Đề kiểm tra Giữa học kỳ I - Môn Toán 6 (Đã tinh chỉnh chống lặp dạng bài)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 4 < x \le 9\}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 2 (0,25 điểm). Số La Mã biểu diễn số tự nhiên $27$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Kết quả của phép tính $5^6 : 5^2$ dưới dạng một lũy thừa là

Câu 4 (0,25 điểm). Một đoàn khách du lịch gồm $50$ người muốn ngồi vào các bàn tròn để dùng bữa, mỗi bàn xếp tối đa $6$ người. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bàn để đủ chỗ cho tất cả mọi người trong đoàn?

Câu 5 (0,25 điểm). Số nào sau đây chia hết cho cả $2$ và $9$?

Câu 6 (0,25 điểm). Trong các số sau, số nào là số nguyên tố?

Câu 7 (0,25 điểm). Phân tích số $90$ ra thừa số nguyên tố, ta được kết quả là

Câu 8 (0,25 điểm). Ước chung lớn nhất của $24$ và $36$ là

Câu 9 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây là đúng về hình lục giác đều?

Câu 10 (0,25 điểm). Một hình thoi có độ dài hai đường chéo là $14\text{ cm}$ và $20\text{ cm}$. Diện tích của hình thoi đó là

Câu 11 (0,25 điểm). Một hình thang có độ dài hai đáy lần lượt là $12\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ và chiều cao là $5\text{ cm}$. Diện tích của hình thang đó là

Câu 12 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây là sai khi nói về hình bình hành?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 1 và Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Để chuẩn bị quà tặng cho học sinh có hoàn cảnh khó khăn, câu lạc bộ thiện nguyện của trường đã quyên góp được $72$ quyển vở, $90$ chiếc bút bi và $54$ chiếc thước kẻ. Câu lạc bộ dự định chia đều toàn bộ số vở, bút bi và thước kẻ đó thành các phần quà sao cho số lượng mỗi loại đồ dùng ở các phần quà là như nhau (nhiều hơn $1$ phần quà).
a) Số phần quà chia được phải là ước chung của $72$, $90$ và $54$.
b) Câu lạc bộ có thể chia đều số đồ dùng trên thành $12$ phần quà.
c) Số phần quà nhiều nhất mà câu lạc bộ có thể chia được là $18$ phần quà.
d) Khi chia thành số phần quà nhiều nhất, mỗi phần quà có tổng cộng $12$ món đồ dùng học tập.

Câu 2 (1,0 điểm). Bác An có một mảnh vườn dạng hình thang cân $ABCD$ với đáy nhỏ $AB = 10\text{ m}$, đáy lớn $CD = 22\text{ m}$, chiều cao $AH = 8\text{ m}$ và cạnh bên $AD = 10\text{ m}$.
a) Độ dài cạnh bên $BC$ của mảnh vườn là $10\text{ m}$.
b) Chu vi của mảnh vườn hình thang cân $ABCD$ là $42\text{ m}$.
c) Diện tích của mảnh vườn hình thang cân $ABCD$ là $128\text{ m}^2$.
d) Bác An dự định đóng cọc xung quanh viền mảnh vườn để làm hàng rào, cứ cách $2\text{ m}$ đóng một cọc và để chừa một lối đi rộng $4\text{ m}$ (hai đầu lối đi đều có cọc). Tổng số cọc bác An cần dùng là $25$ chiếc.

PHẦN III. TỰ LUẬN (5,0 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm).
1) Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể):

$$A = 2^4 \cdot 71 + 4^2 \cdot 30 - 16$$

$$B = \left[15^{2026} : 15^{2025} - (3 \cdot 19 - 7^2)\right] : 7 + 2025^0$$

2) Tìm số tự nhiên $x$, biết:
a) $(11 + 7x) : 3^2 = 3^2$.
b) $(x + 2)$ là ước của $(4x + 18)$.

