Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán 11 – Năm học 2026

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Đề số 2

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 16. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Góc lượng giác có số đo $\dfrac{7\pi}{4}$ rad có số đo bằng độ là

A. $225^\circ$ .

B. $270^\circ$ .

C. $315^\circ$ .

D. $330^\circ$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin\alpha < 0$ .

B. $\cos\alpha > 0$ .

C. $\tan\alpha < 0$ .

D. $\cot\alpha < 0$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Với mọi góc lượng giác $a$ và $b$ , công thức nào sau đây đúng?

A. $\sin(a+b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ .

B. $\sin(a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ .

C. $\sin(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ .

D. $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Với $\sin\alpha\ne 0$ , đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $1+\cot^2\alpha=\sin^2\alpha$ .

B. $1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ .

C. $1-\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ .

D. $1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{1+\sin^2\alpha}$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Tập xác định của hàm số $y=\cot x$ là

A. $D=\mathbb{R}$ .

B. $D=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

C. $D=\mathbb{R}\setminus\left\{2k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

D. $D=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Tập giá trị của hàm số $y=\sin x$ là

A. $[-1;1]$ .

B. $[0;1]$ .

C. $(-1;1)$ .

D. $\mathbb{R}$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Với $\alpha$ là một số thực cho trước, nghiệm của phương trình $\cos x=\cos\alpha$ là

A. $x=\alpha+k\pi$ hoặc $x=-\alpha+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

B. $x=\alpha+2k\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

C. $x=\alpha+2k\pi$ hoặc $x=-\alpha+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

D. $x=\alpha+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\tan x=-\sqrt{3}$ là

A. $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

B. $x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

C. $x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

D. $x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=3n^2+2$ với $n\in\mathbb{N}^*$ . Số hạng $u_3$ bằng

A. $11$ .

B. $27$ .

C. $14$ .

D. $29$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=-5$ và công sai $d=2$ . Số hạng thứ hai $u_2$ bằng

A. $-3$ .

B. $-7$ .

C. $-10$ .

D. $3$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có công sai $d=3$ và số hạng thứ sáu $u_6=23$ . Số hạng đầu của cấp số cộng đó là

A. $u_1=5$ .

B. $u_1=20$ .

C. $u_1=8$ .

D. $u_1=38$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=3$ . Tổng $S_8$ của tám số hạng đầu tiên bằng

A. $92$ .

B. $100$ .

C. $112$ .

D. $200$ .

Câu 13 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công bội $q=-2$ . Số hạng thứ tư $u_4$ bằng

A. $24$ .

B. $-48$ .

C. $-24$ .

D. $12$ .

Câu 14 (0,25 điểm). Thời gian di chuyển từ nhà đến trường của một nhóm học sinh được thống kê trong bảng sau:

Thời gian (phút)	$[0;10)$	$[10;20)$	$[20;30)$	$[30;40)$
Số học sinh	6	13	16	5

Nhóm có tần số lớn nhất là

A. $[0;10)$ .

B. $[10;20)$ .

C. $[30;40)$ .

D. $[20;30)$ .

Câu 15 (0,25 điểm). Trong một mẫu số liệu ghép nhóm, giá trị đại diện của nhóm $[24;32)$ là

A. $8$ .

B. $28$ .

C. $24$ .

D. $32$ .

Câu 16 (0,25 điểm). Khối lượng của một số quả cam được thống kê trong bảng sau:

Khối lượng (gam)	$[150;170)$	$[170;190)$	$[190;210)$	$[210;230)$	$[230;250)$
Số quả cam	5	9	15	8	3

Cỡ mẫu của mẫu số liệu trên bằng

A. $40$ .

B. $35$ .

C. $37$ .

D. $45$ .

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Mỗi ý trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (1,0 điểm). Trên đường tròn lượng giác tâm $O$ , gốc $A(1;0)$ , gọi $M$ và $N$ lần lượt là các điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha=\dfrac{7\pi}{6}$ và $\beta=-\dfrac{\pi}{6}$ .
a) Điểm $M$ thuộc góc phần tư thứ III.
b) Tung độ của điểm $M$ bằng $\dfrac{1}{2}$ .
c) Điểm $N$ có tọa độ $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$ .
d) Góc lượng giác có số đo $\dfrac{11\pi}{6}$ được biểu diễn bởi điểm $M$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=7$ và công sai $d=3$ .
a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n=3n+4$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ .
b) Số hạng thứ tám của cấp số cộng là $u_8=31$ .
c) Hiệu $u_6-u_5$ bằng $3$ .
d) Tổng của mười số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng $200$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha=\dfrac{3}{10}$ . Tính $\cos 2\alpha$ (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Câu 2 (0,5 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=7$ và công bội $q=3$ . Tính số hạng thứ năm của cấp số nhân.

