Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán lớp 11

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 3 (0,25 điểm). Với mọi góc lượng giác $a$, khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 4 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây về tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác là đúng?

Câu 6 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin x - 2$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Phương trình $\sin x = \sin \alpha$ có các nghiệm là

Câu 8 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\cos x = 0$ là

Câu 9 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$. Giá trị của số hạng $u_3$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng là

Câu 12 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và công bội $q = -3$. Số hạng thứ 3 của cấp số nhân là

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = 2\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
b) Hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.
c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-1$.
d) Trên khoảng $(0; \pi)$, phương trình $f(x) = 2$ có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công sai $d = 3$. Gọi $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = 3n - 1$ với mọi $n \ge 1$.
b) Số $101$ là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
c) Tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng $S_{10} = 155$.
d) Số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn $S_n > 500$ là $n = 19$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Tính số nghiệm của phương trình $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.

Câu 2 (0,5 điểm). Một bánh xe quay quanh một trục với vận tốc không đổi. Điểm $M$ trên vành bánh xe có độ cao (tính bằng mét) so với mặt đất tại thời điểm $t$ giây ($t \ge 0$) được xác định bởi công thức:

$$h(t) = 15 - 10\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$$

Hỏi độ cao lớn nhất của điểm $M$ so với mặt đất bằng bao nhiêu mét?

Câu 3 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có các số hạng đều dương, thỏa mãn $u_2 = 6$ và $u_4 = 54$. Tìm số hạng đầu tiên $u_1$ của cấp số nhân đó.

Câu 4 (0,5 điểm). Một hội trường có $20$ hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có $15$ ghế, mỗi hàng ghế tiếp theo có nhiều hơn hàng ghế ngay trước nó $2$ ghế. Hỏi hội trường đó có tất cả bao nhiêu ghế?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức lượng giác:

$$A = \dfrac{\sin 2x + \sin x}{1 + \cos 2x + \cos x}$$

b) Giải phương trình: $\sqrt{3}\tan\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) - 1 = 0$.

Bài 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\begin{cases} u_2 + u_5 = 19 \\ u_3 + u_7 = 27 \end{cases}$$

a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng.
b) Tính tổng của $30$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Bài 3 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:

$$\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 3u_n - 2, \quad \forall n \ge 1 \end{cases}$$

a) Đặt $v_n = u_n - 1$ với mọi $n \ge 1$. Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân. Tìm số hạng tổng quát $v_n$.
b) Tìm công thức số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số đã cho theo $n$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................