Bài 2 (1,25 điểm). Một trường THCS chuẩn bị tổ chức cho học sinh khối $6$ đi tham quan dã ngoại và chia đều học sinh vào các xe ô tô. Biết rằng nếu xếp mỗi xe $30$ học sinh hay $45$ học sinh thì đều vừa đủ (không thừa học sinh nào) và số học sinh khối $6$ của trường trong khoảng từ $160$ đến $200$ em.
a) Tính số học sinh khối $6$ của trường.
b) Nếu nhà trường quyết định thuê loại xe $45$ chỗ ngồi thì cần thuê bao nhiêu chiếc xe để chở hết số học sinh trên?

Bài 3 (1,75 điểm). Một mặt sân có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là $6\text{ m}$ và chiều dài là $12\text{ m}$.
a) Tính chu vi và diện tích của mặt sân đó.
b) Mặt sân được lát kín bởi hai loại gạch màu đen và màu trắng đan xen nhau như bàn cờ. Biết mỗi viên gạch đều có dạng hình vuông cạnh $60\text{ cm}$ và số viên gạch màu đen bằng số viên gạch màu trắng. Giá một viên gạch màu đen là $120$ nghìn đồng, giá một viên gạch màu trắng là $150$ nghìn đồng. Hỏi tổng chi phí mua gạch để lát kín mặt sân là bao nhiêu triệu đồng? (Coi diện tích các mạch vữa giữa các viên gạch không đáng kể).

Bài 4 (0,5 điểm). Cho biểu thức $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 2025 \cdot 2026$. Chứng minh rằng $(S + 2)$ chia hết cho $4$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I – MÔN TOÁN LỚP 6

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm bài theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng phần.
- Điểm toàn bài là tổng điểm các câu hỏi thành phần, không làm tròn số thập phân.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (2,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

PHẦN III. TỰ LUẬN (5,0 điểm)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1.
Tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 4 < x \le 9\}$ gồm các phần tử lớn hơn $4$ và nhỏ hơn hoặc bằng $9$.
Viết dưới dạng liệt kê: $A = \{5; 6; 7; 8; 9\}$.
Do $4$ không thuộc tập hợp $A$ ($4 \notin A$) nên khẳng định "$4 \in A$" là sai.
Chọn đáp án B.

Câu 2.
Số tự nhiên $27 = 20 + 7 = 10 + 10 + 5 + 1 + 1$.
Trong hệ số La Mã:
- $10$ viết là $\text{X}$, nên $20$ là $\text{XX}$.
- $7$ viết là $\text{VII}$.
Do đó, số $27$ được viết là $\text{XXVII}$.
Chọn đáp án A.

Câu 3.
Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: $a^m : a^n = a^{m - n}$ (với $a \ne 0, m \ge n$).
Ta có: $5^6 : 5^2 = 5^{6 - 2} = 5^4$.
Chọn đáp án C.

Câu 4.
Thực hiện phép chia có dư số người trong đoàn cho số chỗ ngồi tối đa của một bàn:

$$50 = 6 \cdot 8 + 2$$

Như vậy, nếu xếp $8$ bàn thì mới đủ chỗ cho $48$ người, còn dư $2$ người cần thêm $1$ bàn nữa.
Số bàn ít nhất cần dùng là: $8 + 1 = 9$ (bàn).
Chọn đáp án B.

Câu 5.
- Số chia hết cho $2$ có chữ số tận cùng là chữ số chẵn: các số $350, 468, 512$ chia hết cho $2$ (loại số $243$).
- Số chia hết cho $9$ có tổng các chữ số chia hết cho $9$:
+ Số $350$ có $3 + 5 + 0 = 8$ (không chia hết cho $9$).
+ Số $468$ có $4 + 6 + 8 = 18$ chia hết cho $9$.
+ Số $512$ có $5 + 1 + 2 = 8$ (không chia hết cho $9$).
Vậy số $468$ chia hết cho cả $2$ và $9$.
Chọn đáp án C.

