ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I TOÁN 10

SỞ GD&ĐT ....................

TRƯỜNG THPT ....................

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn: Toán – Lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P: \text{“}\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0\text{”}$ là

A. $\overline{P}: \text{“}\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0\text{”}.$

B. $\overline{P}: \text{“}\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0\text{”}.$

C. $\overline{P}: \text{“}\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0\text{”}.$

D. $\overline{P}: \text{“}\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0\text{”}.$

Câu 2 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 4\}$ . Tập hợp $A$ viết dưới dạng liệt kê các phần tử là

A. $A = \{1; 2; 3; 4\}$ .

B. $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$ .

C. $A = \{0; 1; 2; 3\}$ .

D. $A = \{1; 2; 3\}$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hai tập hợp $A = (-2; 3]$ và $B = [1; 5)$ . Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là

A. $A \cap B = (-2; 5)$ .

B. $A \cap B = (1; 3]$ .

C. $A \cap B = [1; 3]$ .

D. $A \cap B = [1; 3)$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình $2x + y - 3 > 0$ ?

A. $(1; 0)$ .

B. $(0; 2)$ .

C. $(2; 1)$ .

D. $(-1; 3)$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \end{cases}$ ?

A. $(1; 2)$ .

B. $(0; 0)$ .

C. $(2; 1)$ .

D. $(-1; 1)$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Giá trị của $\sin 150^\circ$ bằng

A. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

C. $-\dfrac{1}{2}$ .

D. $\dfrac{1}{2}$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây là sai đối với góc $\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)$ ?

A. $\sin \alpha > 0$ .

B. $\cos \alpha < 0$ .

C. $\tan \alpha > 0$ .

D. $\cot \alpha < 0$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB = c$ , $BC = a$ , $CA = b$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ .

B. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$ .

C. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \sin A$ .

D. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \sin A$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC = 6$ và $\widehat{A} = 30^\circ$ . Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

A. $3$ .

B. $6$ .

C. $12$ .

D. $6\sqrt{3}$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ có $a = 4$ , $b = 5$ và $\widehat{C} = 60^\circ$ bằng

A. $5\sqrt{3}$ .

B. $10\sqrt{3}$ .

C. $5$ .

D. $10$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $a = 13$ , $b = 14$ , $c = 15$ . Nửa chu vi $p$ của tam giác bằng

A. $21$ .

B. $42$ .

C. $28$ .

D. $14$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2x^2 + 3y \le 5$ .

B. $2x - 3y + z > 0$ .

C. $3x - 4y + 1 \ge 0$ .

D. $xy + 2x - 1 < 0$ .

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai tập hợp $A = [-3; 2)$ và $B = (0; 4]$ .
a) Tập hợp $A \cap B = (0; 2)$ .
b) Tập hợp $A \cup B = [-3; 4]$ .
c) Tập hợp $A \setminus B = [-3; 0]$ .
d) Cho tập hợp $C = [m; m + 2]$ . Có đúng 5 giá trị nguyên của tham số $m$ để $A \cap C = \emptyset$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $a = 7$ , $b = 8$ , $c = 5$ .
a) Góc $\widehat{A}$ của tam giác $ABC$ bằng $60^\circ$ .
b) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $10\sqrt{3}$ .
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ .
d) Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{3}$ .

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Lớp 10A có $42$ học sinh đăng ký tham gia phong trào thể thao của trường. Trong đó có $22$ học sinh đăng ký môn Cầu lông, $18$ học sinh đăng ký môn Bóng bàn và $8$ học sinh đăng ký cả hai môn này. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh không đăng ký tham gia môn nào trong hai môn trên?

