Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 11 năm học 2026 - 2027

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Đổi số đo của góc $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ rad sang đơn vị độ ta được

Câu 2 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $\sin \dfrac{\pi}{2}$ bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Với hai góc lượng giác $a$ và $b$ bất kì, khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 4 (0,25 điểm). Giá trị của $\cos 60^\circ$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Công thức nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \alpha$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n + 1$. Số hạng thứ ba $u_3$ của dãy số bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$. Số hạng thứ hai $u_2$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có công sai $d = 3$ và số hạng thứ tư $u_4 = 11$. Số hạng đầu $u_1$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng $u_2$ của cấp số nhân bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 11A được ghi lại trong bảng tần số ghép nhóm sau:

Nhóm có tần số lớn nhất trong mẫu số liệu trên là

Câu 12 (0,25 điểm). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm kiểm tra của học sinh có nhóm $[6; 8)$. Giá trị đại diện của nhóm $[6; 8)$ là

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ và $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$.
a) Điểm biểu diễn của góc $\alpha$ trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II.
b) Giá trị của $\cos \alpha$ mang dấu dương.
c) $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$.
d) $\tan \alpha = -\dfrac{3}{4}$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công sai $d = 3$.
a) Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = 3n + 2$ với mọi $n \ge 1$.
b) Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là $u_{10} = 35$.
c) Số $62$ là một số hạng của cấp số cộng $(u_n)$ và là số hạng thứ 20.
d) Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{10} = 185$.

Câu 3 (1,0 điểm). Một nhóm học sinh tiến hành đo chiều cao của $40$ cây bạch đàn con được trồng trong vườn thực nghiệm. Kết quả đo được thống kê trong bảng sau:

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $n = 40$.
b) Tần số của nhóm chứa chiều cao từ $40$ cm đến dưới $50$ cm là $14$.
c) Giá trị đại diện của nhóm $[50; 60)$ là $55$.
d) Số cây có chiều cao dưới $40$ cm là $5$ cây.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho góc lượng giác $x$ thoả mãn $\cos x = \dfrac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $P = \cos 2x$.
(Kết quả viết dưới dạng số thập phân làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2 (0,5 điểm). Một cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$. Hỏi số $768$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

Câu 3 (0,5 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác $\cos \left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2}$ trên đoạn $[0; \pi]$.
(Lấy $\pi \approx 3,14$ và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 4 (0,5 điểm). Thời gian hoàn thành một bài kiểm tra trắc nghiệm môn Toán của học sinh lớp 11B được ghi lại trong bảng số liệu ghép nhóm sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

PHẦN IV. TỰ LUẬN (2,0 điểm)

Thí sinh trình bày chi tiết lời giải cho các bài toán sau.

Bài 1 (1,0 điểm). Giải phương trình lượng giác sau:

$$\sin \left( 2x + \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Bài 2 (1,0 điểm). Một cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công bội $q = 3$. Tính tổng $S_6$ của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn chấm của Sở/Trường. Điểm toàn bài giữ nguyên số thập phân, không làm tròn.
- Học sinh làm theo cách khác nếu đúng bản chất và kết quả chính xác vẫn cho điểm tối đa của từng phần/câu theo barem.
- Phần tự luận: Điểm thành phần được chia nhỏ tới 0,25 điểm. Lời giải bước sau đúng nhưng dựa trên kết quả bước trước đã sai thì không chấm điểm bước sau đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (3,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

3. PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

4. PHẦN IV. TỰ LUẬN (2,0 điểm)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1. Ta có công thức đổi số đo: $\alpha^\circ = \alpha \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 30^\circ$. Chọn A.

Câu 2. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt: $\sin \dfrac{\pi}{2} = 1$. Chọn B.

Câu 3. Theo công thức cộng đối với hàm số côsin: $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$. Chọn A.

Câu 4. Giá trị của $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$. Chọn B.

Câu 5. Hàm số $y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$. Do đó $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$. Chọn A.

Câu 6. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

$$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = \alpha + k2\pi \\ &x = \pi - \alpha + k2\pi \end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}). \quad \textbf{Chọn B.}$$

Câu 7. Thay $n = 3$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Chọn B.

Câu 8. Theo công thức cấp số cộng: $u_2 = u_1 + d = 3 + 4 = 7$. Chọn A.

Câu 9. Ta có $u_4 = u_1 + 3d \Rightarrow u_1 = u_4 - 3d = 11 - 3 \cdot 3 = 11 - 9 = 2$. Chọn A.

Câu 10. Theo công thức cấp số nhân: $u_2 = u_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$. Chọn B.

Câu 11. So sánh tần số của các nhóm: $4, 12, 16, 6, 2$. Nhóm $[60; 90)$ có tần số lớn nhất là $16$. Chọn A.

Câu 12. Giá trị đại diện của nhóm $[a; b)$ được tính bằng $c = \dfrac{a + b}{2}$. Do đó với nhóm $[6; 8)$, giá trị đại diện là $\dfrac{6 + 8}{2} = 7$. Chọn C.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1.
- a) Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II. $\Rightarrow$ Đúng.
- b) Khi $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II thì $\cos \alpha < 0$. Mệnh đề khẳng định mang dấu dương là sai. $\Rightarrow$ Sai.
- c) Áp dụng hệ thức cơ bản $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2 = \dfrac{16}{25}$. Vì $\cos \alpha < 0$ nên $\cos \alpha = -\sqrt{\dfrac{16}{25}} = -\dfrac{4}{5}$. $\Rightarrow$ Đúng.
- d) $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$. $\Rightarrow$ Đúng.

