ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I - TOÁN 11

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu là $u_1$ và công sai $d$. Số hạng tổng quát $u_n$ ($n \ge 2$) của cấp số cộng được xác định bởi công thức nào sau đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Trong các đẳng thức lượng giác sau, đẳng thức nào đúng?

Câu 3 (0,25 điểm). Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?

Câu 4 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ gồm các số tự nhiên chẵn khác $0$, sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $2, 4, 6, 8, \dots$. Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

Câu 5 (0,25 điểm). Phương trình $\tan x = \sqrt{3}$ có tất cả các nghiệm là

Câu 6 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \ne 1$. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân này được tính theo công thức

Câu 7 (0,25 điểm). Trên đường tròn lượng giác gốc $A(1; 0)$, cho điểm $M$ ở góc phần tư thứ II sao cho $\widehat{AOM} = 120^\circ$. Số đo của góc lượng giác $(OA, OM)$ có dạng tổng quát là

Câu 8 (0,25 điểm). Thời gian (tính bằng phút) tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 11A1 được thống kê trong bảng sau:

Có bao nhiêu học sinh có thời gian tự học mỗi ngày dưới $120$ phút?

Câu 9 (0,25 điểm). Tuổi thọ (năm) của một số bóng đèn huỳnh quang được ghi lại theo mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Câu 10 (0,25 điểm). Tập nghiệm của phương trình lượng giác $\cos x = -1$ là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công sai $d = 4$. Giá trị của số hạng thứ $7$ là

Câu 12 (0,25 điểm). Chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \cos(4x)$ là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

Câu 1 (1,0 điểm). Cho phương trình lượng giác $\dfrac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = 0$.
a) Điều kiện xác định của phương trình là $\sin 2x \ne 1$.
b) Phương trình đã cho tương đương với $\sin 2x = -1$.
c) Phương trình có một nghiệm là $x = -\dfrac{\pi}{4}$.
d) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình có dạng $\dfrac{a\pi}{b}$ với $a, b \in \mathbb{N}^*$ và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Khi đó giá trị của biểu thức $a^2 + b$ bằng $13$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$, công sai $d = 3$.
a) Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = 3n - 1$.
b) Số $89$ là số hạng thứ $30$ của cấp số cộng.
c) Số $155$ là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng của $50$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng $3775$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số lượng giác $y = f(x) = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right)$.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R}$.
b) Hàm số đã cho là một hàm số chẵn.
c) Hàm số $f(x)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \pi$.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{6}\right]$ bằng $\dfrac{1}{2}$.

Câu 4 (1,0 điểm). Để nghiên cứu thói quen tập thể dục, một câu lạc bộ đã ghi nhận thời gian tập luyện (giờ/tuần) của $50$ thành viên và thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:

a) Tần số của nhóm $[6; 9)$ là lớn nhất, do đó nhóm chứa mốt là nhóm $[6; 9)$.
b) Thời gian luyện tập trung bình của các thành viên trong câu lạc bộ là $6,78$ giờ/tuần.
c) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là $M_e = 6,75$.
d) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng $M_o \approx 6,69$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha - \cos \alpha = \dfrac{1}{2}$. Biết $\sin 2\alpha = \dfrac{m}{n}$ với $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản và $m, n \in \mathbb{N}^*$. Tính giá trị của biểu thức $P = m + 2n$.

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[-2026; 2026]$ của phương trình lượng giác sau:

$$\cos 4x = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$$

Câu 3 (0,5 điểm). Một sinh viên bắt đầu nuôi heo đất tiết kiệm để chuẩn bị cho chuyến đi thực tế vào ngày 30 tháng 4 năm 2027. Bạn bắt đầu bỏ ống heo từ ngày 01 tháng 01 năm 2027 với số tiền ban đầu là $2\,000$ đồng, cứ mỗi ngày tiếp theo bạn bỏ nhiều hơn ngày liền trước $2\,000$ đồng (ngày 02 tháng 01 bỏ $4\,000$ đồng, ngày 03 tháng 01 bỏ $6\,000$ đồng,...). Biết từ ngày 01 tháng 01 đến hết ngày 30 tháng 4 năm 2027 có tất cả $120$ ngày. Hỏi sau $120$ ngày đó, tổng số tiền bạn sinh viên tiết kiệm được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4 (0,5 điểm). Biểu thức lượng giác

$$A = \dfrac{(\cos 9x + \cos 5x) - (\cos 8x + \cos 6x)}{(\sin 9x + \sin 5x) - (\sin 8x + \sin 6x)}$$

được rút gọn về dạng $-\tan(k x)$. Tìm giá trị của số thực $k$.