Câu 3 (0,5 điểm). Thời gian hoàn thành một bài thực hành của $40$ học sinh được thống kê trong bảng sau:

Thời gian (phút)	$[10;20)$	$[20;30)$	$[30;40)$
Số học sinh	10	18	12

Tính thời gian trung bình hoàn thành bài thực hành theo mẫu số liệu ghép nhóm trên (đơn vị: phút).

Câu 4 (0,5 điểm). Phương trình $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0;4\pi]$ ?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (2,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho Câu 1 và Câu 2.

Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình lượng giác sau:

$\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Câu 2 (1,0 điểm). Để chuẩn bị chi phí học đại học cho con, cô Mai gửi $200$ triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn một năm, lãi suất cố định $5\%$ một năm theo hình thức lãi kép. Sau mỗi năm, toàn bộ tiền lãi được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Cô Mai không gửi thêm và không rút tiền trong thời gian gửi. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tính tại thời điểm kết thúc kì hạn, tổng số tiền cả gốc và lãi của cô Mai vượt quá $240$ triệu đồng?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Hướng dẫn chấm chính thức

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11 (Đề số 2)

(Hướng dẫn chấm gồm 02 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn chấm của tổ bộ môn.
- Phần tự luận: Học sinh giải theo cách khác đúng với chương trình học vẫn cho điểm tối đa theo từng bước tương ứng.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các phần thành phần, tính theo thang điểm 10, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất nếu có quy định riêng của nhà trường.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (4,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	C	A	D	B	D	A	C	B	D	A

Câu	11	12	13	14	15	16
Đáp án	C	B	C	D	B	A

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
Câu 1	a)	Đ	Câu 2	a)	Đ
	b)	S		b)	S
	c)	Đ		c)	Đ
	d)	S		d)	S

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	1	2	3	4
Đáp án	$0,82$	$567$	$25,5$	$4$

PHẦN IV. TỰ LUẬN (2,0 điểm)

Câu	Nội dung	Điểm
Câu 1 (1,0 điểm)	Giải phương trình lượng giác: $\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (1,0 điểm)	1,0
	Ta có: $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\dfrac{3\pi}{4}$ . Phương trình đã cho tương đương với: $\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{3\pi}{4}$ .	0,25
	$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 3x+\dfrac{\pi}{4}&=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi \\ 3x+\dfrac{\pi}{4}&=-\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi \end{aligned}\right. \quad (k\in\mathbb{Z})$	0,25
	$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 3x&=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi \\ 3x&=-\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 3x&=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ 3x&=-\pi+k2\pi \end{aligned}\right. \quad (k\in\mathbb{Z})$	0,25
	$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x&=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3} \\ x&=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3} \end{aligned}\right. \quad (k\in\mathbb{Z})$ . Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3};\, -\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3} \;\middle\|\; k\in\mathbb{Z}\right\}$ .	0,25
Câu 2 (1,0 điểm)	Bài toán thực tế lãi kép và cấp số nhân (1,0 điểm)	1,0
	Gọi $A=200$ (triệu đồng) là số tiền gửi ban đầu, $r=5\%=0,05$ là lãi suất mỗi năm. Gọi $S_n$ là tổng số tiền cả gốc và lãi cô Mai nhận được sau $n$ năm gửi ( $n\in\mathbb{N}^*$ ). Sau năm thứ nhất: $S_1=A(1+r)=200(1+0,05)$ triệu đồng. Sau $n$ năm, theo công thức lãi kép, số tiền nhận được là một cấp số nhân có số hạng đầu $S_1$ và công bội $q=1+r=1,05$ : $S_n=A(1+r)^n=200\cdot(1,05)^n$ (triệu đồng).	0,25
	Để tổng số tiền cả gốc và lãi vượt quá $240$ triệu đồng, ta có bất phương trình: $S_n > 240 \Leftrightarrow 200\cdot(1,05)^n > 240 \Leftrightarrow (1,05)^n > \dfrac{240}{200} \Leftrightarrow (1,05)^n > 1,2$ .	0,25
	Ta tính giá trị $(1,05)^n$ với các giá trị nguyên dương $n$ liên tiếp: - Với $n=3$ : $(1,05)^3=1,157625 < 1,2$ (khi đó $S_3 \approx 231,525$ triệu đồng). - Với $n=4$ : $(1,05)^4=1,21550625 > 1,2$ (khi đó $S_4 \approx 243,101$ triệu đồng). (Thí sinh có thể giải bằng logarit: $n > \log_{1,05} 1,2 \approx 3,73$ )	0,25
	Do $n\in\mathbb{N}^*$ và cần tìm số năm ít nhất nên ta chọn $n=4$ . Vậy sau ít nhất $4$ năm, tổng số tiền cả gốc và lãi của cô Mai sẽ vượt quá $240$ triệu đồng.	0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác, nếu lập luận chặt chẽ và kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng phần.

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (4,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (2,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (4,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (2,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 11