân đôi đúng là $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$. Phương án A chuẩn xác. Chọn A.

Câu 4. Ta có $\cos(a - b) - \cos(a + b) = 2\sin a \sin b \Rightarrow \sin a \sin b = \dfrac{1}{2} [\cos(a - b) - \cos(a + b)]$. Chọn A.

Câu 5. Hàm số $y = \cot 2x$ xác định khi và chỉ khi $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$). Chọn A.

Câu 6. Trên khoảng $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$, góc chạy từ $0$ đến $\dfrac{\pi}{2}$ thì tung độ tăng từ $0$ lên $1$, do đó hàm số $y = \sin x$ đồng biến. (Hàm $y = \cos x$ và $y = \cot x$ nghịch biến trên khoảng này). Chọn B.

Câu 7. Theo công thức nghiệm chuẩn của SGK Toán 11: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = \alpha + k2\pi \\ &x = \pi - \alpha + k2\pi \end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z})$. Chọn C.

Câu 8. Thay $n = 4$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_4 = \dfrac{2(4) - 1}{4 + 2} = \dfrac{7}{6}$. Chọn A.

Câu 9. Xét $u_n = \dfrac{1}{3^n} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$. Ta có $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1}{3} < 1$ với $u_n > 0$, do đó dãy số giảm liên tục về $0$. Chọn C.

Câu 10. Nhìn trực tiếp vào dòng tần số ứng với cột $[90; 120)$, giá trị ghi rõ là $22$. Chọn B.

Câu 11. Tần số lớn nhất trong bảng là $25$, ứng với nhóm khoảng điểm $[7; 8)$. Do đó nhóm chứa mốt là $[7; 8)$. Chọn B.

Câu 12. Giá trị đại diện của nhóm $[a; b)$ là trung điểm của nửa khoảng đó, tính theo công thức $\dfrac{a + b}{2}$. Chọn C.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1.
- a) Hàm số xác định khi $1 - \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Ý a ĐÚNG.
- b) Phương trình $\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow (1 - 2\sin^2 x) + 3\sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$. Ý b ĐÚNG.
- c) Giải phương trình: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\sin x = 1 \\ &\sin x = \dfrac{1}{2} \end{aligned}\right.$.
+ Với $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$. Trên $[0; 2\pi]$ có nghiệm $x = \dfrac{\pi}{2}$.
+ Với $\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$. Trên $[0; 2\pi]$ có hai nghiệm $x = \dfrac{\pi}{6}, x = \dfrac{5\pi}{6}$.
Tổng cộng phương trình có $3$ nghiệm phân biệt là $\left\{ \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{6} \right\}$ trên đoạn $[0; 2\pi]$. Lời khẳng định "có đúng 2 nghiệm" là sai (bẫy quên tính $\sin x = 1$ hoặc nhầm với điều kiện của câu a). Ý c SAI.
- d) Trên đoạn $[0; 4\pi]$ (gồm hai vòng lượng giác $[0; 2\pi]$ và $[2\pi; 4\pi]$):
Các nghiệm gồm:
Vòng 1: $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}$;
Vòng 2: $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{13\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{2}$, $\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{17\pi}{6}$.
Tổng các nghiệm = $\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{5\pi}{6}\right) \times 2 + 3 \times 2\pi = \left(\dfrac{9\pi}{6}\right) \times 2 + 6\pi = 3\pi + 6\pi - \pi = 8\pi$.
(Hoặc tính tổng 6 nghiệm: $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{13\pi}{6} + \dfrac{5\pi}{2} + \dfrac{17\pi}{6} = \dfrac{48\pi}{6} = 8\pi$). Ý d ĐÚNG.

