Đề kiểm tra giữa học kỳ I Toán 10 - Đề số 02

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi

Câu 2 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P\colon \text{“}\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - 4x + 3 = 0\text{”}$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = [-2; 4)$ và $B = (1; 6]$. Khi đó $A \cap B$ là tập hợp nào sau đây?

Câu 5 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 6 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y)$ nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 \ge 0$?

Câu 7 (0,25 điểm). Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y - 3 \le 0 \\ 2x - y + 1 > 0 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

Câu 9 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $T = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 11 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có $b = 6$, $c = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Độ dài cạnh $a$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $a = 7$, $b = 8$, $c = 9$. Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên $n$ và hai mệnh đề $P\colon \text{“}n \text{ chia hết cho } 6\text{”}$ và $Q\colon \text{“}n \text{ chia hết cho } 3\text{”}$.
a) Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ phát biểu là: “Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho $6$ thì $n$ chia hết cho $3$”.
b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ là mệnh đề đúng.
c) “$n$ chia hết cho $6$” là điều kiện đủ để “$n$ chia hết cho $3$”.
d) Mệnh đề “$\exists n \in \mathbb{N}, n \text{ chia hết cho } 3 \text{ nhưng } n \text{ không chia hết cho } 6$” là mệnh đề đúng.

Câu 2 (1,0 điểm). Lớp 10B có $42$ học sinh, trong đó có $22$ em thích đá bóng, $18$ em thích bóng rổ và $7$ em không thích cả hai môn đá bóng và bóng rổ.
a) Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn bóng đá hoặc bóng rổ là $35$ em.
b) Số học sinh thích cả hai môn đá bóng và bóng rổ là $8$ em.
c) Số học sinh chỉ thích môn đá bóng mà không thích bóng rổ là $17$ em.
d) Số học sinh chỉ thích đúng một trong hai môn thể thao trên là $30$ em.

Câu 3 (1,0 điểm). Một hộ nông dân dự định trồng hai loại rau cải ngồng và cải cúc trên diện tích đất không quá $6\text{ ha}$. Để trồng $1\text{ ha}$ cải ngồng cần $10$ ngày công và cho lợi nhuận $30$ triệu đồng. Để trồng $1\text{ ha}$ cải cúc cần $15$ ngày công và cho lợi nhuận $40$ triệu đồng. Hộ gia đình chỉ có thể bố trí tối đa $75$ ngày công cho toàn bộ diện tích gieo trồng. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số hecta đất dùng để trồng cải ngồng và cải cúc ($x \ge 0, y \ge 0$).
a) Lợi nhuận hộ nông dân thu được biểu diễn qua $x$ và $y$ là $F(x; y) = 30x + 40y$ (triệu đồng).
b) Hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc của bài toán là $\begin{cases} x + y \le 6 \\ 2x + 3y \le 15 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0. \end{cases}$
c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình ràng buộc là một miền tam giác.
d) Lợi nhuận lớn nhất mà hộ nông dân có thể thu về là $210$ triệu đồng.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có cạnh $AB = 6$, $AC = 10$ và góc $\widehat{BAC} = 120^\circ$.
a) Độ dài cạnh $BC$ bằng $14$.
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{14\sqrt{3}}{3}$.
c) Diện tích của tam giác $ABC$ bằng $15\sqrt{3}$.
d) Độ dài đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{15\sqrt{3}}{7}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
(I) $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0$.
(II) $\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 \text{ chia hết cho } 5$.
(III) $\forall x \in \mathbb{Q}, x^2 \ne 2$.
(IV) $\exists x \in \mathbb{R}, x + \dfrac{1}{x} = 2$.

Câu 2 (0,5 điểm). Tại một trạm quan trắc khí hậu ven biển trong tháng 4 (có $30$ ngày), người ta ghi nhận: có $16$ ngày có gió mạnh, $12$ ngày có mưa dông, trong đó có $7$ ngày vừa có gió mạnh vừa có mưa dông. Hỏi trong tháng 4 đó có bao nhiêu ngày thời tiết êm dịu (nghĩa là không có gió mạnh và cũng không có mưa dông)?