Câu 2 (0,5 điểm). Một xưởng sản xuất cần sử dụng hai loại phụ gia A và B để pha chế hai loại sơn là sơn bóng và sơn lót. Để sản xuất một thùng sơn bóng cần $2\text{ kg}$ phụ gia A và $1\text{ kg}$ phụ gia B. Để sản xuất một thùng sơn lót cần $1\text{ kg}$ phụ gia A và $3\text{ kg}$ phụ gia B. Trong kho hiện có tối đa $16\text{ kg}$ phụ gia A và $18\text{ kg}$ phụ gia B. Mỗi thùng sơn bóng bán ra mang lại lợi nhuận $300$ nghìn đồng, mỗi thùng sơn lót mang lại lợi nhuận $400$ nghìn đồng. Hỏi lợi nhuận cao nhất mà xưởng có thể đạt được là bao nhiêu nghìn đồng (giả sử lượng sơn sản xuất đều được bán hết)?

Câu 3 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức $P = \sin^2 2^\circ + \sin^2 4^\circ + \sin^2 6^\circ + \dots + \sin^2 88^\circ + \sin^2 90^\circ$ .

Câu 4 (0,5 điểm). Một trạm quan sát bờ biển $A$ theo dõi hai tàu cá $B$ và $C$ đang neo đậu trên biển. Người ta đo được khoảng cách $AB = 15\text{ km}$ , $AC = 20\text{ km}$ và góc nhìn $\widehat{BAC} = 120^\circ$ . Tính khoảng cách từ trạm $A$ đến đường thẳng nối hai tàu $B, C$ theo đơn vị ki-lô-mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các câu hỏi sau:

Câu 1 (1,0 điểm).
Cho hai tập hợp $A = [-4; 2)$ và $B = (-1; 5]$ . Xác định các tập hợp $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ và $B \setminus A$ .

Câu 2 (1,0 điểm).
Cho $\cos \alpha = -\dfrac{3}{5}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ . Tính $\sin \alpha$ , $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$ .

Câu 3 (1,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = 4$ , $b = 4\sqrt{3}$ và góc $\widehat{C} = 30^\circ$ . Tính độ dài cạnh $c$ , số đo góc $\widehat{B}$ và diện tích tam giác $ABC$ .

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Nếu học sinh giải theo cách khác đúng với chương trình hiện hành thì vẫn cho điểm tối đa theo từng phần.
- Điểm toàn bài là tổng điểm các phần, không làm tròn số thập phân.

B. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (12 câu $\times$ 0,25 điểm = 3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	B	C	C	B	D	C	A	B	A	A	C

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2 câu = 2,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý: 0,10 điểm; Đúng 2 ý: 0,25 điểm; Đúng 3 ý: 0,50 điểm; Đúng cả 4 ý: 1,00 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn ngắn
1	a)	Đ	$A \cap B = [-3; 2) \cap (0; 4] = (0; 2)$ .
	b)	Đ	$A \cup B = [-3; 2) \cup (0; 4] = [-3; 4]$ .
	c)	S	$A \setminus B = [-3; 2) \setminus (0; 4] = [-3; 0]$ . (Ý c đúng nên đáp án là Đúng; khẳng định đề ghi $[-3; 0]$ là Đúng, do $0 \notin B$ nên $0 \in A \setminus B$ ).
	d)	S	$A \cap C = \emptyset \Leftrightarrow m + 2 < -3$ hoặc $m \ge 2 \Leftrightarrow m < -5$ hoặc $m \ge 2$ . Số giá trị nguyên là vô số.
2	a)	Đ	$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{64 + 25 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A} = 60^\circ$ .
	b)	Đ	$S = \dfrac{1}{2}bc \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 10\sqrt{3}$ .
	c)	Đ	$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{7}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ .
	d)	Đ	$p = \dfrac{7 + 8 + 5}{2} = 10 \Rightarrow r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$ .

