ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I - TOÁN 11 (ĐẠI SỐ & LƯỢNG GIÁC)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian.

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 3 (0,25 điểm). Công thức nào sau đây là công thức cộng đúng trong lượng giác?

Câu 4 (0,25 điểm). Tập xác định $D$ của hàm số $y = \tan x$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \cos 2x$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Tất cả các nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$. Giá trị của số hạng thứ tư $u_4$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$. Số hạng thứ hai $u_2$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = -3$. Số hạng thứ ba $u_3$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên tập xác định của nó?

Câu 11 (0,25 điểm). Dãy số nào sau đây là một dãy số tăng?

Câu 12 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 \ne 0$ và công bội $q \ne 0$. Hệ thức nào sau đây đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$?

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = 5\sin \alpha + 10\cos \alpha$.

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[0; 2\pi]$ của phương trình lượng giác $\cos 2x - \sqrt{3}\sin 2x = 1$.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 + u_5 = 19$ và $u_3 + u_8 = 29$. Tính số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng đó.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có công bội dương, biết $u_1 = 3$ và $u_4 = 24$. Tính tổng 8 số hạng đầu tiên $S_8$ của cấp số nhân đó.

Câu 5 (0,5 điểm). Một công ty kí hợp đồng lao động với một kĩ sư trẻ: năm thứ nhất mức lương là 120 triệu đồng/năm. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm mức lương được tăng thêm 15 triệu đồng/năm so với năm liền trước đó. Hỏi sau đúng 10 năm làm việc liên tục tại công ty, tổng số tiền lương kĩ sư đó nhận được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 6 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có các số hạng đều dương, thỏa mãn $u_1 + u_2 + u_3 = 13$ và $u_4 + u_5 + u_6 = 351$. Tìm giá trị của số hạng $u_5$.

PHẦN III. TỰ LUẬN (4,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho Bài 1, Bài 2 và Bài 3.

Bài 1 (1,5 điểm).
a) (0,75 điểm) Giải phương trình lượng giác sau: $\sqrt{3}\tan \left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) - 1 = 0$.
b) (0,75 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) - 5$.

Bài 2 (1,0 điểm).
Một hội trường có 20 hàng ghế, hàng ghế đầu tiên có 15 ghế. Mỗi hàng ghế tiếp theo có nhiều hơn hàng ghế liền trước nó 2 ghế.
a) (0,5 điểm) Hỏi hàng ghế cuối cùng (hàng thứ 20) có bao nhiêu chiếc ghế?
b) (0,5 điểm) Tính tổng số ghế ngồi có trong hội trường đó.

Bài 3 (1,5 điểm).
a) (0,75 điểm) Tìm ba số thực dương $x, y, z$ biết rằng ba số đó theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có tổng bằng $26$, đồng thời $x, y + 2, z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
b) (0,5 điểm) Một loài vi khuẩn ban đầu có $1\,000$ cá thể. Biết rằng cứ sau mỗi chu kì 30 phút, số lượng cá thể vi khuẩn lại nhân đôi. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ thời điểm ban đầu, quần thể vi khuẩn đó đạt đến $64\,000$ cá thể?
c) (0,25 điểm) Cho cấp số cộng $(u_n)$ có công sai $d > 0$ và số hạng đầu $u_1 > 0$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \ge 2$, ta có:

$$\dfrac{1}{\sqrt{u_1} + \sqrt{u_2}} + \dfrac{1}{\sqrt{u_2} + \sqrt{u_3}} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{u_{n-1}} + \sqrt{u_n}} = \dfrac{n - 1}{\sqrt{u_1} + \sqrt{u_n}}.$$

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................