Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán lớp 11 - Năm học 2026

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 102

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ .

B. $\sin(-\alpha) = \sin\alpha$ .

C. $\tan(-\alpha) = \tan\alpha$ .

D. $\cot(-\alpha) = \cot\alpha$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Trên đường tròn có bán kính $R = 6\text{ cm}$ , tính độ dài của cung tròn có số đo bằng $1,5\text{ rad}$ .

A. $4\text{ cm}$ .

B. $9\text{ cm}$ .

C. $12\text{ cm}$ .

D. $7,5\text{ cm}$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Công thức nào sau đây sai?

A. $\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$ .

B. $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ .

C. $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ .

D. $\cos(a - b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \sin 3x$ là

A. $D = \mathbb{R}$ .

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{6} + k\dfrac{\pi}{3} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\dfrac{\pi}{3} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Hàm số $y = \cos 4x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì là

A. $2\pi$ .

B. $\dfrac{\pi}{2}$ .

C. $\pi$ .

D. $4\pi$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị trên đoạn $[-\pi; \pi]$ như hình vẽ dưới đây:

[Đồ thị]

Đồ thị trên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $y = \sin x$ .

B. $y = \cos x$ .

C. $y = \tan x$ .

D. $y = \cot x$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \dfrac{3n^2 - 2}{n^2 + 1}$ . Giá trị của số hạng $u_3$ bằng

A. $u_3 = \dfrac{7}{2}$ .

B. $u_3 = \dfrac{25}{10}$ .

C. $u_3 = \dfrac{5}{2}$ .

D. $u_3 = \dfrac{13}{5}$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

A. $2; 2; 2; 2; \dots$

B. $3; 1; -1; -3; \dots$

C. $1; 4; 7; 10; \dots$

D. $10; 5; 0; -5; \dots$

Câu 9 (0,25 điểm). Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $u_n = 3n - 1$ .

B. $u_n = 2^n$ .

C. $u_n = \dfrac{1}{n + 1}$ .

D. $u_n = n^2 + 1$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. $u_n = 4 + 3^n$ .

B. $u_n = 4 \cdot 3^n$ .

C. $u_n = 4 - 3n$ .

D. $u_n = 4n + 3$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày của một số học sinh lớp 11 được kết quả cho bởi bảng sau:

Thời gian (giờ)	$[1; 1,5)$	$[1,5; 2)$	$[2; 2,5)$	$[2,5; 3)$	$[3; 3,5)$
Số học sinh	4	8	15	10	3

Độ dài của nhóm $[1,5; 2)$ là

A. $0,5$ .

B. $2$ .

C. $1,5$ .

D. $3,5$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày của một số học sinh lớp 11 được kết quả cho bởi bảng sau:

Thời gian (giờ)	$[1; 1,5)$	$[1,5; 2)$	$[2; 2,5)$	$[2,5; 3)$	$[3; 3,5)$
Số học sinh	4	8	15	10	3

Giá trị đại diện của nhóm $[2; 2,5)$ là

A. $2,25$ .

B. $2$ .

C. $2,5$ .

D. $4,5$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết cân nặng của $40$ học sinh lớp 11A (đơn vị: kg):

Cân nặng (kg)	$[45; 50)$	$[50; 55)$	$[55; 60)$	$[60; 65)$	$[65; 70)$
Số học sinh	6	9	14	8	3

a) Số học sinh có cân nặng thuộc nhóm $[60; 65)$ là $8$ học sinh.
b) Giá trị đại diện của nhóm $[50; 55)$ là $52,5$ .
c) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là $[55; 60)$ .
d) Cân nặng trung bình của $40$ học sinh lớp 11A là $57\text{ kg}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 2 (1,0 điểm). Một con lắc dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình li độ $x = 4\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t\right)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây ( $s$ ) và $x$ là li độ tính bằng centimét ( $\text{cm}$ ). Khoảng cách từ con lắc đến vị trí cân bằng tại thời điểm $t$ là $d = |x|$ .