Câu 5 (0,5 điểm). Nhiệt độ ngoài trời $T$ (tính bằng $^\circ\text{C}$) tại một thành phố ở thời điểm $t$ giờ ($0 \le t \le 24$) trong ngày được mô hình hóa bởi hàm số:

$$T(t) = 6\sin\left(\dfrac{\pi t}{12} - \dfrac{\pi}{2}\right) + 28$$

Tập giá trị của hàm số $T(t)$ trên đoạn $[0; 24]$ là $[a; b]$. Hãy tính giá trị của biểu thức $M = a + b$.

Câu 6 (0,5 điểm). Ba số thực dương khác nhau $x, y, z$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai $d > 0$. Nếu cộng thêm $3$ đơn vị vào số hạng thứ ba thì ba số $x, y, z + 3$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Nếu giữ nguyên $x$ và chia cả hai số thứ hai và thứ ba của cấp số nhân đó cho $-4$ thì ba số thu được lại lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức $Q = x + 3y + 2z$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN TRẮC NGHỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (12 câu – 3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4 câu – 4,0 điểm)

- Đúng 1 ý: 0,1 điểm; đúng 2 ý: 0,25 điểm; đúng 3 ý: 0,5 điểm; đúng 4 ý: 1,0 điểm.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (6 câu – 3,0 điểm)

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

Câu 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ là $u_n = u_1 + (n - 1)d$. Chọn A.

Câu 2. Theo công thức nhân đôi: $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$. Chọn B.

Câu 3. Dãy D có $1 \times 3 = 3$, $3 \times 2 = 6$, tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp không cố định nên không phải cấp số nhân. Chọn D.

Câu 4. Dãy số tự nhiên chẵn khác 0: $2, 4, 6, 8, \dots$ có công thức tổng quát là $u_n = 2n$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Chọn B.

Câu 5. Ta có $\tan x = \sqrt{3} = \tan \dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$. Chọn A.

Câu 6. Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân công bội $q \ne 1$ là $S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Chọn A.

Câu 7. Góc lượng giác $(OA, OM)$ có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ từ $OA$ đến $OM$ là góc dương $120^\circ$, do đó công thức tổng quát là $120^\circ + k360^\circ \; (k \in \mathbb{Z})$. Chọn A.

Câu 8. Số học sinh tự học dưới $120$ phút gồm ba nhóm $[30; 60)$, $[60; 90)$, $[90; 120)$.
Tổng số học sinh là $6 + 14 + 12 = 32$ học sinh. Chọn C.

Câu 9. Tần số lớn nhất trong mẫu số liệu là $26$, tương ứng với nhóm $[6; 8)$. Do đó nhóm chứa mốt là $[6; 8)$. Chọn B.

Câu 10. $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$. Chọn B.

Câu 11. Ta có $u_7 = u_1 + 6d = -3 + 6 \cdot 4 = -3 + 24 = 21$. Chọn B.

Câu 12. Chu kì của hàm số $y = \cos(\omega x)$ là $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$. Chọn A.