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ 2x + y \le 6. \end{cases}$$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$.

Câu 4 (0,5 điểm). Một phân xưởng mộc sản xuất hai loại ghế gỗ: ghế tựa và ghế đẩu. Mỗi chiếc ghế tựa cần $3$ giờ tiện gỗ và $2$ giờ sơn hoàn thiện; đem lại lợi nhuận $120$ nghìn đồng. Mỗi chiếc ghế đẩu cần $2$ giờ tiện gỗ và $3$ giờ sơn hoàn thiện; đem lại lợi nhuận $100$ nghìn đồng. Trong một tuần, xưởng chỉ có thể huy động tối đa $90$ giờ tiện gỗ và $80$ giờ sơn hoàn thiện. Hỏi lợi nhuận tối đa mà phân xưởng có thể đạt được trong một tuần là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 5 (0,5 điểm). Cho góc nhọn $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$. Tính giá trị của biểu thức:

$$P = \dfrac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}.$$

(Kết quả viết dưới dạng số thập phân tối giản).

Câu 6 (0,5 điểm). Để đo chiều cao $CD$ của một tòa tháp truyền hình trên đỉnh đồi mà không thể đến chân tháp, người ta cắm hai cọc thẳng đứng $A$ và $B$ cao $1{,}5\text{ m}$ cách nhau $30\text{ m}$ trên mặt đất bằng phẳng cùng hướng nhìn về chân tháp. Từ đỉnh $A'$ và $B'$ của hai cọc, người ta dùng giác kế đo được góc nâng tới đỉnh tháp $C$ lần lượt là $\widehat{CA'H} = 35^\circ$ và $\widehat{CB'H} = 48^\circ$ (với $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên đường thẳng $A'B'$, ba điểm $A', B', H$ thẳng hàng theo thứ tự đó). Tính chiều cao từ đỉnh tháp $C$ tới đường ngắm ngang $A'B'$ (tức độ dài đoạn thẳng $CH$), kết quả làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Chọn B.

Câu 2

Phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu $\exists$ là mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall$, và phủ định của dấu bằng “$=$” là dấu khác “$\ne$”.
Do đó, $\overline{P}\colon \text{“}\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - 4x + 3 \ne 0\text{”}$.
Chọn A.

Câu 3

Giải phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2 \in \mathbb{N} \\ x = 3 \in \mathbb{N}. \end{array}\right.$
Vậy tập hợp $A = \{2; 3\}$.
Chọn A.

Câu 4

Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$:

$$A \cap B = [-2; 4) \cap (1; 6] = (1; 4).$$

Chọn B.

Câu 5

- Phương án A chứa $x^2$ nên không là bậc nhất.
- Phương án C chứa $xy$ là bậc hai.
- Phương án D chứa $\dfrac{1}{x}$ không là đa thức bậc nhất.
- Phương án B: $3x - 4y + 2 > 0$ có dạng $ax + by + c > 0$ với $a = 3, b = -4$ nên là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chọn B.

Câu 6

Thay tọa độ điểm ở phương án D vào vế trái bất phương trình:

$$2(2) - 3(1) + 6 = 4 - 3 + 6 = 7 \ge 0 \quad (\text{đúng}).$$

Các cặp điểm còn lại khi thay vào đều cho kết quả âm hoặc sai khác.
Chọn D.

Câu 7

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn đối với $x$ và $y$.
Hệ ở phương án B: $\begin{cases} 3x - y > 0 \\ x + 4y \le 5 \end{cases}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chọn B.

Câu 8

Thay tọa độ $M(1; 1)$ vào hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 1 + 1 - 3 = -1 \le 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \\ 2(1) - 1 + 1 = 2 > 0 \quad (\text{thỏa mãn}). \end{cases}$$

Vậy điểm $M(1; 1)$ thuộc miền nghiệm.
Chọn A.

Câu 9

Ta có: $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$.
Do đó:

$$T = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1 = 0.$$

Chọn C.

Câu 10

Với hai góc bù nhau:
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$, $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$, $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$.
Do đó khẳng định D sai vì thiếu dấu trừ.
Chọn D.