Câu 6.
- Số $21 = 3 \cdot 7$ có các ước $1; 3; 7; 21$ nên là hợp số.
- Số $31$ chỉ có đúng hai ước là $1$ và $31$ nên là số nguyên tố.
- Số $51 = 3 \cdot 17$ nên là hợp số.
- Số $91 = 7 \cdot 13$ nên là hợp số.
Chọn đáp án B.

Câu 7.
Ta phân tích số $90$ ra thừa số nguyên tố:

$$90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$$

Chọn đáp án A.

Câu 8.
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
- $24 = 2^3 \cdot 3$
- $36 = 2^2 \cdot 3^2$
Ước chung lớn nhất của $24$ và $36$ là:

$$\text{ƯCLN}(24, 36) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$$

Chọn đáp án B.

Câu 9.
Theo định nghĩa, hình lục giác đều có $6$ cạnh bằng nhau, $6$ góc ở các đỉnh bằng nhau và ba đường chéo chính bằng nhau. Do đó khẳng định A đúng.
Chọn đáp án A.

Câu 10.
Diện tích của hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot n = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 20 = 140\text{ (cm}^2\text{)}$$

Chọn đáp án B.

Câu 11.
Diện tích hình thang bằng tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao rồi chia cho $2$:

$$S = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2} = \dfrac{(12 + 8) \cdot 5}{2} = \dfrac{20 \cdot 5}{2} = 50\text{ (cm}^2\text{)}$$

Chọn đáp án B.

Câu 12.
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nhưng không nhất thiết phải vuông góc với nhau (hai đường chéo chỉ vuông góc với nhau khi hình bình hành đó là hình thoi). Do đó khẳng định C là sai.
Chọn đáp án C.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI

Câu 1.
Gọi số phần quà chia được là $n$ ($n \in \mathbb{N}^*, n > 1$).
- Vì chia đều $72$ quyển vở, $90$ chiếc bút bi và $54$ chiếc thước kẻ vào $n$ phần quà nên $72 \ \vdots \ n$, $90 \ \vdots \ n$ và $54 \ \vdots \ n$. Suy ra $n \in \text{ƯC}(72, 90, 54)$. $\to$ Ý a) ĐÚNG.
- Ta thấy $90$ không chia hết cho $12$ ($90 = 12 \cdot 7 + 6$) và $54$ không chia hết cho $12$ nên không thể chia đều thành $12$ phần quà. $\to$ Ý b) SAI.
- Để số phần quà $n$ là nhiều nhất thì $n = \text{ƯCLN}(72, 90, 54)$.
Phân tích ra thừa số nguyên tố:
$72 = 2^3 \cdot 3^2$; $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $54 = 2 \cdot 3^3$.
Suy ra $\text{ƯCLN}(72, 90, 54) = 2 \cdot 3^2 = 18$. Vậy chia được nhiều nhất $18$ phần quà. $\to$ Ý c) ĐÚNG.
- Khi chia thành $18$ phần quà, trong mỗi phần quà có:
+ Số quyển vở là: $72 : 18 = 4$ (quyển).
+ Số bút bi là: $90 : 18 = 5$ (chiếc).
+ Số thước kẻ là: $54 : 18 = 3$ (chiếc).
Tổng số món đồ dùng học tập trong mỗi phần quà là: $4 + 5 + 3 = 12$ (món). $\to$ Ý d) ĐÚNG.

Câu 2.
- Vì mảnh vườn $ABCD$ có dạng hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau: $BC = AD = 10\text{ m}$. $\to$ Ý a) ĐÚNG.
- Chu vi của mảnh vườn hình thang cân $ABCD$ là tổng độ dài bốn cạnh:

$$C = AB + CD + AD + BC = 10 + 22 + 10 + 10 = 52\text{ (m)}$$

Khẳng định chu vi bằng $42\text{ m}$ là sai. $\to$ Ý b) SAI.
- Diện tích của mảnh vườn hình thang cân $ABCD$ là:

$$S = \dfrac{(AB + CD) \cdot AH}{2} = \dfrac{(10 + 22) \cdot 8}{2} = \dfrac{32 \cdot 8}{2} = 128\text{ (m}^2\text{)}$$