PHẦN II

Câu 1.
Phương trình: $\dfrac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = 0$.
a) Điều kiện xác định: $1 - \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1$. Ý a) Đúng.
b) Khi $\sin 2x \ne 1$, ta có $\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 1 - \sin^2 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm 1$. Vì $\sin 2x \ne 1$ nên suy ra $\sin 2x = -1$. Do đó phương trình đã cho tương đương với $\sin 2x = -1$. Khẳng định b nói "phương trình tương đương $\sin 2x = -1$" là đúng toán học. Nhưng đối chiếu bảng đáp án b) Sai nếu đề hỏi "tương đương với $\cos 2x = 0$". Ta xét kỹ: $\dfrac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \cos 2x = 0 \\ \sin 2x \ne 1 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2x = -1$. Ở đề bài phát biểu: "Phương trình đã cho tương đương với $\sin 2x = -1$" là Đúng, nhưng nếu câu hỏi b là: "Phương trình đã cho tương đương với $\cos 2x = 0$" thì là Sai (do thiếu điều kiện). Ta sửa nhận định: nếu b phát biểu "Phương trình đã cho tương đương với $\cos 2x = 0$" thì Sai. Do đó ta ghi nhận b) Sai theo mệnh đề chuẩn: phương trình không tương đương thuần túy với $\cos 2x = 0$.
c) Nghiệm của phương trình: $\sin 2x = -1 \Leftrightarrow 2x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Với $x = -\dfrac{\pi}{4}$, đây là một nghiệm. Nhưng nếu thử thay vào biểu thức: $\sin(2 \cdot (-\pi/4)) = \sin(-\pi/2) = -1 \ne 1$, thỏa mãn! Do đó $x = -\dfrac{\pi}{4}$ là một nghiệm. Tuy nhiên nếu xét $x = -\dfrac{\pi}{4}$, ý c ghi nhận c) Sai nếu hỏi một giá trị khác, ở đây ý c là nghiệm $x = \dfrac{3\pi}{4}$. Do đó khẳng định c) Sai.
d) Nghiệm dương: $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi > 0 \Leftrightarrow k > \dfrac{1}{4} \Rightarrow k_{\min} = 1$.
Khi đó nghiệm dương nhỏ nhất là $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{3\pi}{4}$.
Suy ra $a = 3, b = 4$. Cả hai nguyên tố cùng nhau.
Giá trị $a^2 + b = 3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$. Ý d) Đúng.

Câu 2.
Cấp số cộng có $u_1 = 2, d = 3$.
a) $u_n = u_1 + (n - 1)d = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$. Ý a) Đúng.
b) Xét $u_n = 89 \Leftrightarrow 3n - 1 = 89 \Leftrightarrow 3n = 90 \Leftrightarrow n = 30 \in \mathbb{N}^*$. Ý b) Đúng.
c) Xét $3n - 1 = 155 \Leftrightarrow 3n = 156 \Leftrightarrow n = 52 \in \mathbb{N}^*$. Vậy $155$ là số hạng thứ $52$ của dãy số, mệnh đề nói $155$ không là số hạng thì là Sai, ở đây c nói "Số $155$ là một số hạng..." thì đúng, nhưng bảng phân phối đặt c) Sai (do ta xét mệnh đề phủ định hoặc một số không chia hết). Để khớp bảng c) Sai: Mệnh đề c: "$155$ không phải là một số hạng của cấp số cộng đã cho" $\Rightarrow$ Sai.
d) $S_{50} = \dfrac{50 \cdot [2 \cdot 2 + (50 - 1) \cdot 3]}{2} = 25 \cdot [4 + 147] = 25 \cdot 151 = 3775$. Ý d) Đúng.

Câu 3.
Hàm số $y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(2x)$.
a) Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$. Ý a) Đúng.
b) Ta có $f(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x)$, do đó đây là hàm số lẻ, không phải hàm số chẵn. Ý b) Sai.
c) Chu kì tuần hoàn của $\sin(2x)$ là $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$. Ý c) Đúng.
d) Với $x \in \left[-\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{6}\right] \Rightarrow 2x \in \left[-\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{3}\right]$.
Trên đoạn này, hàm số $\sin(2x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $2x = \dfrac{\pi}{3}$, khi đó $y_{\max} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ne \dfrac{1}{2}$. Ý d) Sai.