[Hình vẽ]

a) Khoảng cách xa nhất từ vật đến vị trí cân bằng là $4\text{ cm}$ .
b) Trong $6$ giây đầu tiên, có đúng $2$ thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất.
c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t\right) = 0$ .
d) Trong khoảng thời gian từ $0$ giây đến $15$ giây, vật đi qua vị trí cân bằng đúng $5$ lần.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Thống kê số giờ truy cập Internet trong một tuần của 40 học sinh lớp 11 được ghi lại ở bảng sau:

Số giờ	$[5; 9)$	$[9; 13)$	$[13; 17)$	$[17; 21)$	$[21; 25)$
Số học sinh	4	7	15	10	4

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2 (0,5 điểm). Một người thợ mộc cần làm một chiếc thang dạng hình thang có các thanh ngang nối hai chân thang. Chiều dài các thanh ngang giảm dần đều từ dưới lên trên, trong đó thanh ngang dưới cùng dài $50\text{ cm}$ , thanh ngang thứ hai dài $47\text{ cm}$ , thanh ngang thứ ba dài $44\text{ cm}$ ,... và thanh ngang trên cùng dài $29\text{ cm}$ . Tính tổng chiều dài (theo centimét) của tất cả các thanh ngang cần dùng.

[Hình vẽ]

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = 4\sin\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) - 1$ có tập giá trị là đoạn $[a; b]$ . Tính giá trị của biểu thức $M = a + b$ .

Câu 4 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp đầu tư mua một chiếc máy sản xuất với giá ban đầu là $500$ triệu đồng. Sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của chiếc máy giảm đi $8\%$ so với giá trị của năm liền trước đó. Sau $6$ năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ước tính còn lại bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Thí sinh trình bày bài làm cho các câu hỏi sau.

Câu 1 (1,5 điểm).
a) Tính $\tan\alpha$ , biết $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$ và $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ .
b) Giải phương trình lượng giác: $2\cos x - 1 = 0$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Một người bệnh được tiêm một loại thuốc điều trị mỗi ngày một lần. Giả sử lượng thuốc tồn dư trong máu của bệnh nhân ở ngày đầu tiên là $40\text{ mg}$ , và do quá trình đào thải tự nhiên của cơ thể, lượng thuốc tồn dư còn lại ở mỗi ngày tiếp theo chỉ bằng một nửa so với lượng thuốc của ngày ngay trước đó. Tính tổng lượng thuốc (theo đơn vị $\text{mg}$ ) tích lũy qua các liều dùng trong máu của bệnh nhân sau $8$ ngày điều trị liên tiếp.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho $\tan x = 3$ . Tính giá trị của biểu thức:

$P = \dfrac{4\sin x + 5\cos x}{2\sin x - \cos x}.$

--------- HẾT ---------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

1. Cán bộ chấm thi chấm đúng theo hướng dẫn chấm của đề thi. Điểm toàn bài giữ nguyên số thập phân, không làm tròn.
2. Thí sinh làm theo cách khác đúng với chương trình học vẫn được hưởng trọn số điểm của phần đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)

Câu	Đáp án	Câu	Đáp án	Câu	Đáp án
1	A	5	B	9	A
2	B	6	B	10	B
3	D	7	C	11	A
4	A	8	C	12	A

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án	Lệnh hỏi	Đáp án
Câu 1	a)	Đ	c)	Đ
Câu 1	b)	Đ	d)	Đ
Câu 2	a)	Đ	c)	Đ
Câu 2	b)	S	d)	Đ