Câu 2.
- a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3n + 2$. $\Rightarrow$ Đúng.
- b) Thay $n = 10$: $u_{10} = 3 \cdot 10 + 2 = 32$ (hoặc $u_1 + 9d = 5 + 27 = 32$). Ý đề ghi: $u_{10} = 35$ là sai? Kiểm tra lại: đề ghi $u_{10} = 35$ trong khi tính ra $32$, tuy nhiên nếu $u_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$, đáp án ý b sẽ là Sai, hoặc nếu đề cho $u_{11} = 35$. Để bảo đảm tính mạch lạc, khẳng định $u_{10} = 35$ là Sai hay Đúng? Sửa trực tiếp: $u_1 = 5, d = 3 \Rightarrow u_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$. Vậy ý b đề bài ghi $u_{10} = 35$ là Sai.
(Cập nhật lại barem: nếu ý b là $u_{10} = 32$ thì Đúng; nếu đề ghi $35$ thì Sai).
- c) Xét phương trình $u_n = 62 \Leftrightarrow 3n + 2 = 62 \Leftrightarrow 3n = 60 \Leftrightarrow n = 20 \in \mathbb{N}^*$. Vậy $62$ là số hạng thứ 20. $\Rightarrow$ Đúng.
- d) Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10} = \dfrac{10 \cdot (2u_1 + 9d)}{2} = 5 \cdot (2 \cdot 5 + 9 \cdot 3) = 5 \cdot (10 + 27) = 5 \cdot 37 = 185$. $\Rightarrow$ Đúng.

Câu 3.
- a) Tổng số cây quan sát: $n = 5 + 9 + 14 + 8 + 4 = 40$. Cỡ mẫu $n = 40$. $\Rightarrow$ Đúng.
- b) Nhóm $[40; 50)$ có số cây tương ứng là $14$. $\Rightarrow$ Đúng.
- c) Giá trị đại diện của nhóm $[50; 60)$ là $\dfrac{50 + 60}{2} = 55$. $\Rightarrow$ Đúng.
- d) Số cây có chiều cao dưới $40$ cm thuộc hai nhóm $[20; 30)$ và $[30; 40)$, gồm $5 + 9 = 14$ cây. Ý d nêu có $5$ cây là sai. $\Rightarrow$ Sai.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
Áp dụng công thức nhân đôi của hàm số côsin:

$$P = \cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$

Thay $\cos x = \dfrac{1}{3}$ vào biểu thức:

$$P = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 - 1 = 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = \dfrac{2}{9} - 1 = -\dfrac{7}{9} \approx -0,7777...$$

Làm tròn đến hàng phần trăm được kết quả: $-0,78$.

Câu 2.
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
Thay $u_n = 768$, $u_1 = 3$, $q = 2$ vào ta được:

$$768 = 3 \cdot 2^{n-1} \Leftrightarrow 2^{n-1} = \dfrac{768}{3} = 256$$

Ta biết $256 = 2^8$, do đó:

$$n - 1 = 8 \Leftrightarrow n = 9$$

Vậy số $768$ là số hạng thứ 9 của cấp số nhân.

Câu 3.
Phương trình: $\cos \left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{\pi}{3}$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ &2x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ &2x = k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \\ &x = k\pi \end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z})$$

Vì xét $x \in [0; \pi]$:
- Với họ nghiệm $x = k\pi$: $k = 0 \Rightarrow x_1 = 0$; $k = 1 \Rightarrow x_2 = \pi$.
- Với họ nghiệm $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$: $k = 0 \Rightarrow x_3 = \dfrac{\pi}{3}$.
Vậy phương trình có ba nghiệm trên đoạn $[0; \pi]$ là $0, \dfrac{\pi}{3}, \pi$.
Tổng các nghiệm là:

$$T = 0 + \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3} \approx \dfrac{4 \cdot 3,14159...}{3} \approx 4 \cdot 1,0467 \approx 2,093...$$

Làm tròn đến hàng phần trăm: $2,09$.

Câu 4.
Tần số lớn nhất trong mẫu là $m = 15$ ứng với nhóm $[25; 30)$. Do đó nhóm chứa mốt là $[25; 30)$.
Các thông số:
- Đầu mút trái: $u_j = 25$.
- Độ dài nhóm: $h = 30 - 25 = 5$.
- Tần số nhóm chứa mốt: $m_j = 15$.
- Tần số nhóm đứng trước: $m_{j-1} = 10$.
- Tần số nhóm đứng sau: $m_{j+1} = 8$.

Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:

$$M_o = u_j + \dfrac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})} \cdot h$$

$$M_o = 25 + \dfrac{15 - 10}{(15 - 10) + (15 - 8)} \cdot 5 = 25 + \dfrac{5}{5 + 7} \cdot 5 = 25 + \dfrac{25}{12} \approx 25 + 2,0833 \approx 26,0416...$$

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $M_o \approx 26,04$.