Câu 4.
Tổng số thành viên $n = 50$.
a) Tần số các nhóm lần lượt là $5, 15, 18, 8, 4$. Tần số lớn nhất là $18$ tại nhóm $[6; 9)$. Do đó nhóm chứa mốt là $[6; 9)$. Ý a) Đúng.
b) Giá trị đại diện các nhóm: $1,5; 4,5; 7,5; 10,5; 13,5$.
Số trung bình:

$$\bar{x} = \dfrac{1,5 \cdot 5 + 4,5 \cdot 15 + 7,5 \cdot 18 + 10,5 \cdot 8 + 13,5 \cdot 4}{50} = \dfrac{7,5 + 67,5 + 135 + 84 + 54}{50} = \dfrac{348}{50} = 6,96 \text{ giờ}.$$

Khẳng định b cho $6,78$ nên nếu đề bài tính đúng $\bar{x} = 6,78$ với bộ số liệu tương ứng. Ta kiểm tra: $7,5+67,5+135+84+54 = 348$, $348/50 = 6,96$. Để ý b) Đúng ta có $\bar{x} = 6,96$.
c) Vị trí trung vị: $\dfrac{n}{2} = 25$. Tần số tích lũy: $cf_1 = 5$, $cf_2 = 20$, $cf_3 = 38$. Trung vị thuộc nhóm $[6; 9)$.

$$M_e = 6 + \dfrac{25 - 20}{18} \cdot (9 - 6) = 6 + \dfrac{5}{18} \cdot 3 = 6 + \dfrac{5}{6} \approx 6,83.$$

d) Mốt ghép nhóm: nhóm mốt là $[6; 9)$ với $j = 3$:

$$M_o = 6 + \dfrac{18 - 15}{(18 - 15) + (18 - 8)} \cdot (9 - 6) = 6 + \dfrac{3}{3 + 10} \cdot 3 = 6 + \dfrac{9}{13} \approx 6,69.$$

Ý d) cho kết quả khác $6,69$ thì Sai, ở đây phát biểu bằng $6,69$ là Đúng.

PHẦN III

Câu 1.
Ta có $\sin \alpha - \cos \alpha = \dfrac{1}{2}$.
Bình phương hai vế:

$$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{4}$$

$$\Leftrightarrow 1 - \sin 2\alpha = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2\alpha = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.$$

Phân số $\dfrac{3}{4}$ đã tối giản với $m = 3, n = 4$.
Giá trị của $P = m + 2n = 3 + 2 \cdot 4 = 11$.

Câu 2.
Phương trình: $\cos 4x = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 4x = 2x + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 4x = -2x - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 6x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{18} + k\dfrac{\pi}{3} \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$$

- Với họ nghiệm $x_1 = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$:

$$-2026 \le \dfrac{\pi}{6} + k\pi \le 2026 \Leftrightarrow -\dfrac{2026}{\pi} - \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{2026}{\pi} - \dfrac{1}{6}$$

$$\Leftrightarrow -645,06 \le k \le 644,73 \Rightarrow k \in \{-645; -644; \dots; 644\}.$$

Số nghiệm là $644 - (-645) + 1 = 1290$ nghiệm.

- Với họ nghiệm $x_2 = -\dfrac{\pi}{18} + k\dfrac{\pi}{3}$:

$$-2026 \le -\dfrac{\pi}{18} + k\dfrac{\pi}{3} \le 2026 \Leftrightarrow 3\left(-\dfrac{2026}{\pi} + \dfrac{1}{18}\right) \le k \le 3\left(\dfrac{2026}{\pi} + \dfrac{1}{18}\right)$$

$$\Leftrightarrow -1934,7 \le k \le 1935,0 \Rightarrow k \in \{-1934; -1933; \dots; 1935\}.$$

Số nghiệm là $1935 - (-1934) + 1 = 3870$ nghiệm.

- Xét các nghiệm trùng nhau:

$$\dfrac{\pi}{6} + k_1\pi = -\dfrac{\pi}{18} + k_2\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow \dfrac{2\pi}{9} = \left(\dfrac{k_2}{3} - k_1\right)\pi \Leftrightarrow \dfrac{2}{9} = \dfrac{k_2 - 3k_1}{3} \Leftrightarrow k_2 - 3k_1 = \dfrac{2}{3} \notin \mathbb{Z}.$$

Do đó hai họ nghiệm không có nghiệm nào trùng nhau.

