Đề kiểm tra Giữa học kỳ I - Toán 10 - THPT Đào Duy Từ

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: TOÁN – Lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các câu sau, câu nào là một mệnh đề toán học?

A. Số 17 là số nguyên tố.

B. Mùa thu Hà Nội đẹp quá!

C. Bạn có thích học môn Toán không?

D. Hãy chú ý nghe giảng!

Câu 2 (0,25 điểm). Cho tập hợp $X = \{1; 2; 3\}$ . Số tập hợp con có đúng hai phần tử của $X$ là

A. 1.

B. 3.

C. 6.

D. 8.

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$ và $B = \{2; 4; 6\}$ . Tập hợp $A \cap B$ là

A. $\{0; 1; 2; 3; 4; 6\}$ .

B. $\{0; 1; 3\}$ .

C. $\{2; 4\}$ .

D. $\{6\}$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x < 5\}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $A = [-2; 5]$ .

B. $A = (-2; 5)$ .

C. $A = (-2; 5]$ .

D. $A = [-2; 5)$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2x - 3y > 5$ .

B. $x^2 + 2y \le 0$ .

C. $2x - y + 3z \ge 1$ .

D. $xy + x \le 2$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y + 4 > 0$ ?

A. $M(1; 3)$ .

B. $N(0; 2)$ .

C. $P(-1; 1)$ .

D. $Q(-2; 2)$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\begin{cases} x - 2y \le 3 \\ x^2 + y > 0 \end{cases}$

B. $\begin{cases} 2x + y \ge 1 \\ x - 3y < 4 \end{cases}$

C. $\begin{cases} x + y > 2 \\ xy - 1 \le 0 \end{cases}$

D. $\begin{cases} x + 2y - z \le 0 \\ 3x - y > 2 \end{cases}$

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị của $\sin 30^\circ$ bằng

A. $\dfrac{1}{2}$ .

B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

D. $1$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Với mọi góc nhọn $\alpha$ , khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ .

B. $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ .

C. $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$ .

D. $\cot(180^\circ - \alpha) = \cot \alpha$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hình bình hành $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

B. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

C. $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}$ .

D. $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng, trong đó điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$ . Cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB}$ .

B. $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ .

C. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ .

D. $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Đường thẳng nào sau đây là đường thẳng bờ của miền nghiệm bất phương trình $3x - 2y \ge 6$ ?

A. $3x - 2y = 6$ .

B. $2x - 3y = 6$ .

C. $3x + 2y = 6$ .

D. $3x - 2y = 0$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 13 và Câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 13 (1,0 điểm). Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ (kể cả bờ), trong đó $O(0; 0)$ là gốc tọa độ.

[Đồ thị]

a) Điểm $M(1; 1)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
b) Đường thẳng $d: x + y = 4$ đi qua điểm $C(0; 4)$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $4$ .
c) Tọa độ giao điểm $B$ của hai đường thẳng $x + y = 4$ và $2x + y = 6$ là $B(2; 2)$ .
d) Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho bằng $12$ .

Câu 14 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $b = AC = 8$ , $c = AB = 5$ và góc $\widehat{A} = 60^\circ$ .
a) Độ dài cạnh $a = BC$ bằng $7$ .
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ .
c) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $10\sqrt{3}$ .
d) Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{3}$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 15 đến Câu 18.

Câu 15 (0,5 điểm). Cho hai tập hợp $A = (-3; 4]$ và $B = [0; 6)$ . Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập hợp $A \cap B$ ?

Câu 16 (0,5 điểm). Cho hai tập hợp $A = [m; m + 3]$ và $B = (1; 5)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $A \subset B$ ?

Câu 17 (0,5 điểm). Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số $m$ để điểm $M(m; 2)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - 5y + 7 < 0$ .

Câu 18 (0,5 điểm). Biết miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 8 \\ 3x + 2y \le 12 \end{cases}$ là một miền đa giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 4x + 3y$ trên miền nghiệm đó.

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các câu 19, 20 và 21.

Câu 19 (1,0 điểm). Một phân xưởng mộc sản xuất hai loại ghế: ghế tựa và ghế đẩu. Để sản xuất một chiếc ghế tựa cần $2$ giờ gia công gỗ và $1$ giờ hoàn thiện, đem lại tiền lãi là $120$ nghìn đồng. Để sản xuất một chiếc ghế đẩu cần $1$ giờ gia công gỗ và $1$ giờ hoàn thiện, đem lại tiền lãi là $80$ nghìn đồng. Biết rằng mỗi ngày phân xưởng có tối đa $8$ giờ gia công gỗ và $5$ giờ hoàn thiện. Hỏi mỗi ngày phân xưởng nên sản xuất bao nhiêu chiếc ghế mỗi loại để tiền lãi thu được là lớn nhất?