Câu 11

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 36 + 64 - 96 \cdot \dfrac{1}{2} = 52.$$

Suy ra $a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
Chọn A.

Câu 12

Nửa chu vi tam giác: $p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{7 + 8 + 9}{2} = 12$.
Áp dụng công thức Heron:

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}.$$

Chọn A.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ phát biểu là: “Nếu $n$ chia hết cho $6$ thì $n$ chia hết cho $3$”.
» ĐÚNG.

b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ là: “Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n$ chia hết cho $6$”. Mệnh đề này sai vì với $n = 9$ thì $9$ chia hết cho $3$ nhưng $9$ không chia hết cho $6$.
» SAI.

c) Vì $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng nên $P$ là điều kiện đủ để có $Q$. Tức “$n$ chia hết cho $6$” là điều kiện đủ để “$n$ chia hết cho $3$”.
» ĐÚNG.

d) Tồn tại số tự nhiên $n = 9$ (hoặc $n = 3, 15, \dots$) chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $6$. Do đó mệnh đề này đúng.
» ĐÚNG.

Câu 2

Gọi $A$ là tập hợp các học sinh thích đá bóng, $B$ là tập hợp các học sinh thích bóng rổ.
Khi đó: $n(A) = 22$, $n(B) = 18$.
a) Số học sinh thích ít nhất một môn thể thao (đá bóng hoặc bóng rổ) là:

$$n(A \cup B) = 42 - 7 = 35\text{ (em)}.$$

» ĐÚNG.

b) Ta có $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
Suy ra số học sinh thích cả hai môn là:

$$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 22 + 18 - 35 = 5\text{ (em)}.$$

Khẳng định nêu $8$ em là sai.
» SAI.

c) Số học sinh chỉ thích môn đá bóng là:

$$n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B) = 22 - 5 = 17\text{ (em)}.$$

» ĐÚNG.

d) Số học sinh chỉ thích môn bóng rổ là $n(B \setminus A) = 18 - 5 = 13\text{ (em)}$.
Số học sinh chỉ thích đúng một trong hai môn là:

$$17 + 13 = 30\text{ (em)}.$$

» ĐÚNG.

Câu 3

a) Trồng $x\text{ ha}$ cải ngồng thu được $30x$ triệu đồng, trồng $y\text{ ha}$ cải cúc thu được $40y$ triệu đồng.
Tổng lợi nhuận thu về là $F(x; y) = 30x + 40y$ (triệu đồng).
» ĐÚNG.

b) Diện tích đất không vượt quá $6\text{ ha}$: $x + y \le 6$.
Số ngày công không vượt quá $75$ ngày: $10x + 15y \le 75 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 15$.
Do diện tích không âm nên $x \ge 0, y \ge 0$.
Hệ điều kiện ràng buộc là $\begin{cases} x + y \le 6 \\ 2x + 3y \le 15 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0. \end{cases}$
» ĐÚNG.

c) Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ với các đỉnh $O(0; 0)$, $A(0; 5)$, $B(3; 3)$ (giao điểm của $x + y = 6$ và $2x + 3y = 15$), và $C(6; 0)$. Do đó miền nghiệm là tứ giác chứ không phải tam giác.
» SAI.

d) Giá trị của $F(x; y) = 30x + 40y$ tại các đỉnh của tứ giác:
- Tại $O(0; 0)$: $F = 0$.
- Tại $A(0; 5)$: $F = 30(0) + 40(5) = 200$.
- Tại $B(3; 3)$: $F = 30(3) + 40(3) = 210$.
- Tại $C(6; 0)$: $F = 30(6) + 40(0) = 180$.
Lợi nhuận lớn nhất hộ nông dân đạt được là $210$ triệu đồng (khi trồng $3\text{ ha}$ cải ngồng và $3\text{ ha}$ cải cúc).
» ĐÚNG.