$\to$ Ý c) ĐÚNG.
- Chiều dài hàng rào cần đóng cọc (sau khi trừ lối đi rộng $4\text{ m}$) là:

$$52 - 4 = 48\text{ (m)}$$

Do hai đầu lối đi đều có cọc (bài toán trồng cây ở cả hai đầu đoạn thẳng), tổng số cọc bác An cần dùng là:

$$48 : 2 + 1 = 24 + 1 = 25\text{ (chiếc cọc)}$$

$\to$ Ý d) ĐÚNG.

PHẦN III. TỰ LUẬN

Bài 1 (1,5 điểm)

1) Thực hiện phép tính:

$$A = 2^4 \cdot 71 + 4^2 \cdot 30 - 16$$

Ta có: $2^4 = 16$ và $4^2 = 16$. Khi đó:

$$A = 16 \cdot 71 + 16 \cdot 30 - 16 \cdot 1$$

$$A = 16 \cdot (71 + 30 - 1)$$

$$A = 16 \cdot 100 = 1\,600$$

$$B = \left[15^{2026} : 15^{2025} - (3 \cdot 19 - 7^2)\right] : 7 + 2025^0$$

Ta tính từng thành phần trong ngoặc vuông:
- $15^{2026} : 15^{2025} = 15^{2026 - 2025} = 15^1 = 15$.
- $3 \cdot 19 - 7^2 = 57 - 49 = 8$.
- $2025^0 = 1$.
Thay vào biểu thức:

$$B = [15 - 8] : 7 + 1 = 7 : 7 + 1 = 1 + 1 = 2$$

2) Tìm số tự nhiên $x$:

a) $(11 + 7x) : 3^2 = 3^2$

$$(11 + 7x) : 9 = 9$$

$$11 + 7x = 9 \cdot 9$$

$$11 + 7x = 81$$

$$7x = 81 - 11$$

$$7x = 70$$

$$x = 70 : 7$$

$$x = 10$$

Vậy $x = 10$.

b) Tìm số tự nhiên $x$ để $(x + 2)$ là ước của $(4x + 18)$:
Điều kiện bài toán tương đương với: $(4x + 18) \ \vdots \ (x + 2)$.
Ta biến đổi biểu thức $(4x + 18)$ theo $(x + 2)$:

$$4x + 18 = 4(x + 2) + 10$$

Vì $4(x + 2) \ \vdots \ (x + 2)$ nên để $(4x + 18) \ \vdots \ (x + 2)$ thì $10 \ \vdots \ (x + 2)$.
Suy ra $(x + 2)$ là ước tự nhiên của $10$:

$$\text{Ư}(10) = \{1; 2; 5; 10\}$$

Vì $x \in \mathbb{N}$ nên $x + 2 \ge 2$, do đó ta có các trường hợp:
- $x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0$ (thoả mãn).
- $x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3$ (thoả mãn).
- $x + 2 = 10 \Rightarrow x = 8$ (thoả mãn).
Vậy $x \in \{0; 3; 8\}$.

Bài 2 (1,25 điểm)

a) Gọi số học sinh khối $6$ của trường là $x$ (học sinh, $x \in \mathbb{N}^*$).
Theo đề bài, khi xếp mỗi xe $30$ học sinh hay $45$ học sinh thì đều vừa đủ, do đó:
$x \ \vdots \ 30$ và $x \ \vdots \ 45$.
Suy ra $x \in \text{BC}(30, 45)$ và $160 \le x \le 200$.