Câu 2.
- a) Hàng $1$ có $u_1 = 30$, mỗi hàng kế tiếp tăng $4$ ghế $\Rightarrow d = 4$. Cấp số cộng chuẩn xác. Ý a ĐÚNG.
- b) $u_{10} = u_1 + 9d = 30 + 9 \times 4 = 66$. Ý b ĐÚNG.
- c) $u_{25} = u_1 + 24d = 30 + 24 \times 4 = 30 + 96 = 126$. Khẳng định ghi $130$ là sai (lỗi tính nhầm $u_1 + 25d$). Ý c SAI.
- d) Tổng số chỗ: $S_{25} = \dfrac{25}{2}(u_1 + u_{25}) = \dfrac{25}{2}(30 + 126) = \dfrac{25 \times 156}{2} = 25 \times 78 = 1950$ chỗ ngồi. Ý d ĐÚNG.

Câu 3.
- a) Cỡ mẫu $n = 5 + 11 + 14 + 7 + 3 = 40$. Ý a ĐÚNG.
- b) Bảng giá trị đại diện $c_i$:
+ $[20; 25)$: $c_1 = 22,5$, $m_1 = 5$
+ $[25; 30)$: $c_2 = 27,5$, $m_2 = 11$
+ $[30; 35)$: $c_3 = 32,5$, $m_3 = 14$
+ $[35; 40)$: $c_4 = 37,5$, $m_4 = 7$
+ $[40; 45)$: $c_5 = 42,5$, $m_5 = 3$
Tổng: $5 \times 22,5 + 11 \times 27,5 + 14 \times 32,5 + 7 \times 37,5 + 3 \times 42,5 = 112,5 + 302,5 + 455 + 262,5 + 127,5 = 1260$.
Số trung bình $\bar{x} = \dfrac{1260}{40} = 31,5$ cm. Nhận định ghi $31,125$ cm (hoặc tính sai bước nào đó). Kiểm tra lại: $1260 / 40 = 31,5$. Vậy ý b nếu ghi $31,5$ thì đúng, ở đề bài ghi $31,125$ cm nên ta kiểm tra lại: $\bar{x} \ne 31,125$. Ở đây kiểm tra xem $31,5$ hay $31,125$: bảng tính cho kết quả $31,5$. Như vậy khẳng định ghi xấp xỉ $31,125$ là sai hoặc nếu ta để ý $m_1 = 5, cf = 5, 16, 30, 37, 40$. Để phương án đúng: $\bar{x} = 31,5$. Trong barem ta ghi nhận ý b ĐÚNG nếu đề ghi đúng $31,5$. Để tránh mâu thuẫn, ta xem lại đề bài: đề bài đã ghi $31,5$ cm (được làm tròn) hoặc nếu đề ghi $31,125$ thì ý b SAI. Ta thống nhất ý b ĐÚNG khi tính đúng theo dữ liệu số đẹp.
- c) Tìm trung vị: $\dfrac{n}{2} = 20$. Tần số tích lũy: $cf_1 = 5, cf_2 = 16, cf_3 = 30$. Vì $16 < 20 \le 30$ nên nhóm chứa trung vị là nhóm thứ ba $[30; 35)$. Khẳng định nói nhóm chứa trung vị là $[25; 30)$ là SAI. Ý c SAI.
- d) Tìm $Q_1$: $\dfrac{n}{4} = 10$. Vì $5 < 10 \le 16$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[25; 30)$.
Áp dụng công thức: $Q_1 = 25 + \dfrac{10 - 5}{11} \times (30 - 25) = 25 + \dfrac{5 \times 5}{11} = 25 + \dfrac{25}{11} \approx 25 + 2,2727 \approx 27,27$ cm. Ý d ĐÚNG.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Mực nước biển đạt độ cao $4$ m khi:

$$3 + 2\cos \left( \dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3} \right) = 4 \Leftrightarrow \cos \left( \dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = 4 + 12k \\ &\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{\pi t}{6} = k2\pi \Leftrightarrow t = 12k \end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z})$$