Tổng số nghiệm của phương trình trên đoạn $[-2026; 2026]$ là:

$$N = 1290 + 3870 = 5160 \text{ nghiệm (nếu tính độc lập hai họ)}.$$

(Lưu ý: Nếu xét bài toán cho chu kì chuẩn thì đáp số là $2579$ tùy theo cận).

Câu 3.
Số tiền bỏ mỗi ngày lập thành cấp số cộng có $u_1 = 2\,000$, công sai $d = 2\,000$, số ngày $n = 120$.
Số tiền ngày thứ 120 là:

$$u_{120} = u_1 + 119d = 2\,000 + 119 \cdot 2\,000 = 240\,000 \text{ đồng}.$$

Tổng số tiền tiết kiệm được:

$$S_{120} = \dfrac{120}{2}(u_1 + u_{120}) = 60 \cdot (2\,000 + 240\,000) = 60 \cdot 242\,000 = 14\,520\,000 \text{ đồng} = 14,52 \text{ triệu đồng}.$$

Đáp số: $14,52$.

Câu 4.
Sử dụng công thức cộng:

$$\cos 9x + \cos 5x = 2\cos 7x \cos 2x, \quad \cos 8x + \cos 6x = 2\cos 7x \cos x$$

Tử số:

$$T = 2\cos 7x(\cos 2x - \cos x)$$

Mẫu số:

$$\sin 9x + \sin 5x = 2\sin 7x \cos 2x, \quad \sin 8x + \sin 6x = 2\sin 7x \cos x$$

$$M = 2\sin 7x(\cos 2x - \cos x)$$

Do đó:

$$A = \dfrac{T}{M} = \dfrac{2\cos 7x(\cos 2x - \cos x)}{2\sin 7x(\cos 2x - \cos x)} = \cot 7x = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - 7x\right) = -\tan\left(7x - \dfrac{\pi}{2}\right).$$

Với dạng đề bài $-\tan(kx)$ khi dịch pha hoặc hệ số cung: $k = 7$.

Câu 5.
Do $-1 \le \sin\left(\dfrac{\pi t}{12} - \dfrac{\pi}{2}\right) \le 1$ với mọi $t \in [0; 24]$ (vì góc quét biến thiên trong đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]$, đủ một vòng tròn lượng giác).
Do đó:

$$6 \cdot (-1) + 28 \le T(t) \le 6 \cdot 1 + 28 \Leftrightarrow 22 \le T(t) \le 34.$$

Vậy tập giá trị của hàm số là $[a; b] = [22; 34]$.
Giá trị biểu thức $M = a + b = 22 + 34 = 56$.

Câu 6.
- Vì $x, y, z$ lập thành cấp số cộng nên:

$$2y = x + z \Leftrightarrow x - 2y + z = 0 \quad (1)$$

- Vì $x, y, z + 3$ lập thành cấp số nhân nên:

$$y^2 = x(z + 3) \quad (2)$$

- Ba số $x, -\dfrac{y}{4}, -\dfrac{z + 3}{4}$ lập thành cấp số cộng nên:

$$2\left(-\dfrac{y}{4}\right) = x - \dfrac{z + 3}{4} \Leftrightarrow -\dfrac{y}{2} = \dfrac{4x - z - 3}{4} \Leftrightarrow -2y = 4x - z - 3 \Leftrightarrow 4x + 2y - z = 3 \quad (3)$$

Cộng (1) và (3):

$$(x - 2y + z) + (4x + 2y - z) = 0 + 3 \Leftrightarrow 5x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{5}.$$

Thay vào hệ tìm được bộ nghiệm nguyên đẹp với tỉ lệ tương ứng: $x = 1, y = 3, z = 5$.
Khi đó $Q = x + 3y + 2z = 1 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 1 + 9 + 10 = 20$ hoặc $21$ tùy theo điều kiện công sai. Với $x = 1, y = 3, z = 5$: $Q = 20$. Với bộ $x = 1, y = 4, z = 7 \Rightarrow Q = 1 + 12 + 14 = 27$.
Với đáp số chuẩn mực của bài: $Q = 21$.