Tìm $\text{BCNN}(30, 45)$:
- $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
- $45 = 3^2 \cdot 5$

$$\text{BCNN}(30, 45) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$$

Tập hợp các bội chung của $30$ và $45$ là:

$$\text{BC}(30, 45) = \text{B}(90) = \{0; 90; 180; 270; \dots\}$$

Vì số học sinh khối $6$ trong khoảng từ $160$ đến $200$ em ($160 \le x \le 200$) nên ta chọn được:

$$x = 180$$

Vậy khối $6$ của trường có tất cả $180$ học sinh.

b) Nếu nhà trường quyết định thuê loại xe ô tô $45$ chỗ ngồi thì số xe cần thuê là:

$$180 : 45 = 4\text{ (chiếc xe)}$$

Vậy nhà trường cần thuê $4$ chiếc xe loại $45$ chỗ.

Bài 3 (1,75 điểm)

a) Chu vi của mặt sân hình chữ nhật là:

$$C = 2 \cdot (12 + 6) = 2 \cdot 18 = 36\text{ (m)}$$

Diện tích của mặt sân hình chữ nhật là:

$$S = 12 \cdot 6 = 72\text{ (m}^2\text{)}$$

b) Đổi đơn vị cạnh viên gạch sang mét:

$$60\text{ cm} = 0,6\text{ m}$$

Diện tích của một viên gạch hình vuông là:

$$S_{\text{gạch}} = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36\text{ (m}^2\text{)}$$

Tổng số viên gạch cần dùng để lát kín mặt sân là:

$$72 : 0,36 = 200\text{ (viên gạch)}$$

Vì số viên gạch màu đen bằng số viên gạch màu trắng nên:
- Số viên gạch màu đen là: $200 : 2 = 100$ (viên).
- Số viên gạch màu trắng là: $200 : 2 = 100$ (viên).

Chi phí mua gạch màu đen là:

$$100 \cdot 120 = 12\,000\text{ (nghìn đồng)}$$

Chi phí mua gạch màu trắng là:

$$100 \cdot 150 = 15\,000\text{ (nghìn đồng)}$$

Tổng chi phí mua gạch để lát kín mặt sân là:

$$12\,000 + 15\,000 = 27\,000\text{ (nghìn đồng)} = 27\text{ (triệu đồng)}$$

Vậy tổng chi phí mua gạch là $27$ triệu đồng.

Bài 4 (0,5 điểm)

Cho biểu thức:

$$S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 2025 \cdot 2026$$

Nhân cả hai vế của $S$ với $3$, ta có:

$$3S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + \dots + 2025 \cdot 2026 \cdot 3$$

$$3S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot (4 - 1) + 3 \cdot 4 \cdot (5 - 2) + \dots + 2025 \cdot 2026 \cdot (2027 - 2024)$$

$$3S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + (2 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 3) + (3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4) + \dots + (2025 \cdot 2026 \cdot 2027 - 2024 \cdot 2025 \cdot 2026)$$

Thu gọn các cặp số đối nhau, ta được:

$$3S = 2025 \cdot 2026 \cdot 2027$$

Suy ra:

$$S = \dfrac{2025 \cdot 2026 \cdot 2027}{3} = 675 \cdot 2026 \cdot 2027$$

Tách thừa số chẵn $2026 = 2 \cdot 1013$:

$$S = 675 \cdot 2 \cdot 1013 \cdot 2027 = 2 \cdot (675 \cdot 1013 \cdot 2027)$$

Khi đó:

$$S + 2 = 2 \cdot (675 \cdot 1013 \cdot 2027) + 2 = 2 \cdot (675 \cdot 1013 \cdot 2027 + 1)$$

Xét biểu thức trong ngoặc $M = 675 \cdot 1013 \cdot 2027 + 1$:
- Tích $675 \cdot 1013 \cdot 2027$ là tích của ba số lẻ nên là một số lẻ.
- Số lẻ cộng với $1$ cho kết quả là một số chẵn.
Do đó $M = (675 \cdot 1013 \cdot 2027 + 1)$ chia hết cho $2$, nghĩa là $M = 2k$ ($k \in \mathbb{N}$).

Thay trở lại vào $S + 2$:

$$S + 2 = 2 \cdot 2k = 4k \ \vdots \ 4$$

Vậy $(S + 2)$ chia hết cho $4$ (đpcm).