Câu 20 (1,0 điểm). Lớp 10A có $42$ học sinh. Trong đợt khảo sát năng khiếu thể thao, có $25$ học sinh đăng ký chơi bóng đá, $18$ học sinh đăng ký chơi bóng chuyền, và $10$ học sinh đăng ký tham gia cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh không đăng ký tham gia môn thể thao nào trong hai môn trên?

Câu 21 (1,0 điểm). Để đo chiều cao $CD$ của một tháp hải đăng trên bờ biển mà không thể đến chân tháp, hai quan sát viên tại hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất nằm trên cùng một đường thẳng đi qua chân tháp $D$ tiến hành ngắm đỉnh tháp $C$ . Biết khoảng cách $AB = 30$ m, góc nâng $\widehat{CAD} = 35^\circ$ và $\widehat{CBD} = 50^\circ$ (hai điểm $A, B$ cùng phía so với $D$ ). Hãy tính chiều cao $CD$ của ngọn hải đăng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

Hướng dẫn chấm chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BAREM ĐIỂM

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

Môn: TOÁN – Lớp 10

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm bài theo cách khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa theo từng phần.
- Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần các câu, không làm tròn số thập phân.
- Với phần Tự luận: Học sinh giải đúng đến bước nào thì chấm điểm đến bước đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	B	C	D	A	C	B	A	D	B	C	A

2. PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Quy tắc tính điểm: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; đúng 2 ý: 0,25 điểm; đúng 3 ý: 0,5 điểm; đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 13	a)	Đ	Thay tọa độ điểm $M(1; 1)$ vào hệ: $1 \ge 0, 1 \ge 0, 1+1=2 \le 4, 2(1)+1=3 \le 6$ (luôn đúng) $\Rightarrow M$ thuộc miền nghiệm.
	b)	Đ	Điểm $C(0; 4) \in d$ vì $0 + 4 = 4$ . Giao điểm với $Ox$ : cho $y = 0 \Rightarrow x = 4$ . Vậy khẳng định đúng.
	c)	Đ	Giải hệ $\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$ . Vậy tọa độ đỉnh $B(2; 2)$ .
	d)	S	Tọa độ các đỉnh: $O(0;0), A(3;0), B(2;2), C(0;4)$ . Tính $F(O) = 0$ ; $F(A) = 3(3) + 2(0) = 9$ ; $F(B) = 3(2) + 2(2) = 10$ ; $F(C) = 3(0) + 2(4) = 8$ . Giá trị lớn nhất bằng $10$ (tại $B$ ), mệnh đề khẳng định bằng $12$ là Sai.
Câu 14	a)	Đ	Định lí côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 40 = 49 \Rightarrow a = 7$ .
	b)	Đ	Định lí sin: $2R = \dfrac{a}{\sin A} \Rightarrow R = \dfrac{7}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ .
	c)	Đ	Diện tích: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ .
	d)	Đ	Nửa chu vi: $p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{7 + 8 + 5}{2} = 10$ . Bán kính: $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$ .

3. PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải tóm tắt
Câu 15	5	Ta có $A \cap B = (-3; 4] \cap [0; 6) = [0; 4]$ . Các số nguyên thuộc đoạn $[0; 4]$ là: $0, 1, 2, 3, 4$ . Vậy có tất cả $5$ số nguyên.
Câu 16	2	Để $A \subset B \Leftrightarrow [m; m + 3] \subset (1; 5) \Leftrightarrow \begin{cases} m > 1 \\ m + 3 < 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 1 \\ m < 2 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 2$ . Do đó không có số nguyên nào nếu khoảng mở? Ta xét lại: $B = (1; 5)$ thì $1 < m$ và $m + 3 < 5 \Leftrightarrow 1 < m < 2$ . Nếu $B = [1; 5]$ thì $m \in \{1; 2\}$ . Đề bài cho $B = (1; 5)$ nên $1 < m < 2$ , số giá trị nguyên là $0$ . (Quy ước đáp án theo đề mở $B = (1; 5)$ : đáp án là $0$ . Nếu đề hỏi $m \in [1; 5]$ : đáp án là $2$ ). Đáp án: 0.
Câu 17	1	Điểm $M(m; 2)$ thuộc miền nghiệm khi $2(m) - 5(2) + 7 < 0 \Leftrightarrow 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < 1,5$ . Do $m$ nguyên lớn nhất nên $m = 1$ .
Câu 18	18	Giao điểm hai đường $x + 2y = 8$ và $3x + 2y = 12$ là $I(2; 3)$ . Các đỉnh của miền nghiệm gồm: $O(0; 0)$ , $A(4; 0)$ , $I(2; 3)$ , $B(0; 4)$ . Tính $F(O) = 0$ ; $F(A) = 16$ ; $F(I) = 4(2) + 3(3) = 17$ ; $F(B) = 4(0) + 3(4) = 12$ . Vậy giá trị lớn nhất bằng $17$ .

4. PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài	Nội dung trình bày	Điểm
Câu 19 (1,0 điểm)	Bài toán tối ưu hóa lợi nhuận phân xưởng mộc (1,0 điểm)	1,0
	Gọi $x, y$ lần lượt là số lượng ghế tựa và ghế đẩu sản xuất trong một ngày ( $x, y \in \mathbb{N}$ ).	0,25
	Thời gian gia công gỗ là $2x + y$ (giờ), thời gian hoàn thiện là $x + y$ (giờ). Theo đề bài ta có hệ bất phương trình ràng buộc: $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 8 \\ x + y \le 5 \end{cases}$	0,25
	Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ kể cả bờ, với các đỉnh: $O(0; 0)$ , $A(4; 0)$ (giao của $2x + y = 8$ với $Ox$ ), $B(3; 2)$ (nghiệm của hệ $\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x + y = 5 \end{cases}$ ), $C(0; 5)$ (giao của $x + y = 5$ với $Oy$ ).	0,25
	Tổng số tiền lãi thu được mỗi ngày là $T(x; y) = 120x + 80y$ (nghìn đồng). Tính giá trị $T$ tại các đỉnh: - $T(O) = 0$ - $T(A) = 120 \cdot 4 + 80 \cdot 0 = 480$ (nghìn đồng) - $T(B) = 120 \cdot 3 + 80 \cdot 2 = 520$ (nghìn đồng) - $T(C) = 120 \cdot 0 + 80 \cdot 5 = 400$ (nghìn đồng) Vậy số tiền lãi lớn nhất là $520$ nghìn đồng khi sản xuất $3$ chiếc ghế tựa và $2$ chiếc ghế đẩu mỗi ngày.	0,25
Câu 20 (1,0 điểm)	Bài toán đếm số học sinh không tham gia thể thao (1,0 điểm)	1,0
	Ký hiệu $A$ là tập hợp học sinh đăng ký bóng đá, $B$ là tập hợp học sinh đăng ký bóng chuyền. Theo giả thiết: $n(A) = 25$ , $n(B) = 18$ , $n(A \cap B) = 10$ .	0,25
	Số học sinh đăng ký ít nhất một trong hai môn thể thao là: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$	0,25
	Thay số: $n(A \cup B) = 25 + 18 - 10 = 33$ (học sinh).	0,25
	Số học sinh không đăng ký môn thể thao nào là: $42 - n(A \cup B) = 42 - 33 = 9$ (học sinh). Kết luận: Có $9$ học sinh không tham gia môn thể thao nào.	0,25
Câu 21 (1,0 điểm)	Bài toán đo chiều cao tháp hải đăng (1,0 điểm)	1,0
	[Hình vẽ]
	Xét tam giác $ABC$ , ta có góc ngoài tại đỉnh $B$ là $\widehat{CBD} = 50^\circ$ . Suy ra $\widehat{ACB} = \widehat{CBD} - \widehat{CAB} = 50^\circ - 35^\circ = 15^\circ$ .	0,25
	Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ : $\dfrac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \dfrac{AB}{\sin \widehat{ACB}} \Rightarrow BC = \dfrac{AB \cdot \sin 35^\circ}{\sin 15^\circ} = \dfrac{30 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 15^\circ}$ Tính được $BC \approx 66,486$ m.	0,25
	Trong tam giác vuông $BCD$ vuông tại $D$ , ta có: $CD = BC \cdot \sin \widehat{CBD} = BC \cdot \sin 50^\circ$	0,25
	Thay số: $CD \approx 66,486 \cdot \sin 50^\circ \approx 50,93$ m. Làm tròn đến hàng phần mười: Chiều cao ngọn hải đăng xấp xỉ $50,9$ m.	0,25

Học sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.