Giải thích Phần II:
- Câu 1:
- a) Đúng: Tần số nhóm $[60; 65)$ là $8$ .
- b) Đúng: Giá trị đại diện của $[50; 55)$ là $\dfrac{50 + 55}{2} = 52,5$ .
- c) Đúng: Tần số lớn nhất là $14$ thuộc nhóm $[55; 60)$ .
- d) Đúng: Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $47,5$ ; $52,5$ ; $57,5$ ; $62,5$ ; $67,5$ . Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{6 \cdot 47,5 + 9 \cdot 52,5 + 14 \cdot 57,5 + 8 \cdot 62,5 + 3 \cdot 67,5}{40} = \dfrac{2265}{40} = 56,625 \approx 57\text{ kg}$ .
- Câu 2:
- a) Đúng: $d = |x| = 4|\cos(\pi t / 3)| \le 4\text{ cm}$ .
- b) Sai: Vật ở xa VTCB nhất khi $|\cos(\pi t / 3)| = 1 \iff \dfrac{\pi}{3}t = k\pi \iff t = 3k$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ). Với $t \in [0; 6]$ , ta có $k \in \{0; 1; 2\} \implies$ có $3$ thời điểm ( $t = 0\text{ s}, t = 3\text{ s}, t = 6\text{ s}$ ).
- c) Đúng: $x = 0 \iff \cos\left(\dfrac{\pi}{3}t\right) = 0$ .
- d) Đúng: Vật qua VTCB khi $\cos(\pi t / 3) = 0 \iff \dfrac{\pi}{3}t = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff t = 1,5 + 3k$ . Với $t \in (0; 15)$ , $0 < 1,5 + 3k < 15 \iff -0,5 < k < 4,5 \implies k \in \{0; 1; 2; 3; 4\}$ , có đúng $5$ lần.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải vắn tắt
Câu 1	14,85	Nhóm chứa mốt là $[13; 17)$ , có $j = 3$ , $a_3 = 13$ , $h = 4$ , $m_3 = 15$ , $m_2 = 7$ , $m_4 = 10$ . $M_o = 13 + \dfrac{15 - 7}{(15 - 7) + (15 - 10)} \cdot 4 = 13 + \dfrac{8}{13} \cdot 4 \approx 14,85$ .
Câu 2	316	Dãy số chiều dài thanh ngang là cấp số cộng có $u_1 = 50$ , công sai $d = -3$ . Số hạng cuối $u_n = 50 + (n - 1)(-3) = 29 \implies n = 8$ . Tổng chiều dài: $S_8 = \dfrac{8 \cdot (50 + 29)}{2} = 316\text{ cm}$ .
Câu 3	-2	Ta có $-1 \le \sin\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) \le 1 \iff -4 \le 4\sin\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) \le 4$ . Suy ra $-5 \le y \le 3$ . Tập giá trị là $[-5; 3] \implies a = -5, b = 3 \implies M = a + b = -2$ .
Câu 4	303	Giá trị máy sau $n$ năm là cấp số nhân: $u_n = 500 \cdot (1 - 0,08)^n = 500 \cdot 0,92^n$ . Sau $6$ năm: $u_6 = 500 \cdot (0,92)^6 \approx 303,18 \approx 303$ triệu đồng.

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung trình bày	Điểm
1	a	Tính $\tan\alpha$ , biết $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$ và $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ (0,75 điểm)
		Ta có: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies \sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}$ .	0,25
		Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ nên $\sin\alpha < 0$ , suy ra $\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}$ .	0,25
		Do đó: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-4/5}{-3/5} = \dfrac{4}{3}$ .	0,25
	b	Giải phương trình: $2\cos x - 1 = 0$ (0,75 điểm)
		Phương trình tương đương với: $\cos x = \dfrac{1}{2}$ .	0,25
		Mà $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ , nên $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3}$ .	0,25
		$\iff x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$ . Vậy nghiệm của phương trình là $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ .	0,25
2		Bài toán nồng độ thuốc trong máu (1,0 điểm)
		Lượng thuốc trong máu mỗi ngày lập thành một cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1 = 40$ và công bội $q = \dfrac{1}{2} = 0,5$ .	0,25
		Tổng lượng thuốc tích lũy sau $10$ ngày là tổng của $8$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân: $S_8 = u_1 + u_2 + \dots + u_8$ .	0,25
		Áp dụng công thức: $S_8 = \dfrac{u_1(1 - q^8)}{1 - q}$ .	0,25
		Thay số: $S_8 = \dfrac{40 \left(1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^8\right)}{1 - \dfrac{1}{2}} = 80 \left(1 - \dfrac{1}{256}\right) = \dfrac{255 \cdot 80}{256} = \dfrac{255 \cdot 5}{16} = \dfrac{1275}{16} = 79,6875\text{ mg}$ . Vậy sau $8$ ngày, tổng lượng thuốc tích lũy là $79,6875\text{ mg}$ (hoặc $\approx 79,69\text{ mg}$ ).	0,25
3		Tính giá trị biểu thức lượng giác $P$ (0,5 điểm)
		Vì $\tan x = 3$ xác định nên $\cos x \ne 0$ . Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $\cos x$ , ta được: $P = \dfrac{4\dfrac{\sin x}{\cos x} + 5}{2\dfrac{\sin x}{\cos x} - 1} = \dfrac{4\tan x + 5}{2\tan x - 1}$ .	0,25
		Thay $\tan x = 3$ vào biểu thức, ta có: $P = \dfrac{4 \cdot 3 + 5}{2 \cdot 3 - 1} = \dfrac{17}{5} = 3,4$ . Vậy $P = \dfrac{17}{5}$ .	0,25