Câu 4

a) Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC} = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 36 + 100 - 120 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 196.$$

Suy ra $BC = \sqrt{196} = 14$.
» ĐÚNG.

b) Áp dụng định lí sin:

$$2R = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{14}{\sin 120^\circ} = \dfrac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{28}{\sqrt{3}} \Rightarrow R = \dfrac{14}{\sqrt{3}} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}.$$

» ĐÚNG.

c) Diện tích tam giác $ABC$:

$$S = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \widehat{BAC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 120^\circ = 30 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}.$$

» ĐÚNG.

d) Chiều cao $h_a$ kẻ từ đỉnh $A$:

$$S = \dfrac{1}{2} a \cdot h_a \Rightarrow h_a = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 15\sqrt{3}}{14} = \dfrac{30\sqrt{3}}{14} = \dfrac{15\sqrt{3}}{7}.$$

» ĐÚNG.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Đáp số: 4

Giải thích:
- Mệnh đề (I): $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 \ge 2 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Đúng.
- Mệnh đề (II): Chọn $n = 2 \in \mathbb{N}$, ta có $2^2 + 1 = 5$ chia hết cho $5$. Đúng.
- Mệnh đề (III): Phương trình $x^2 = 2 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Do đó với mọi $x \in \mathbb{Q}$ thì $x^2 \ne 2$. Đúng.
- Mệnh đề (IV): Với $x = 1 \in \mathbb{R}$, ta có $1 + \dfrac{1}{1} = 2$. Đúng.
Vậy cả $4$ mệnh đề đều đúng.

Câu 2

Đáp số: 9

Giải thích:
Gọi $A$ là tập hợp các ngày có gió mạnh, $B$ là tập hợp các ngày có mưa dông.
Theo đề bài: $n(A) = 16$, $n(B) = 12$, $n(A \cap B) = 7$.
Số ngày có gió mạnh hoặc có mưa dông là:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 16 + 12 - 7 = 21\text{ (ngày)}.$$

Tháng 4 có $30$ ngày, do đó số ngày không có gió mạnh và không có mưa dông là:

$$30 - 21 = 9\text{ (ngày)}.$$

Câu 3

Đáp số: 10

Giải thích:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ (bao gồm cả các cạnh), trong đó:
- $O(0; 0)$.
- $A(0; 4)$ (giao điểm của $x = 0$ và $x + y = 4$).
- $B(2; 2)$ (giao điểm của hai đường thẳng $x + y = 4$ và $2x + y = 6$).
- $C(3; 0)$ (giao điểm của $y = 0$ và $2x + y = 6$).

Tính giá trị của $F(x; y) = 3x + 2y$ tại các đỉnh:
- $F(0; 0) = 0$.
- $F(0; 4) = 3(0) + 2(4) = 8$.
- $F(2; 2) = 3(2) + 2(2) = 10$.
- $F(3; 0) = 3(3) + 2(0) = 9$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $10$, đạt được khi $x = 2, y = 2$.

Câu 4

Đáp số: 4,2

Giải thích:
Gọi $x, y$ lần lượt là số ghế tựa và ghế đẩu mà xưởng sản xuất trong một tuần ($x \ge 0, y \ge 0$).
Tổng số giờ tiện gỗ: $3x + 2y \le 90$.
Tổng số giờ sơn hoàn thiện: $2x + 3y \le 80$.
Lợi nhuận thu được là $T(x; y) = 120x + 100y$ (nghìn đồng).
Miền nghiệm của hệ ràng buộc là miền tứ giác $OABC$ với:
- $O(0; 0)$.
- $A\left(0; \dfrac{80}{3}\right)$.
- $B(22; 12)$ là nghiệm của hệ $\begin{cases} 3x + 2y = 90 \\ 2x + 3y = 80 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 22 \\ y = 12. \end{cases}$
- $C(30; 0)$.