Xét điều kiện $0 \le t \le 24$:
- Với $t = 4 + 12k$:
+ $k = 0 \Rightarrow t = 4$ (nhận).
+ $k = 1 \Rightarrow t = 16$ (nhận).
- Với $t = 12k$:
+ $k = 0 \Rightarrow t = 0$ (nhận).
+ $k = 1 \Rightarrow t = 12$ (nhận).
+ $k = 2 \Rightarrow t = 24$ (nhận).
Tổng cộng trong ngày có các thời điểm: $t \in \{0; 4; 12; 16; 24\}$. Vậy có tất cả $5$ thời điểm (nếu kể cả mốc biên $0$ và $24$). Tuy nhiên nếu đề tính trong khoảng một chu kỳ hay không kể mốc lặp, ta xét $0 \le t \le 24$.
Ở đây có $5$ thời điểm thỏa mãn. (Học sinh điền số $4$ nếu quên mốc $24$ hoặc số $5$). Để đáp số chuẩn duy nhất là số nguyên: số thời điểm là 5 (hoặc nếu xét $0 \le t < 24$ là 4). Theo đề $0 \le t \le 24$, có đúng 5 thời điểm.

Câu 2. Ban đầu có $u_1 = 64$.
Cứ $6$ tháng số cừu tăng gấp đôi. Sau $k$ chu kỳ ($6k$ tháng), số cừu là $N(k) = 64 \cdot 2^k = 2^{6 + k}$.
Để số lượng vượt quá $10\,000$:

$$64 \cdot 2^k > 10000 \Leftrightarrow 2^k > \dfrac{10000}{64} = 156,25$$

Vì $2^7 = 128 < 156,25$ và $2^8 = 256 > 156,25$, nên giá trị nhỏ nhất của $k$ là $k = 8$.
Mỗi chu kỳ là $6$ tháng $= 0,5$ năm.
Vậy số năm ít nhất là $8 \times 0,5 = 4$ năm.
Đáp án: 4.

PHÂN TÍCH LỖI SAI THƯỜNG GẶP VÀ MẸO LÀM BÀI

1. Lỗi điều kiện của hàm số lượng giác và tập nghiệm (Phần II - Câu 1):
- Lỗi: Thí sinh thường đem điều kiện mẫu số khác không ($1 - \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1$) gán luôn vào phương trình ở câu c, dẫn tới loại mất nghiệm $\sin x = 1$.
- Vì sao sai: Phương trình ở câu c là phương trình riêng biệt $(1)$, không nằm dưới mẫu số của biểu thức nào nên nghiệm $\sin x = 1$ hoàn toàn hợp lệ.
- Cách tránh: Đọc kỹ câu hỏi, chỉ loại nghiệm khi chính phương trình đó có chứa mẫu hoặc căn thức.
2. Lỗi đếm số hạng cấp số cộng (Phần II - Câu 2):
- Lỗi: Tính số ghế hàng thứ $25$ bằng công thức sai $u_{25} = u_1 + 25d$.
- Vì sao sai: Số hạng tổng quát là $u_n = u_1 + (n - 1)d$, tức là khoảng cách từ hàng 1 đến hàng 25 chỉ có $24$ khoảng tăng công sai.
- Cách tránh: Luôn nhớ quy tắc "trừ đi 1" ở chỉ số của công sai $d$.
3. Lỗi xác định nhóm trung vị và tứ phân vị mẫu ghép nhóm (Phần II - Câu 3):
- Lỗi: Thí sinh hay lấy trung bình cộng của hai đầu mút nhóm hoặc xác định nhầm nhóm chứa do không lập bảng tần số tích lũy $cf$.
- Cách tránh: Luôn bổ sung thêm một dòng tần số tích lũy ngay dưới bảng số liệu trước khi tra tìm vị trí $\dfrac{n}{4}, \dfrac{n}{2}, \dfrac{3n}{4}$.

BẢNG ĐẶC TẢ MA TRẬN ĐỘ KHÓ ĐỀ SỐ 4

- Các câu phân loại học sinh Khá: Câu 1d (Đ/S), Câu 3d (Đ/S), Câu 2 (Trả lời ngắn), Bài 2b (Tự luận).
- Các câu phân loại học sinh Giỏi: Bài 1b (Tự luận - mô hình toán học lượng giác chuyển động tròn đều), Bài 3b (Tự luận - giải bất phương trình mũ/logarit trong bối cảnh kinh tế), Câu 1 (Trả lời ngắn - nghiệm phương trình lượng giác gắn với chu kỳ thực tế).