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (4 câu $\times$ 0,5 điểm = 2,0 điểm)

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải
1	10	Số học sinh đăng ký ít nhất một trong hai môn Cầu lông hoặc Bóng bàn là: $22 + 18 - 8 = 32$ (học sinh). Số học sinh không đăng ký tham gia môn nào là: $42 - 32 = 10$ (học sinh).
2	3400	Gọi $x, y$ lần lượt là số thùng sơn bóng và sơn lót mà xưởng sản xuất ( $x \ge 0, y \ge 0$ ). Hệ bất phương trình ràng buộc lượng phụ gia là: $\begin{cases} x \ge 0,\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 16 \text{ (phụ gia A)} \\ x + 3y \le 18 \text{ (phụ gia B)} \end{cases}$ Lợi nhuận thu được biểu diễn bởi: $F(x; y) = 300x + 400y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với toạ độ các đỉnh: $O(0; 0)$ , $A(8; 0)$ , $B(6; 4)$ , $C(0; 6)$ . Tính giá trị $F(x; y)$ tại các đỉnh: $F(O) = 0$ ; $F(A) = 2400$ ; $F(B) = 3400$ ; $F(C) = 2400$ . Vậy lợi nhuận lớn nhất xưởng đạt được là $3400$ nghìn đồng (khi sản xuất $6$ thùng sơn bóng và $4$ thùng sơn lót).
3	23	Vì hai góc $x$ và $90^\circ - x$ phụ nhau nên $\sin(90^\circ - x) = \cos x$ , do đó $\sin^2 x + \sin^2(90^\circ - x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Biểu thức gồm $45$ số hạng. Nhóm các cặp góc có tổng bằng $90^\circ$ : $P = (\sin^2 2^\circ + \sin^2 88^\circ) + (\sin^2 4^\circ + \sin^2 86^\circ) + \dots + (\sin^2 44^\circ + \sin^2 46^\circ) + \sin^2 90^\circ$ . Tổng cộng có $22$ cặp có tổng bằng $1$ và số hạng $\sin^2 90^\circ = 1$ : $P = 22 \cdot 1 + 1 = 23$ .
4	8,5	Áp dụng định lí côsin trong $\triangle ABC$ : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC}}$ $= \sqrt{15^2 + 20^2 - 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ} = \sqrt{225 + 400 + 300} = \sqrt{925} \approx 30{,}41\text{ km}$ . Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat{BAC} = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 \cdot \sin 120^\circ = 75\sqrt{3} \approx 129{,}90\text{ km}^2$ . Khoảng cách từ trạm $A$ đến đường thẳng $BC$ chính là chiều cao $h_a$ kẻ từ $A$ : $h_a = \dfrac{2S}{BC} \approx \dfrac{2 \cdot 129{,}90}{30{,}41} \approx 8{,}54 \approx 8{,}5\text{ km}$ .

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài	Nội dung	Điểm
1	Các phép toán trên tập hợp (1,0 điểm)	1,0
	Xác định giao của hai tập hợp: $A \cap B = (-1; 2)$ .	0,25
	Xác định hợp của hai tập hợp: $A \cup B = [-4; 5]$ .	0,25
	Xác định hiệu $A \setminus B$ : $A \setminus B = [-4; -1]$ .	0,25
	Xác định hiệu $B \setminus A$ : $B \setminus A = [2; 5]$ .	0,25
2	Giá trị lượng giác của một góc (1,0 điểm)	1,0
	Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\sin \alpha > 0$ .	0,25
	Áp dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ , ta có: $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{4}{5}$ .	0,25
	Tính $\tan \alpha$ : $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\dfrac{4}{5}}{-\dfrac{3}{5}} = -\dfrac{4}{3}$ .	0,25
	Tính $\cot \alpha$ : $\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha} = -\dfrac{3}{4}$ .	0,25
3	Giải tam giác và tính diện tích (1,0 điểm)	1,0
	Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ : $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$ . $c^2 = 16 + 48 - 32\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 64 - 48 = 16 \Rightarrow c = 4$ .	0,5
	Do $c = a = 4$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ . Suy ra $\widehat{A} = \widehat{C} = 30^\circ \Rightarrow \widehat{B} = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$ .	0,25
	Tính diện tích tam giác $ABC$ : $S = \dfrac{1}{2}ab \sin C = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = 4\sqrt{3}$ .	0,25

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (12 câu ×\times 0,25 điểm = 3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2 câu = 2,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (4 câu ×\times 0,5 điểm = 2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 10

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (12 câu $\times$ 0,25 điểm = 3,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (4 câu $\times$ 0,5 điểm = 2,0 điểm)