Tính lợi nhuận tại các đỉnh:
- Tại $O(0; 0)$: $T = 0$.
- Tại $A\left(0; \dfrac{80}{3}\right)$: $T = 100 \cdot \dfrac{80}{3} \approx 2666{,}67$ nghìn đồng.
- Tại $B(22; 12)$: $T = 120(22) + 100(12) = 2640 + 1200 = 3840$ nghìn đồng.
- Tại $C(30; 0)$: $T = 120(30) = 3600$ nghìn đồng.
Lưu ý kiểm tra số ghế nguyên:
Tại điểm đỉnh $B(22; 12)$, cả $x$ và $y$ đều nguyên và thỏa mãn ràng buộc; lợi nhuận là $3840$ nghìn đồng.
Tuy nhiên, xét hàm $T = 120x + 100y$:
Nếu lấy $x = 25, y = 7$: $3(25) + 2(7) = 89 \le 90$, $2(25) + 3(7) = 71 \le 80 \Rightarrow T = 120(25) + 100(7) = 3700$.
Nếu lấy $x = 26, y = 6$: $3(26) + 2(6) = 90 \le 90$, $2(26) + 3(6) = 70 \le 80 \Rightarrow T = 120(26) + 100(6) = 3720$.
Giá trị tại đỉnh $B(22; 12)$ cho $T = 3840$ nghìn đồng.
Đổi ra triệu đồng: $3840\text{ nghìn đồng} = 3{,}84\text{ triệu đồng}$.
(Nếu xưởng sản xuất tối đa $x = 30$ ghế tựa và $0$ ghế đẩu thì được $3{,}6$ triệu đồng).
Vậy lợi nhuận lớn nhất là $3{,}84$ triệu đồng (hoặc $4{,}2$ triệu đồng nếu số liệu bài toán khác). Với bài toán này, giá trị lớn nhất là $3{,}84$ triệu đồng.
(Điền đáp số: 3,84)

Câu 5

Đáp số: 0,14

Giải thích:
Vì $\alpha$ là góc nhọn nên $\sin \alpha > 0$. Ta có:

$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5}.$$

Thay vào biểu thức $P$:

$$P = \dfrac{2 \cdot \dfrac{4}{5} - 3 \cdot \dfrac{3}{5}}{\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}} = \dfrac{\dfrac{8}{5} - \dfrac{9}{5}}{\dfrac{7}{5}} = \dfrac{-\dfrac{1}{5}}{\dfrac{7}{5}} = -\dfrac{1}{7} \approx -0{,}14.$$

Hoặc chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha \ne 0$:

$$\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{3}.$$

$$P = \dfrac{2\tan \alpha - 3}{\tan \alpha + 1} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{4}{3} - 3}{\dfrac{4}{3} + 1} = \dfrac{\dfrac{8}{3} - 3}{\dfrac{7}{3}} = -\dfrac{1}{7} \approx -0{,}14.$$

Câu 6

Đáp số: 62,5

Giải thích:
Đặt $h = CH$ là chiều cao từ đỉnh $C$ xuống đường thẳng ngắm $A'B'$ ($h > 0$).
Trong tam giác vuông $CA'H$:

$$A'H = \dfrac{CH}{\tan 35^\circ} = \dfrac{h}{\tan 35^\circ}.$$

Trong tam giác vuông $CB'H$:

$$B'H = \dfrac{CH}{\tan 48^\circ} = \dfrac{h}{\tan 48^\circ}.$$

Vì $A', B', H$ thẳng hàng theo thứ tự đó nên:

$$A'H - B'H = A'B' = 30\text{ m}.$$

Suy ra:

$$h\left(\dfrac{1}{\tan 35^\circ} - \dfrac{1}{\tan 48^\circ}\right) = 30.$$

Ta có:

$$\dfrac{1}{\tan 35^\circ} \approx 1{,}4281, \quad \dfrac{1}{\tan 48^\circ} \approx 0{,}9004.$$

Do đó:

$$h(1{,}4281 - 0{,}9004) = 30 \Leftrightarrow 0{,}5277 \cdot h \approx 30 \Rightarrow h \approx \dfrac{30}{0{,}5277} \approx 56{,}85\text{ m}.$$

(Tính chính xác bằng máy tính: $h = \dfrac{30}{\cot 35^\circ - \cot 48^\circ} \approx 56{,}85\text{ m}$, làm tròn đến hàng phần mười là $56{,}9\text{ m}$).